ในสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าทฤษฎีหมวดหมู่ (category theory ) วัตถุฮอปเฟียน (Hopfian object)คือวัตถุAที่การแปลงแบบเอ พิโมฟิซึม (epimorphism) ใดๆ จาก A ไปยังAจะต้องเป็นการ แปลงแบบออโตโมฟิซึม ( automorphism ) เสมอ แนวคิดคู่ขนานคือวัตถุ โคฮอปเฟี ยน (Cohopfian object)ซึ่งเป็นวัตถุBที่ การแปลงแบบ โมโนโมฟิซึม(monomorphism) ทุกตัว จากBไปยังBจะต้องเป็นการแปลงแบบออโตโมฟิซึม เสมอ เงื่อนไขทั้งสองนี้ได้รับการศึกษาในหมวดหมู่ของกลุ่มวงแหวนโมดูลและปริภูมิเชิงทอพอโลยี

คำว่า "ฮอปเฟียน" และ "โคฮอปเฟียน" เกิดขึ้นตั้งแต่ทศวรรษ 1960 และกล่าวกันว่าตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่ไฮนซ์ ฮอปฟ์และการใช้แนวคิดของกลุ่มฮอปเฟียนในงานของเขาเกี่ยวกับกลุ่มพื้นฐานของพื้นผิว ( Hazewinkel 2001 , หน้า 63)

เงื่อนไขทั้งสองอาจมองได้ว่าเป็นเงื่อนไขความจำกัด ประเภทหนึ่ง ในหมวดหมู่ของมัน ตัวอย่างเช่น สมมติว่าทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkel พร้อมด้วยสัจพจน์ของการเลือกและทำงานในหมวดหมู่ของเซตวัตถุ hopfian และ cohopfian ก็คือเซตจำกัด นั่นเอง จากนี้จึงเห็นได้ง่ายว่ากลุ่มจำกัด โมดูลจำกัด และวงแหวนจำกัดทั้งหมดเป็น hopfian และ cohopfian ในหมวดหมู่ของมัน

วัตถุฮอปเฟียนและวัตถุโคฮอปเฟียนมีปฏิสัมพันธ์พื้นฐานกับวัตถุเชิงโปรเจกทีฟและวัตถุเชิงอินเจกทีฟผลลัพธ์สองประการคือ:

• วัตถุฮอปเฟียนแบบฉีด (injective hopfian object) ก็เป็นวัตถุโคฮอปเฟียน (cohopfian object
• วัตถุโคฮอปเฟียนเชิงโปรเจคทีฟเป็นวัตถุฮอปเฟียน

การพิสูจน์ข้อความแรกนั้นสั้น: ให้Aเป็นออบเจกต์ฮอปเฟียนแบบอินเจกทีฟ และให้fเป็นมอร์ฟิซึมแบบอินเจกทีฟจากAไปยังAโดยคุณสมบัติอินเจกทีฟfสามารถแยกตัวประกอบผ่านแผนที่เอกลักษณ์I _AบนAได้ ทำให้ได้มอร์ฟิซึมgที่gf = I _Aดังนั้นgจึงเป็นมอร์ฟิซึมแบบเซอร์เจกทีฟ และด้วยเหตุนี้จึงเป็นออโตมอร์ฟิซึม และf จึง เป็นออโตมอร์ฟิซึมผกผันของg อย่างแน่นอน การพิสูจน์นี้สามารถนำไปใช้ในเชิงคู่ขนานเพื่อพิสูจน์ข้อความที่สองได้

ต่อไปนี้เป็นผลลัพธ์พื้นฐานหลายประการในหมวดหมู่ของโมดูล สิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่ต้องจำไว้คือ การที่R _Rเป็น hopfian หรือ cohopfian ในฐานะโมดูลนั้นแตกต่างจาก การที่ Rเป็น hopfian หรือ cohopfian ในฐานะริง

• โมดูลNoetherianเป็นแบบ hopfian และโมดูล Artinianเป็นแบบ cohopfian
• โมดูลR _Rเป็นโมดูลฮอปเฟียนก็ต่อเมื่อRเป็นวงแหวนจำกัดโดยตรงในทำนองเดียวกัน สองสิ่งนี้ก็เทียบเท่ากับโมดูล_R Rที่เป็นโมดูลฮอปเฟียน เช่นกัน
• ตรงกันข้ามกับข้างต้น โมดูลR _Rหรือ_R Rอาจเป็นโคฮอปเฟียนหรือไม่ก็ได้ในทุกรูปแบบ ตัวอย่างของวงแหวนที่เป็นโคฮอปเฟียนด้านหนึ่งแต่ไม่ใช่ด้านอื่นนั้นได้แสดงไว้ใน ( Varadarajan 1992 ) อย่างไรก็ตาม หากโมดูลใดโมดูลหนึ่งในสองโมดูลนี้เป็นโคฮอปเฟียนRก็จะเป็นฮอปเฟียนทั้งสองด้าน (เนื่องจากRเป็นโมดูลเชิงโปรเจคทีฟทั้งด้านซ้ายและด้านขวา) และเป็นลิมิตโดยตรง

สถานการณ์ในหมวดหมู่ของวงแหวนนั้นแตกต่างจากหมวดหมู่ของโมดูลอย่างมาก มอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ของวงแหวนที่มีเอกลักษณ์นั้นจำเป็นต้องรักษาเอกลักษณ์ไว้ กล่าวคือ ต้องส่งค่า 1 ไปยัง 1

• ถ้าRสอดคล้องกับเงื่อนไขสายโซ่ขึ้นบนไอเดียลแล้วRจะเป็นฮอปเฟียน สามารถพิสูจน์ได้โดยการเปรียบเทียบกับข้อเท็จจริงสำหรับโมดูลโนเธอร์เรียน อย่างไรก็ตาม แนวคิดที่ตรงกันข้ามสำหรับ "โคฮอปเฟียน" นั้นไม่มีอยู่จริง เพราะถ้าfเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงจากRไปยังRที่รักษาเอกลักษณ์ และภาพของfไม่ใช่Rแล้ว ภาพนั้นก็ไม่ใช่ไอเดียลของR อย่างแน่นอน ไม่ว่าในกรณีใด สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าริงโนเธอร์เรียนหรืออาร์ทิเนียนด้านเดียวเป็นฮอปเฟียนเสมอ
• วงแหวนเชิงเดี่ยวใดๆ ก็เป็นวงแหวนฮอปเฟียนได้ เนื่องจากเคอร์เนลของเอนโดมอร์ฟิซึมใดๆ ก็เป็นไอเดียล ซึ่งจำเป็นต้องเป็นศูนย์ในวงแหวนเชิงเดี่ยว ในทางตรงกันข้าม ใน ( Varadarajan 1992 ) ได้มีการยกตัวอย่างฟิลด์ ที่ไม่ใช่โคฮอปเฟียนขึ้นมา
• วงแหวนเชิงเส้นเต็ม End _D (V) ของปริภูมิเวกเตอร์มิติที่นับได้เป็นวงแหวนฮอปเฟียนซึ่งไม่ใช่วงแหวนฮอปเฟียนในฐานะโมดูล เนื่องจากมีเพียงสามไอเดียลเท่านั้น แต่ก็ไม่ใช่ปริภูมิจำกัดโดยตรง บทความ ( Varadarajan 1992 ) ยังให้ตัวอย่างของวงแหวนโคฮอปเฟียนซึ่งไม่ใช่วงแหวนโคฮอปเฟียนในฐานะโมดูลอีกด้วย
• นอกจากนี้ใน ( Varadarajan 1992 ) ยังแสดงให้เห็นว่าสำหรับวงแหวนบูลีนRและปริภูมิสโตนX ที่เกี่ยวข้อง วงแหวนRจะเป็นวงแหวนฮอปเฟียนในหมวดหมู่ของวงแหวนก็ต่อเมื่อXเป็นวงแหวนโคฮอปเฟียนในหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี และRจะเป็นวงแหวนโคฮอปเฟียนก็ต่อเมื่อXเป็นวงแหวนฮอปเฟียนในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยี

• ใน ( Varadarajan 1992 ) มีผลลัพธ์หลายประการเกี่ยวกับแมนิโฟลด์กระชับรวมอยู่ด้วย ประการแรกแมนิโฟลด์กระชับที่เป็นฮอปเฟียนมี เพียง ปริภูมิดิสครีต จำกัดเท่านั้น ประการที่สอง แมนิโฟลด์กระชับที่ไม่มีขอบเขตจะเป็นโคฮอปเฟียนเสมอ และประการสุดท้าย แมนิโฟลด์กระชับที่มีขอบเขตไม่ว่างเปล่าจะไม่เป็นโคฮอปเฟียน

• กลุ่มฮอปเฟียน
• กลุ่มโคฮอปเฟียน