ปัญหาข้อที่ 21จาก 23 ปัญหาของฮิลเบิร์ตซึ่งเป็นรายการที่มีชื่อเสียงที่เดวิด ฮิลเบิร์ต ได้เสนอไว้ในปี ค.ศ. 1900 เกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นบางประเภทที่มีจุดเอกฐานและกลุ่มโมโนโดรมิกที่ ระบุไว้

ปัญหาดั้งเดิมระบุไว้ดังนี้ (คำแปลภาษาอังกฤษจากปี 1902):

การพิสูจน์การมีอยู่ของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีกลุ่มโมโนโดรมิกที่กำหนดไว้

ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีตัวแปรอิสระ z เพียงตัวเดียว ผมต้องการชี้ให้เห็นปัญหาสำคัญปัญหาหนึ่ง ซึ่งเป็นไปได้มากว่ารีมันน์เองอาจเคยคิดถึงปัญหานี้ ปัญหาดังกล่าวมีดังนี้: จงแสดงว่ามีสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นในกลุ่มฟุคเซียน อยู่เสมอ โดยมีจุดเอกฐานและกลุ่มโมโนโดรมิก ที่กำหนด ให้ ปัญหานี้ต้องการการสร้างฟังก์ชัน n ฟังก์ชันของตัวแปร z ซึ่งเป็นฟังก์ชันปกติทั่วระนาบเชิงซ้อน z ยกเว้นที่จุดเอกฐานที่กำหนดให้ ที่จุดเหล่านี้ ฟังก์ชันอาจกลายเป็นอนันต์ที่มีอันดับจำกัดเท่านั้น และเมื่อ z อธิบายวงจรเกี่ยวกับจุดเหล่านี้ ฟังก์ชันจะต้องผ่านการแทนที่เชิงเส้น ที่กำหนดไว้ การมีอยู่ของสมการเชิงอนุพันธ์ดังกล่าวได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีความเป็นไปได้โดยการนับค่าคงที่แต่การพิสูจน์อย่างเข้มงวดได้มาจนถึงปัจจุบันเฉพาะในกรณีพิเศษที่สมการพื้นฐานของการแทนที่ที่กำหนดมีรากที่มีขนาดสัมบูรณ์เป็นหนึ่งทั้งหมดL. Schlesinger  ( 1895 ) ได้ให้การพิสูจน์นี้โดยอาศัยทฤษฎีของPoincaré เกี่ยวกับ ฟังก์ชันซีตาของ Fuchsianทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นจะมีลักษณะที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นอย่างเห็นได้ชัดหากปัญหาที่ร่างไว้ในที่นี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการทั่วไปที่สมบูรณ์แบบ[1]

อันที่จริงแล้ว การพูดถึงระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นน่าจะเหมาะสมกว่าการพูดถึงสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น เพราะในการที่จะสร้างโมโนโดรมีใดๆ ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์นั้น โดยทั่วไปแล้วจำเป็นต้องยอมรับการมีอยู่ของจุดเอกฐานที่ปรากฏเพิ่มเติม กล่าวคือ จุดเอกฐานที่มีโมโนโดรมีเฉพาะที่แบบไม่สำคัญ ในภาษาที่ทันสมัยกว่านั้น สมการเชิงอนุพันธ์ที่กล่าวถึงคือสมการที่กำหนดในระนาบเชิงซ้อนโดยไม่รวมจุดบางจุด และมีจุดเอกฐานปกติที่จุดเหล่านั้น เวอร์ชันที่เข้มงวดกว่าของปัญหานี้ต้องการให้จุดเอกฐานเหล่านี้เป็นแบบฟุคเซียน กล่าวคือ ขั้วอันดับแรก (ขั้วลอการิทึม) รวมถึงที่อนันต์กลุ่มโมโนโดรมีถูกกำหนดโดยใช้การแสดงเชิงซ้อนมิติ จำกัด ของกลุ่มพื้นฐานของส่วนเติมเต็มในทรงกลมรีมันน์ของจุดเหล่านั้น บวกกับจุดที่อนันต์จนถึงความสมมูล กลุ่มพื้นฐานนั้นเป็นกลุ่มอิสระบน 'วงจร' ที่วนรอบจุดที่หายไปแต่ละจุดหนึ่งครั้ง โดยเริ่มต้นและสิ้นสุดที่จุดฐาน ที่ กำหนด คำถามคือ การแปลงสม การฟุ คเซียนเหล่านี้ไปเป็นกลุ่มของการแสดงแทนนั้นเป็นการส่งแบบทั่วถึง หรือ ไม่

สิ่งนี้ทำให้เกิดการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งหลายแบบที่รู้จักกันในชื่อ ' การจับคู่แบบรีมันน์-ฮิลเบิร์ ต 'สำหรับการเชื่อมต่อพีชคณิตแบบระนาบที่มีจุดเอกฐานปกติ และโดยทั่วไปแล้วสำหรับโมดูล D แบบโฮโลโนมิกปกติ หรือการเชื่อมต่อพีชคณิตแบบระนาบที่มีจุดเอกฐานปกติบนบันเดิล G หลัก ในทุกมิติ ประวัติของการพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรเชิงซ้อนตัวเดียวนั้นซับซ้อนโจซิป เพลเมลจ์ ตีพิมพ์วิธีแก้ปัญหาในปี 1908 งานนี้ได้รับการยอมรับว่าเป็นวิธีแก้ปัญหาที่แน่นอนมาเป็นเวลานาน นอกจากนี้ยังมีงานของจี.ดี. เบิร์คฮอฟฟ์ในปี 1913 ด้วย เพลเมลจ์ (1964)เขียนบทความสรุปงานของเขา ไม่กี่ปีต่อมา นักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียตยูลี เอส. อิลยาเชนโกและคนอื่นๆ เริ่มตั้งข้อสงสัยเกี่ยวกับงานของเพลเมลจ์ อันที่จริง เพลเมลจ์พิสูจน์ได้อย่างถูกต้องว่ากลุ่มโมโนโดรมีใดๆ ก็สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยระบบเชิงเส้นปกติซึ่งเป็นฟุคเซียนที่จุดเอกฐานทั้งหมด ยกเว้นจุดเอกฐานจุดเดียว ข้ออ้างของ Plemelj ที่ว่าระบบสามารถทำให้เป็น Fuchsian ได้ที่จุดสุดท้ายเช่นกันนั้นผิด เว้นแต่ว่า monodromy จะสามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้ที่นั่น^{[ 1 ]}

อันที่จริงAndrey A. Bolibrukh  ( 1990 ) พบตัวอย่างค้านต่อข้อความของ Plemelj ซึ่งโดยทั่วไปถือว่าเป็นตัวอย่างค้านต่อคำถามที่ Hilbert คิดไว้ Bolibrukh แสดงให้เห็นว่าสำหรับการกำหนดค่าขั้วที่กำหนด กลุ่มโมโนโดรมีบางกลุ่มสามารถเกิดขึ้นได้จากระบบปกติ แต่ไม่ใช่จากระบบฟุคเซียน (ในปี 1990 เขาได้ตีพิมพ์งานวิจัยเชิงลึกเกี่ยวกับกรณีของระบบปกติที่มีขนาด 3 ซึ่งแสดงให้เห็นสถานการณ์ทั้งหมดเมื่อมีตัวอย่างค้านดังกล่าวอยู่ ในปี 1978 Dekkers ได้แสดงให้เห็นว่าสำหรับระบบที่มีขนาด 2 ข้ออ้างของ Plemelj เป็นจริงAndrey A. Bolibrukh  ( 1992 ) และVladimir Kostov  ( 1992 ) ได้แสดงให้เห็นอย่างอิสระว่าสำหรับขนาดใดๆ กลุ่มโมโนโดรมีที่ไม่สามารถลดทอนได้สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยระบบ Fuchsian มิติร่วมของความหลากหลายของกลุ่มโมโนโดรมีของระบบปกติที่มีขนาดที่มีขั้วซึ่งไม่สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยระบบ Fuchsian เท่ากับ( Vladimir Kostov  ( 1992 ))) ในขณะเดียวกัน สำนักเรขาคณิตเชิงพีชคณิตของ Grothendieck ก็เริ่มสนใจในคำถามเกี่ยวกับ 'การเชื่อมต่อที่สามารถหาปริพันธ์ได้บนความหลากหลายเชิงพีชคณิต' ซึ่งเป็นการขยายทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นบนพื้นผิว Riemann ปิแอร์ เดลิญ ได้พิสูจน์ความสัมพันธ์แบบรีมันน์-ฮิลเบิร์ตที่แม่นยำในบริบททั่วไปนี้ (ประเด็นสำคัญคือการอธิบายความหมายของคำว่า 'ฟุคส์เซียน') และด้วยผลงานของเฮลมุต โรห์รล์กรณีในมิติเชิงซ้อนหนึ่งมิติก็ได้รับการครอบคลุมอีกครั้ง ${\displaystyle n}$${\displaystyle p+1}$${\displaystyle 2(n-1)p}$

• การเปลี่ยนรูปไอโซโมโนโดรมิก