ในทางคณิตศาสตร์พหุนามฮูร์วิตซ์ (ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน อดอล์ฟ ฮูร์วิต ซ์ ) คือพหุนาม ที่มีราก (ศูนย์) อยู่ในระนาบครึ่งซ้ายของระนาบเชิงซ้อนหรือบนแกนจินตนาการกล่าวคือส่วนจริงของรากทุกรากเป็นศูนย์หรือเป็นลบ^{[ 1 ]} พหุนามดังกล่าวต้องมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงบวก บางครั้งคำนี้ถูกจำกัดไว้เฉพาะพหุนามที่มีรากที่มีส่วนจริงเป็นลบอย่างเคร่งครัด โดยไม่รวมแกนจินตนาการ (เช่นพหุนามฮูร์วิตซ์เสถียร ) ^{[ 2 ] [ 3 ]}

ฟังก์ชันพหุนามP ( s )ของตัวแปรเชิงซ้อนsจะเรียกว่าเป็นฟังก์ชันฮูร์วิตซ์ (Hurwitz) ถ้าเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1. P ( s )เป็นจริงเมื่อ sเป็นจริง
2. รากของP ( s )มีส่วนจริงเป็นศูนย์หรือเป็นลบ

พหุนามฮูร์วิตซ์มีความสำคัญในทฤษฎีระบบควบคุมเนื่องจากเป็นตัวแทนสมการลักษณะเฉพาะของระบบเชิงเส้นที่มีเสถียรภาพ การตรวจสอบว่าพหุนามใดเป็นพหุนามฮูร์วิตซ์หรือไม่ สามารถทำได้โดยการแก้สมการเพื่อหาค่าราก หรือจากสัมประสิทธิ์โดยไม่ต้องแก้สมการโดยใช้เกณฑ์ความเสถียรของรูธ-ฮูร์วิตซ์

ตัวอย่างง่ายๆ ของพหุนามฮูร์วิตซ์คือ:

${\displaystyle x^{2}+2x+1.}$

คำตอบที่ถูกต้องเพียงคำตอบเดียวคือ −1 เพราะสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น −1

${\displaystyle (x+1)^{2}.}$

โดยทั่วไปพหุนามกำลังสอง ทั้งหมด ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นบวกจะเป็นพหุนามฮูร์วิตซ์ ซึ่งเป็นผลโดยตรงจากสูตรกำลังสอง :

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}$

โดยที่ ถ้าค่าดิสครีมิแนนต์b ² −4 acน้อยกว่าศูนย์ พหุนามจะมี คำตอบ เชิงซ้อนคู่กัน สอง คำตอบที่มีส่วนจริงเท่ากับ − b /2 aซึ่งจะเป็นลบสำหรับค่าaและb ที่เป็นบวก ถ้าค่าดิสครีมิแนนต์เท่ากับศูนย์ จะมีคำตอบจริงสองคำตอบที่ตรงกันที่ − b /2 aสุดท้าย ถ้าค่าดิสครีมิแนนต์มากกว่าศูนย์ จะมีคำตอบจริงที่เป็นลบสองคำตอบ เนื่องจากสำหรับค่าa , bและcที่ เป็นบวก${\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}<b}$

เพื่อให้พหุนามเป็นฮูร์วิตซ์ จำเป็นแต่ไม่เพียงพอที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามนั้นจะต้องเป็นบวก (ยกเว้นพหุนามกำลังสอง ซึ่งก็เพียงพอแล้วเช่นกัน) เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับพหุนามที่เป็นฮูร์วิตซ์คือ พหุนามนั้นต้องผ่านเกณฑ์ความเสถียรของรูธ-ฮูร์วิตซ์สามารถทดสอบได้อย่างมีประสิทธิภาพว่าพหุนามที่กำหนดให้เป็นฮูร์วิตซ์หรือไม่ โดยใช้เทคนิคการขยายเศษส่วนต่อเนื่องของรูธ