การสั่นสะเทือนของล้อรถไฟ

การแกว่งแบบล่าหาสมดุลคือการแกว่งตัวเองซึ่งโดยปกติแล้วไม่พึงประสงค์ เกี่ยวกับการแกว่งรอบจุดสมดุล^{[ 1 ]}คำนี้เริ่มใช้ในศตวรรษที่ 19 และอธิบายว่าระบบ "ล่าหา" จุดสมดุลอย่างไร^{[ 1 ]}คำนี้ใช้เพื่ออธิบายปรากฏการณ์ในสาขาต่างๆ ที่หลากหลาย เช่น อิเล็กทรอนิกส์ การบิน ชีววิทยา และวิศวกรรมทางรถไฟ^{[ 1 ]}

การแกว่งแบบคลาสสิก (hunting oscillation) คือการเคลื่อนที่แบบส่ายไปมาของรถไฟ (มักเรียกว่าtruck huntingหรือbogie hunting ) ซึ่งเกิดจากแรงเหวี่ยงที่ส่งผลต่อเสถียรภาพในการทรงตัวของรถไฟแบบ ใช้แรงยึด เกาะ การ แกว่ง นี้เกิดขึ้น จากปฏิสัมพันธ์ระหว่างแรงยึดเกาะ และ แรงเฉื่อย ที่ความเร็วต่ำ แรงยึดเกาะจะเด่นกว่า แต่เมื่อความเร็วเพิ่มขึ้น แรงยึดเกาะและแรงเฉื่อยจะมีขนาดใกล้เคียงกัน และการแกว่งจะเริ่มขึ้นที่ความเร็ววิกฤต เหนือความเร็วนี้ การเคลื่อนที่อาจรุนแรง ทำให้รางและล้อเสียหาย และอาจทำให้รถไฟตกรางได้ปัญหานี้จะไม่เกิดขึ้นในระบบที่มี เฟือง ท้ายเพราะการทำงานขึ้นอยู่กับล้อทั้งสองข้างของชุดล้อที่หมุนด้วยอัตราเชิงมุมเดียวกัน แม้ว่าเฟืองท้ายจะพบได้น้อย และรถไฟทั่วไปจะมีล้อติดอยู่กับเพลาเป็นคู่ๆ แทน รถไฟบางขบวน เช่นTalgo 350ไม่มีเฟืองท้าย แต่ส่วนใหญ่จะไม่ได้รับผลกระทบจากการแกว่ง เพราะล้อส่วนใหญ่หมุนอย่างอิสระจากกัน อย่างไรก็ตาม ล้อของรถขับเคลื่อนอาจได้รับผลกระทบจากการแกว่งตัว เนื่องจากล้อของรถขับเคลื่อนถูกยึดกับเพลาเป็นคู่ๆ เหมือนกับโบกี้ทั่วไป ล้อทรงกรวยน้อยกว่าและโบกี้ที่ติดตั้งล้ออิสระที่หมุนได้อย่างอิสระจากกันและไม่ได้ยึดกับเพลาเป็นคู่ๆ จะมีราคาถูกกว่าเฟืองท้ายที่เหมาะสมสำหรับโบกี้ของรถไฟ^{[ 2 ]}

ปัญหาดังกล่าวถูกสังเกตเห็นครั้งแรกในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 เมื่อความเร็วของรถไฟสูงขึ้นจนสามารถพบเจอปัญหาได้ ความพยายามอย่างจริงจังในการแก้ไขปัญหานี้เริ่มต้นขึ้นในทศวรรษ 1930 ส่งผลให้มีการพัฒนาชุดล้อที่ยาวขึ้นและชุดล้อแบบแขวนที่ ช่วยลดแรงสั่นสะเทือนด้านข้าง ในการพัฒนารถไฟชินคันเซ็น ของญี่ปุ่น ล้อที่มีรูปทรงกรวยน้อยลงและการเปลี่ยนแปลงการออกแบบอื่นๆ ถูกนำมาใช้เพื่อเพิ่มความเร็วของชุดล้อให้สูงกว่า 225 กม./ชม. (140 ไมล์/ชม.) ความก้าวหน้าในการออกแบบล้อและชุดล้อโดยอาศัยการวิจัยและพัฒนาในยุโรปและญี่ปุ่นได้เพิ่มความเร็วของระบบล้อเหล็กให้สูงกว่าที่รถไฟ ชิน คันเซ็น รุ่นแรกทำได้ ในขณะที่ข้อได้เปรียบด้านความเข้ากันได้กับรุ่นก่อนหน้าทำให้เทคโนโลยีนี้ยังคงเหนือกว่าทางเลือกอื่นๆ เช่น ระบบรถไฟลอยฟ้าและ ระบบรถไฟ แม่เหล็กความเร็วสูงสุดของรถไฟล้อเหล็กเป็นของรถไฟ TGV ของฝรั่งเศส ที่ 574.9 กม./ชม. (357 ไมล์/ชม.)

คำ อธิบาย เชิงจลศาสตร์เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตของการเคลื่อนที่ โดยไม่คำนึงถึงแรงที่ก่อให้เกิดการเคลื่อนที่ ดังนั้นการวิเคราะห์จึงเริ่มต้นด้วยคำอธิบายเรขาคณิตของชุดล้อที่วิ่งบนรางตรง เนื่องจากกฎข้อที่สองของนิวตันเชื่อมโยงแรงกับการเร่งความเร็วของวัตถุ แรงที่กระทำจึงสามารถหาได้จากคำอธิบายเชิงจลศาสตร์โดยการคำนวณการเร่งความเร็วของส่วนประกอบต่างๆ อย่างไรก็ตาม หากแรงเหล่านี้เปลี่ยนแปลงคำอธิบายเชิงจลศาสตร์ (เช่นเดียวกับในกรณีนี้) ผลลัพธ์ที่ได้อาจถูกต้องเพียงโดยประมาณเท่านั้น

คำอธิบายเชิงจลศาสตร์นี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ทำให้ง่ายขึ้นหลายประการ เนื่องจากละเลยแรง ประการแรก คือ สมมติว่าแรงต้านการกลิ้งเป็นศูนย์ ชุดล้อ (ที่ไม่ได้ติดอยู่กับรถไฟหรือรถบรรทุก ) ถูกผลักไปข้างหน้าบนรางที่ตรงและราบเรียบ ชุดล้อจะเริ่มกลิ้งไปเรื่อยๆ และไม่ชะลอความเร็วลงเลย เนื่องจากไม่มีแรงใดๆ มากระทำ (ยกเว้นแรงกดลงบนชุดล้อเพื่อให้ยึดติดกับรางและไม่ลื่นไถล) หากในตอนเริ่มต้น ชุดล้ออยู่ตรงกลางรางรถไฟ เส้นผ่านศูนย์กลางที่มีประสิทธิภาพของล้อแต่ละล้อจะเท่ากัน และชุดล้อจะกลิ้งไปตามรางเป็นเส้นตรงอย่างสมบูรณ์ตลอดไป แต่ถ้าชุดล้ออยู่เบี่ยงไปจากจุดศูนย์กลางเล็กน้อย ทำให้เส้นผ่านศูนย์กลางที่มีประสิทธิภาพ (หรือรัศมี) แตกต่างกัน ชุดล้อจะเริ่มเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งที่มีรัศมีR (ขึ้นอยู่กับรัศมีของชุดล้อเหล่านี้ ฯลฯ ซึ่งจะหาได้ในภายหลัง) ปัญหาคือการใช้เหตุผลเชิงจลศาสตร์เพื่อหาเส้นทางการเคลื่อนที่ของชุดล้อ หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือเส้นทางการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางของชุดล้อที่ฉายลงบนระนาบพื้นถนนตรงกลางรางรถไฟในแนวตั้ง เส้นทางนี้อยู่บนระนาบของพื้นผิวโลกที่ราบเรียบและแสดงบนกราฟx - y โดยที่ xคือระยะทางตามแนวรางรถไฟ และyคือ "ความคลาดเคลื่อนในการติดตาม" ซึ่งก็คือการเบี่ยงเบนของจุดศูนย์กลางของชุดล้อจากเส้นตรงของรางรถไฟที่วิ่งลงมาตรงกลางราง (กึ่งกลางระหว่างรางทั้งสอง)

เพื่อแสดงให้เห็นว่าวิถีการเคลื่อนที่ของล้อรถไฟเป็นเส้นโค้ง เราอาจวางตะปูหรือสกรูบนโต๊ะเรียบๆ แล้วผลักมัน มันจะกลิ้งเป็นวงกลมเพราะตะปูหรือสกรูนั้นเปรียบเสมือนล้อรถไฟที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางแตกต่างกันมาก หัวของตะปูหรือสกรูเปรียบเสมือนล้อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดใหญ่ และปลายแหลมเปรียบเสมือนล้อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดเล็ก ในขณะที่ตะปูหรือสกรูจะหมุนเป็นวงกลม (และมากกว่านั้น) ล้อรถไฟจะมีพฤติกรรมที่แตกต่างออกไป เพราะทันทีที่มันเริ่มเลี้ยวเป็นเส้นโค้ง เส้นผ่านศูนย์กลางที่แท้จริงของล้อจะเปลี่ยนไปในลักษณะที่ทำให้ความโค้งของเส้นทางลดลง โปรดทราบว่า "รัศมี" และ "ความโค้ง" ในที่นี้หมายถึงความโค้งของวิถีการเคลื่อนที่ของล้อรถไฟ ไม่ใช่ความโค้งของรางรถไฟ เนื่องจากรางรถไฟเป็นเส้นตรงอย่างสมบูรณ์ เมื่อล้อรถไฟกลิ้งต่อไป ความโค้งจะลดลงจนกระทั่งล้อทั้งสองมาถึงจุดที่เส้นผ่านศูนย์กลางที่แท้จริงของล้อเท่ากัน และเส้นทางจะไม่โค้งอีกต่อไป แต่เส้นทางการเคลื่อนที่นั้นมีความลาดชัน ณ จุดนี้ (เป็นเส้นตรงที่ตัดเฉียงกับเส้นกึ่งกลางของราง) ทำให้ล้อเลยเส้นกึ่งกลางของรางไป และเส้นผ่านศูนย์กลางที่แท้จริงกลับสลับกัน (ล้อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเล็กกว่าเดิมกลายเป็นล้อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางใหญ่กว่า และในทางกลับกัน) ส่งผลให้ชุดล้อเคลื่อนที่โค้งไปในทิศทางตรงกันข้าม อีกครั้งที่มันเลยเส้นกึ่งกลางไป และปรากฏการณ์นี้จะดำเนินต่อไปเรื่อยๆ โดยชุดล้อจะแกว่งไปมาซ้ายขวา โปรดสังเกตว่าขอบ ล้อ จะไม่สัมผัสกับราง ในแบบจำลองนี้ สมมติว่ารางสัมผัสกับหน้าล้อตามแนวเส้นเดียวกันบนหัวรางเสมอ ซึ่งสมมติว่ารางเป็นแบบคมมีดและสัมผัสกับหน้าล้อเฉพาะตามแนวเส้น (ที่มีความกว้างเป็นศูนย์) เท่านั้น

รถไฟจะวิ่งอยู่บนรางได้ด้วยรูปทรงกรวยของหน้า ล้อ ถ้าล้อชุดใดชุดหนึ่งเบี่ยงไปด้านใดด้านหนึ่งเป็นระยะy (ความคลาดเคลื่อนในการติดตาม) รัศมีของหน้าล้อที่สัมผัสกับรางด้านหนึ่งจะลดลง ในขณะที่อีกด้านหนึ่งจะเพิ่มขึ้นความเร็วเชิงมุมของล้อทั้งสองเท่ากัน (เนื่องจากล้อทั้งสองเชื่อมต่อกันด้วยเพลาแข็ง ) ดังนั้น หน้าล้อที่ มีเส้นผ่านศูนย์กลาง ใหญ่กว่า จะเร็วขึ้น ในขณะที่หน้าล้อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเล็กกว่าจะช้าลง ชุดล้อจะเลี้ยวไปรอบจุดศูนย์กลางความโค้งที่กำหนดโดยจุดตัดของเส้นกำเนิดของกรวยที่ผ่านจุดสัมผัสกับล้อบนรางและแกนของชุดล้อ เมื่อใช้สามเหลี่ยมคล้ายกันเราจะได้รัศมีวงเลี้ยว:

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {2ky}{rd}}}$

โดยที่d คือ ระยะห่างระหว่างรางrคือรัศมีของล้อเมื่อวิ่งตรง และkคือความลาดเอียง ของหน้ายาง (ซึ่งเป็นความชันของหน้ายางในทิศทางแนวนอนตั้งฉากกับราง)

เส้นทางของชุดล้อที่สัมพันธ์กับรางตรงถูกกำหนดโดยฟังก์ชันy ( x ) โดยที่xคือความคืบหน้าตามราง บางครั้งเรียกว่าข้อผิดพลาดในการติดตาม^{[ 3 ]}หากทิศทางการเคลื่อนที่ยังคงขนานกับราง โดยประมาณ ความโค้งของเส้นทางอาจสัมพันธ์กับอนุพันธ์ อันดับสอง ของyเทียบกับระยะทางตามรางโดยประมาณ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \left|{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}\right|\approx {\frac {1}{R}}}$

ดังนั้นวิถีตามเส้นทางจึงถูกควบคุมโดยสมการ: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)y}$

นี่คือการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายที่มีความยาวคลื่น:

${\displaystyle \lambda =2\pi {\sqrt {\frac {rd}{2k}}}}$ รู้จักกันในชื่อสูตรของ Klingel (คิดค้นในปี พ.ศ. 2426) ^{[ 6 ]}

การวิเคราะห์จลนศาสตร์นี้บ่งชี้ว่ารถไฟจะแกว่งไปมาตลอดเวลา อันที่จริง การแกว่งนี้จะลดลงเมื่อความเร็วต่ำกว่าความเร็ววิกฤต และการเดินทางก็จะสะดวกสบายมากขึ้นตามไปด้วย ผลลัพธ์ทางจลนศาสตร์นี้ละเลยแรงที่ทำให้เกิดการเคลื่อนที่ แรงเหล่านี้สามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้แนวคิดของการคืบ (ไม่เป็นเชิงเส้น) แต่ค่อนข้างยากที่จะหาปริมาณได้ง่ายๆ เนื่องจากเกิดขึ้นจากการบิดเบี้ยวแบบยืดหยุ่นของล้อและรางในบริเวณที่สัมผัสกัน สิ่งเหล่านี้เป็นหัวข้อของกลศาสตร์การสัมผัสแบบเสียดทานการนำเสนอในช่วงแรกที่รวมผลกระทบเหล่านี้ไว้ในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบแกว่งนั้นนำเสนอโดย Carter ^{[ 7 ]}ดู Knothe ^{[ 8 ]}สำหรับภาพรวมทางประวัติศาสตร์

หากการเคลื่อนที่ขนานกับรางโดยประมาณการกระจัดเชิงมุมของชุดล้อจะกำหนดโดย: ${\displaystyle \left(\theta \right)}$

${\displaystyle \theta ={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}}$

เพราะฉะนั้น:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} x}}&={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)y\\{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} x^{2}}}&=-\left({\frac {2k}{rd}}\right){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta \end{aligned}}}$

การเบี่ยงเบนเชิงมุมยังเป็นไปตามการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ซึ่งล้าหลังการเคลื่อนที่ด้านข้างไปหนึ่งในสี่ของรอบ ในหลายระบบที่มีลักษณะเฉพาะด้วยการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกที่เกี่ยวข้องกับสองสถานะที่แตกต่างกัน (ในกรณีนี้คือการเบี่ยงเบนการหมุนรอบแกนและการเคลื่อนที่ด้านข้าง) การล้าหลังหนึ่งในสี่ของรอบระหว่างการเคลื่อนที่ทั้งสองทำให้ระบบมีความสามารถในการดึงพลังงานจากการเคลื่อนที่ไปข้างหน้า ผลกระทบนี้พบได้ใน " การสั่นไหว " ของปีกเครื่องบินและ " การสั่นไหวแบบสั่นไหว " ของยานพาหนะบนท้องถนน รวมถึงการแกว่งตัวของยานพาหนะทางรถไฟ วิธีแก้ปัญหาทางจลนศาสตร์ที่ได้มาจากข้างต้นอธิบายการเคลื่อนที่ที่ความเร็ววิกฤต

ในทางปฏิบัติ ที่ความเร็วต่ำกว่าความเร็ววิกฤต ความล่าช้าระหว่างการเคลื่อนที่ทั้งสองจะน้อยกว่าหนึ่งในสี่ของรอบ ทำให้การเคลื่อนที่นั้นถูกลดทอนลง แต่ที่ความเร็วสูงกว่าความเร็ววิกฤต ความล่าช้าจะมากกว่าหนึ่งในสี่ของรอบ ทำให้การเคลื่อนที่นั้นถูกขยายให้ใหญ่ขึ้น

เพื่อประมาณ ค่าแรง เฉื่อยจำเป็นต้องแสดงอนุพันธ์ของระยะทางในรูปของอนุพันธ์ ของเวลา ซึ่งทำได้โดยใช้ความเร็วของยานพาหนะUซึ่งถือว่าคงที่:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}=U{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}}$

ความเร่งเชิงมุมของแกนหมุนในแนวดิ่งคือ:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}}=-U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta }$

โมเมนต์ความเฉื่อย (โดยไม่คำนึงถึงผลกระทบจากไจโรสโคป) คือ:

${\displaystyle Fd=C{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}}}$

โดยที่Fคือแรงที่กระทำตามแนวราง และCคือโมเมนต์ความเฉื่อยของชุดล้อ

${\displaystyle F=-CU^{2}\left({\frac {2k}{rd^{2}}}\right)\theta }$

แรง เสียดทานสูงสุดระหว่างล้อและรางคำนวณได้จากสูตร:

${\displaystyle F=\mu {\frac {W}{2}}}$

โดยที่Wคือน้ำหนักบรรทุกของเพลาและ ΔΔCt คือสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานการลื่นไถลอย่างรุนแรงจะเกิดขึ้นที่ความเร็วและการโก่งตัวของเพลาตามที่กำหนดโดย: ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \theta U^{2}=\mu W{\frac {rd^{2}}{4Ck}}}$

สมการนี้ให้ค่าประมาณความเร็ววิกฤตที่สูงเกินจริงอย่างมาก แต่ก็แสดงให้เห็นถึงเหตุผลทางกายภาพที่ทำให้เกิดการไล่ล่า กล่าวคือ แรงเฉื่อยจะเทียบเท่ากับแรงยึดเกาะเมื่อความเร็วสูงกว่าระดับหนึ่ง แรงเสียดทานที่จำกัดนั้นเป็นตัวแทนที่ไม่ดีของแรงยึดเกาะในกรณีนี้

แรงยึดเกาะที่แท้จริงเกิดขึ้นจากการบิดเบี้ยวของหน้าสัมผัสและรางในบริเวณที่สัมผัสกัน ไม่มีการลื่นไถลอย่างรุนแรง มีเพียงการบิดเบี้ยวแบบยืดหยุ่นและการลื่นไถลเฉพาะจุด (การลื่นไถลแบบคืบคลาน) ในระหว่างการใช้งานปกติ แรงเหล่านี้อยู่ภายในขีดจำกัดของแรงเสียดทานที่กำหนดไว้ การวิเคราะห์อย่างครบถ้วนจะคำนึงถึงแรงเหล่านี้ โดยใช้ทฤษฎี กลศาสตร์การสัมผัสแบบหมุน

อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์ทางจลศาสตร์นั้นตั้งสมมติฐานว่าไม่มีการลื่นไถลเกิดขึ้นเลยที่จุดสัมผัสระหว่างล้อกับราง แต่ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนแล้วว่ามีการลื่นไถลเกิดขึ้นบ้าง ซึ่งทำให้เส้นทางการเคลื่อนที่แบบไซน์ของชุดล้อที่คำนวณได้ (ตามสูตรของคลิงเกล) ไม่ถูกต้องอย่างแท้จริง

เพื่อให้ได้ค่าประมาณของความเร็ววิกฤต เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเงื่อนไขที่ทำให้คำตอบเชิงจลนศาสตร์นี้ใช้ได้นั้น สอดคล้องกับกรณีที่ไม่มี การแลกเปลี่ยน พลังงาน สุทธิ กับสิ่งแวดล้อม ดังนั้นโดยการพิจารณาพลังงานจลน์และพลังงานศักยภาพของระบบ เราจึงควรจะสามารถหาความเร็ววิกฤตได้

อนุญาต:

${\displaystyle \omega ={\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}}$

การใช้ตัวดำเนินการ:

${\displaystyle \omega {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \theta }}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}}$

สมการความเร่งเชิงมุมสามารถแสดงได้ในรูปของความเร็วเชิงมุมในแกน yaw ดังนี้: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega {\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} \theta }}=-U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta }$

การบูรณาการ:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\omega ^{2}=-{\frac {1}{2}}U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

ดังนั้นพลังงานจลน์เนื่องจากการหมุนคือ:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}C\omega ^{2}=-{\frac {1}{2}}CU^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

เมื่อเพลาหมุน ตัวจุดสัมผัสจะเคลื่อนออกไปด้านนอกบนหน้าสัมผัส ทำให้ความสูงของเพลาลดลง ระยะห่างระหว่างจุดรองรับจะเพิ่มขึ้นเป็น:

${\displaystyle {\frac {d}{cos(\theta )}}=d\left(1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2}\right)}$

(สำหรับปริมาณเล็กน้อยในลำดับที่สอง) การเคลื่อนตัวของจุดรองรับออกจากจุดศูนย์กลางของขั้นบันไดคือ:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(d+{\frac {1}{2}}d\theta ^{2}-d\right)}$

น้ำหนักบรรทุกของเพลาลดลงโดย

${\displaystyle h={\frac {1}{4}}kd\theta ^{2}}$

ดังนั้น งานที่ทำโดยการลดน้ำหนักบรรทุกของเพลาคือ:

${\displaystyle E={\frac {1}{4}}Wkd\theta ^{2}}$

นี่คือพลังงานที่สูญเสียไปจากระบบ ดังนั้นเพื่อให้การเคลื่อนที่ดำเนินต่อไป จะต้องดึงพลังงานในปริมาณที่เท่ากันจากการเคลื่อนที่ไปข้างหน้าของชุดล้อ

ความเร็วของล้อด้านนอกคำนวณได้จากสูตร:

${\displaystyle V={\frac {U}{r}}\left(r+ky\right)}$

พลังงานจลน์คือ:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}m\left(U^{2}+2U^{2}{\frac {ky}{r}}+U^{2}{\frac {k^{2}y^{2}}{r^{2}}}\right)}$

สำหรับล้อด้านในนั้นคือ

${\displaystyle {\frac {1}{4}}m\left(U^{2}-2U^{2}{\frac {ky}{r}}+U^{2}{\frac {k^{2}y^{2}}{r^{2}}}\right)}$

โดยที่mคือมวลของล้อทั้งสองข้าง

การเพิ่มขึ้นของพลังงานจลน์คือ:

${\displaystyle \delta E={\frac {1}{2}}m\left({\frac {Uky}{r}}\right)^{2}}$

การเคลื่อนที่จะดำเนินต่อไปด้วยแอมพลิจูดคงที่ ตราบใดที่พลังงานที่ดึงออกมาจากการเคลื่อนที่ไปข้างหน้า ซึ่งแสดงออกมาในรูปของพลังงานจลน์ที่เพิ่มขึ้นของล้อที่ตั้งไว้ที่มุมหันเหเป็นศูนย์ มีค่าเท่ากับพลังงานศักย์ที่สูญเสียไปจากการลดน้ำหนักบรรทุกของเพลาที่มุมหันเหสูงสุด

ต่อไปนี้คือข้อมูลจากจลศาสตร์:

${\displaystyle {\begin{aligned}2U{\frac {ky}{rd}}&=\omega \\\delta E&={\frac {1}{8}}md^{2}\omega ^{2}\end{aligned}}}$

แต่

${\displaystyle \omega ^{2}=-U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่เชิงเส้นคือ

${\displaystyle \delta E=-{\frac {1}{8}}U^{2}md^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

พลังงานจลน์รวมคือ:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}U^{2}\left(C+{\frac {md^{2}}{4}}\right)\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

สามารถหาความเร็ววิกฤตได้จากสมดุลพลังงาน:

${\displaystyle {\frac {Wkd}{2}}=U^{2}{\frac {2k}{rd}}\left(C+{\frac {md^{2}}{4}}\right)}$

ดังนั้นความเร็ววิกฤตจึงกำหนดโดย

${\displaystyle U^{2}={\frac {Wrd^{2}}{4C+md^{2}}}}$

ค่านี้ไม่ขึ้นอยู่กับความเรียวของล้อ แต่ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของน้ำหนัก บรรทุกบนเพลา ต่อมวลของชุดล้อ หากหน้ายางมีรูปทรงกรวยอย่างแท้จริง ความเร็ววิกฤตจะไม่ขึ้นอยู่กับความเรียว ในทางปฏิบัติ การสึกหรอของล้อทำให้ความเรียวแตกต่างกันไปตามความกว้างของหน้ายาง ดังนั้นค่าความเรียวที่ใช้ในการกำหนดพลังงานศักยภาพจึงแตกต่างจากค่าที่ใช้ในการคำนวณพลังงานจลน์ โดยกำหนดให้ค่าแรกเป็นaความเร็ววิกฤตจึงเป็นดังนี้:

${\displaystyle U^{2}={\frac {Ward^{2}}{k(4C+md^{2})}}}$

โดยที่aเป็นปัจจัยรูปร่างที่กำหนดโดยการสึกหรอของ ล้อ ผลลัพธ์นี้ได้มาจาก Wickens (1965) ^{[ 9 ]}จากการวิเคราะห์พลวัตของระบบ โดยใช้ วิธี วิศวกรรมควบคุมมาตรฐาน

การเคลื่อนที่ของชุดล้อมีความซับซ้อนมากกว่าที่การวิเคราะห์นี้จะแสดงให้เห็น มีแรงยึดเหนี่ยวเพิ่มเติมที่ใช้โดยระบบกันสะเทือนของยานพาหนะ^{[ 10 ]}และที่ความเร็วสูง ชุดล้อจะสร้าง แรงบิด ไจโรสโคป เพิ่มเติม ซึ่งจะปรับเปลี่ยนการประมาณความเร็ววิกฤต โดยทั่วไปแล้ว ยานพาหนะทางรถไฟจะมีการเคลื่อนที่ที่เสถียรที่ความเร็วต่ำ เมื่อถึงความเร็วสูง ความเสถียรจะเปลี่ยนไปเป็นรูปแบบที่ไม่เสถียร วัตถุประสงค์หลักของการวิเคราะห์แบบไม่เชิงเส้นของพลวัตระบบยานพาหนะทางรถไฟคือการแสดงมุมมองของการตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ของการแตกแขนง ความเสถียรด้านข้างแบบไม่เชิงเส้น และพฤติกรรมการแกว่งของยานพาหนะทางรถไฟในรางสัมผัส การศึกษานี้อธิบายวิธีการ Bogoliubov สำหรับการวิเคราะห์^{[ 11 ]}

ประเด็นหลักสองประการ ได้แก่ การสมมติว่าตัวรถเป็นฐานรองรับคงที่และอิทธิพลขององค์ประกอบที่ไม่เป็นเชิงเส้นในการคำนวณความเร็วในการแกว่ง มักเป็นจุดสนใจในการศึกษา^{[ 12 ]}ยานพาหนะทางรถไฟจริงมีองศาอิสระมากกว่ามาก และด้วยเหตุนี้จึงอาจมีความเร็ววิกฤตมากกว่าหนึ่งค่า ไม่ใช่เรื่องแน่นอนว่าค่าต่ำสุดจะถูกกำหนดโดยการเคลื่อนที่ของล้อ อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์นี้มีประโยชน์เพราะแสดงให้เห็นว่าเหตุใดการแกว่งจึงเกิดขึ้น เมื่อความเร็วเพิ่มขึ้น แรงเฉื่อยจะเทียบได้กับแรงยึดเกาะ นั่นคือเหตุผลที่ความเร็ววิกฤตขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของน้ำหนักบรรทุกเพลา (ซึ่งกำหนดแรงยึดเกาะ) ต่อมวลของล้อ (ซึ่งกำหนดแรงเฉื่อย)

ในทางกลับกัน ที่ความเร็วต่ำกว่าระดับหนึ่ง พลังงานที่ดึงออกมาจากการเคลื่อนที่ไปข้างหน้าจะไม่เพียงพอที่จะชดเชยพลังงานที่สูญเสียไปจากการลดระดับเพลา และการเคลื่อนที่ก็จะลดลง ในขณะที่ความเร็วสูงกว่าระดับนี้ พลังงานที่ดึงออกมาจะมากกว่าการสูญเสียพลังงานศักยภาพ และแอมพลิจูดก็จะเพิ่มขึ้น

พลังงานศักยภาพที่จุดหมุนสูงสุดของเพลาอาจเพิ่มขึ้นได้โดยการรวมข้อจำกัดแบบยืดหยุ่นเข้ากับการเคลื่อนที่แบบหมุนของเพลา เพื่อให้เกิดการมีส่วนร่วมจากแรงดึงของสปริง การจัดเรียงล้อในชุดล้อเพื่อเพิ่มข้อจำกัดในการเคลื่อนที่แบบหมุนของชุดล้อและการใช้ข้อจำกัดแบบยืดหยุ่นกับชุดล้อจะช่วยเพิ่มความเร็ววิกฤตด้วย การนำแรงยืดหยุ่นเข้ามาในสมการช่วยให้สามารถออกแบบระบบกันสะเทือนที่ถูกจำกัดเพียงแค่การลื่นไถลอย่างรุนแรงเท่านั้น แทนที่จะเป็นการสั่นสะเทือนแบบคลาสสิก ข้อเสียของการกำจัดอาการสั่นสะเทือนอย่างสิ้นเชิงคือรางที่ตรง ซึ่งมีปัญหาเรื่องสิทธิ์ในการใช้ทางและความไม่เข้ากันกับโครงสร้างพื้นฐานเดิม

การล่าสัตว์เป็นปัญหาที่มีพลวัต ซึ่งในทางทฤษฎีแล้วสามารถแก้ไขได้ด้วยการควบคุมแบบป้อนกลับเชิงรุก ซึ่งอาจปรับให้เข้ากับคุณภาพของเส้นทางได้ อย่างไรก็ตาม การนำการควบคุมเชิงรุกมาใช้ทำให้เกิดปัญหาด้านความน่าเชื่อถือและความปลอดภัย

หลังจากเริ่มการล่าเหยื่อได้ไม่นาน การลื่นไถลอย่างรุนแรงก็เกิดขึ้น และขอบล้อจะกระแทกกับราง ซึ่งอาจก่อให้เกิดความเสียหายต่อทั้งตัวรถและรางได้

ยานพาหนะที่วิ่งบนรางและบนถนนหลายคันมีเพลาและระบบกันสะเทือนแบบอิสระบนล้อแต่ละล้อ เมื่อรวมกับล้อถนนที่อยู่บนรางแล้ว การใช้สูตรข้างต้นจึงทำได้ยาก ในอดีต ยานพาหนะที่วิ่งบนรางและบนถนนมักตั้งล้อหน้าให้เอียงเข้า เล็กน้อย ซึ่งพบว่าช่วยลดการสั่นสะเทือนขณะขับเคลื่อนบนรางได้

การแกว่งแบบ "ล่า" ทั่วไปสองแบบในการบิน ได้แก่ การแกว่ง แบบฟูกอยด์ซึ่งกลไกการปรับแต่งตามธรรมชาติของเครื่องบินจะ "ล่า" มุมปะทะ ที่ปรับแต่งแล้ว ^{[ 13 ]}และ โหมด การหมุนแบบดัตช์ซึ่งการแกว่งแบบยอว์และโรลจะ "ล่า" การบินตรงและระดับ

• กลศาสตร์การสัมผัสเสียดทาน
• การยึดเกาะราง
• โปรไฟล์รางรถไฟ
• การสั่นสะเทือนด้วยความเร็ว
• พลศาสตร์ยานยนต์
• ชุดล้อ

สำหรับวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาประเภทนี้ โปรดดูที่...

• วิศวกรรมควบคุม