ในทางคณิตศาสตร์พหุนามเอกพันธุ์ซึ่งบางครั้งเรียกว่าควอนติกในตำราเก่าๆ คือพหุนามที่มีพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดมีดีกรีเดียวกัน^{[ 1 ]}ตัวอย่างเช่นเป็นพหุนามเอกพันธุ์ดีกรี 5 ในสองตัวแปร ผลรวมของเลขชี้กำลังในแต่ละพจน์มีค่าเท่ากับ 5 เสมอ พหุนามไม่ใช่พหุนามเอกพันธุ์ เพราะผลรวมของเลขชี้กำลังไม่ตรงกันในแต่ละพจน์ ฟังก์ชันที่กำหนดโดยพหุนามเอกพันธุ์จะเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์เสมอ ${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$${\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+z^{7}}$

รูปแบบพีชคณิตหรือเรียกสั้น ๆ ว่ารูปแบบคือฟังก์ชันที่กำหนดโดยพหุนามเอกพันธุ์^{[หมายเหตุ 1 ]}รูปแบบไบนารีคือ รูปแบบในสองตัวแปรรูปแบบยังเป็นฟังก์ชันที่กำหนดบนปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งอาจแสดงเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ของพิกัดบนฐาน ใด ๆ ก็ได้

พหุนามดีกรี 0 เป็นพหุนามเอกพันธุ์เสมอ กล่าวคือ มันเป็นเพียงองค์ประกอบของฟิลด์หรือริงของสัมประสิทธิ์ ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าค่าคงที่หรือสเกลาร์ รูปแบบดีกรี 1 เรียกว่ารูปแบบเชิงเส้น [ ^{หมายเหตุ 2 ]}รูปแบบดีกรี 2 เรียกว่ารูปแบบกำลังสองในเรขาคณิตระยะทางยุคลิดคือรากที่สองของรูปแบบกำลังสอง

พหุนามเอกพันธุ์พบได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์^{[หมายเหตุ 3 ]}พวกมันมีบทบาทพื้นฐานในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเนื่องจากวาไรตี้เชิงพีชคณิต แบบโปรเจคทีฟ ถูกนิยามว่าเป็นเซตของศูนย์ร่วมของเซตของพหุนามเอกพันธุ์

พหุนามเอกพันธุ์กำหนดฟังก์ชันเอกพันธุ์นั่นหมายความว่า ถ้าพหุนามหลายตัวแปรPเป็นพหุนามเอกพันธุ์ดีกรีdแล้ว

${\displaystyle P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n})\,,}$

สำหรับทุกๆในฟิลด์ ใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์ของPในทางกลับกัน ถ้าความสัมพันธ์ข้างต้นเป็นจริงสำหรับจำนวนอนันต์ แล้ว พหุนามนั้นจะเป็นพหุนามเอกพันธุ์ดีกรี d${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าPเป็นเนื้อเดียวกันแล้ว

${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=0,}$

คุณสมบัตินี้เป็นพื้นฐานในการกำหนดนิยามของวา ไร ตี้เชิงโปรเจกทีฟ ${\displaystyle \lambda .}$

พหุนามใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ สามารถแยกออกได้ในลักษณะเฉพาะ โดยเป็นผลรวมของพหุนามเอกพันธุ์ที่มีดีกรีต่างกัน ซึ่งเรียกว่าส่วนประกอบเอกพันธุ์ของพหุนามนั้น

กำหนดให้มีวงแหวนพหุนาม เหนือฟิลด์ (หรือโดยทั่วไปคือวงแหวน ) Kพหุนามเอกพันธุ์ดีกรีdก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์ (หรือโมดูล ) ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์การแยกส่วนที่ไม่ซ้ำกันข้างต้นหมายความว่าคือผลรวมโดยตรงของ(ผลรวมเหนือจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ทั้งหมด ) ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle R_{d}.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{d}}$

มิติของปริภูมิเวกเตอร์ (หรือโมดูลอิสระ ) คือจำนวนของเอกนามที่แตกต่างกันที่มีดีกรีdใน ตัวแปร nตัว (นั่นคือจำนวนสูงสุดของพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ในพหุนามเอกพันธุ์ที่มีดีกรีdใน ตัวแปร nตัว) ซึ่งเท่ากับสัมประสิทธิ์ทวินาม${\displaystyle R_{d}}$

${\displaystyle {\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.}$

พหุนามเอกพันธุ์สอดคล้องกับ เอกลักษณ์ของออยเลอร์สำหรับฟังก์ชันเอกพันธุ์นั่นคือ ถ้าPเป็นพหุนามเอกพันธุ์ดีกรีdในตัวแปรที่ไม่ทราบค่าเราจะได้ว่า ไม่ว่าวงแหวนสลับที่ของสัมประสิทธิ์จะ เป็นอย่างไรก็ตาม${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$

${\displaystyle dP=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},}$

โดยที่หมายถึงอนุพันธ์ย่อยเชิงรูปธรรมของPเทียบกับ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle x_{i}.}$

พหุนามไม่เอกพันธุ์P ( x ₁ ,..., x _n ) สามารถทำให้เป็นเอกพันธุ์ได้โดยการแนะนำตัวแปรเพิ่มเติมx ₀และกำหนดพหุนามเอกพันธุ์ซึ่งบางครั้งเรียกว่า^h P : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),}$

โดยที่dคือดีกรีของPตัวอย่างเช่น ถ้า

${\displaystyle P(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,}$

แล้ว

${\displaystyle ^{h}\!P(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.}$

พหุนามเอกพันธุ์สามารถทำให้เป็นพหุนามต่างพันธุ์ได้โดยการกำหนดตัวแปรเพิ่มเติมx₀ = ₁นั่นคือ

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).}$

• พหุนามเอกพันธุ์หลายตัว
• พหุนามกึ่งเอกพันธุ์
• รูปทรงแนวทแยง
• พีชคณิตแบบแบ่งระดับ
• อนุกรมฮิลเบิร์ตและพหุนามฮิลเบิร์ต
• รูปแบบหลายเส้น
• แผนที่หลายเส้น
• การโพลาไรซ์ของรูปแบบพีชคณิต
• พหุนามชูร์
• สัญลักษณ์ของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับพหุนามเอกพันธุ์ในวิกิมีเดียคอมมอนส์
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "พหุนามเอกพันธุ์" . MathWorld .