ในทฤษฎีความโกลาหลแผนที่อิเคดะเป็นระบบไดนามิกแบบเวลาไม่ต่อเนื่องที่สร้างตัวดึงดูดแปลกประหลาดมันถูกนำเสนอในปี 1979 โดยนักฟิสิกส์เคนสุเกะ อิเคดะในฐานะแบบจำลองสำหรับพฤติกรรมของแสงภายในตัวเรโซเนเตอร์เชิงแสงแบบไม่เชิงเส้น[ 1 ^{]แผนที่นี้}แสดงให้เห็นว่าชุดกฎง่ายๆ สามารถนำไปสู่พฤติกรรมที่ซับซ้อนและโกลาหลได้อย่างไร ผ่านกระบวนการหมุน ปรับขนาด และแปลซ้ำๆ ซึ่งเป็นการดำเนินการ "ยืดและพับ" ที่พบได้ทั่วไปในระบบโกลาหล

แผนที่ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันวนซ้ำบนระนาบเชิงซ้อนสำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดค่าถัดไปจะคำนวณดังนี้: ในที่นี้แสดงถึงสนามไฟฟ้าในตัวเรโซเนเตอร์ที่ขั้นตอนพารามิเตอร์และ เกี่ยวข้องกับ แสงเลเซอร์ภายนอกและเฟสของระบบ ในขณะที่(โดยที่) เป็น พารามิเตอร์ การกระจายที่แสดงถึงการสูญเสียพลังงานในตัวเรโซเนเตอร์^{[ 2 ]}${\displaystyle z_{n}}$$${\displaystyle z_{n+1}=A+Bz_{n}e^{i(|z_{n}|^{2}+C)}}$$${\displaystyle z_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B\leq 1}$

แบบจำลองค่าจริงที่นิยมศึกษากันโดยทั่วไปแสดงด้วยสมการสองมิติ: โดยที่เป็นพารามิเตอร์ และสำหรับค่าของพารามิเตอร์ระบบนี้แสดงพฤติกรรมอลวน สร้าง ตัวดึงดูด แบบแฟร็กทัล ที่มีลักษณะเฉพาะดัง แสดงในภาพประกอบของบทความ $${\displaystyle x_{n+1}=1+u(x_{n}\cos t_{n}-y_{n}\sin t_{n}),\,}$$$${\displaystyle y_{n+1}=u(x_{n}\sin t_{n}+y_{n}\cos t_{n}),}$$${\displaystyle u}$$${\displaystyle t_{n}=0.4-{\frac {6}{1+x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}.}$$${\displaystyle u\geq 0.6}$

ภาพเคลื่อนไหวนี้แสดงให้เห็นว่าจุดดึงดูด (attractor) ของระบบเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อค่าพารามิเตอร์เปลี่ยนแปลงจาก 0.0 ถึง 1.0 โดยเพิ่มขึ้นทีละ 0.01 ระบบพลวัตของ Ikeda ถูกจำลองเป็นเวลา 500 ขั้นตอน โดยเริ่มต้นจากจุดเริ่มต้นที่วางไว้แบบสุ่ม 20,000 จุด จุด 20 จุดสุดท้ายของแต่ละวิถีการเคลื่อนที่ถูกนำมาพล็อตเพื่อแสดงจุดดึงดูดโปรดสังเกตการแยกสาขาของจุดดึงดูดเมื่อค่าเพิ่มขึ้น ${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

แผนภาพด้านล่างแสดงวิถีการเคลื่อนที่ของจุดสุ่ม 200 จุด สำหรับค่าต่างๆ ของโดยแผนภาพย่อยด้านซ้ายแสดงค่าประมาณของตัวดึงดูด (attractor)และแผนภาพย่อยด้านขวาแสดงมุมมองที่ขยายใหญ่ขึ้นของแผนภาพวิถีการเคลื่อนที่หลัก ${\displaystyle u}$

โค้ด Octave/MATLAB สำหรับสร้างกราฟเหล่านี้แสดงอยู่ด้านล่าง:

% u = พารามิเตอร์ ikeda % ตัวเลือก = สิ่งที่จะพล็อต% 'trajectory' - พล็อตวิถีการเคลื่อนที่ของจุดเริ่มต้นแบบสุ่ม% 'limit' - พล็อตการวนซ้ำครั้งสุดท้ายของจุดเริ่มต้นแบบสุ่มfunction ikeda ( u, option ) P = 200 ; % จำนวนจุดเริ่มต้นN = 1000 ; % จำนวนการวนซ้ำNlimit = 20 ; % พล็อตจุดสุดท้ายจำนวนนี้สำหรับตัวเลือก 'limit' x = randn ( 1 , P ) * 10 ; % จุดเริ่มต้นแบบสุ่มy = randn ( 1 , P ) * 10 ; for n = 1 : P , X = compute_ikeda_trajectory ( u , x ( n ), y ( n ), N ); switch option case 'trajectory' % พล็อตวิถีการเคลื่อนที่ของกลุ่มจุดplot_ikeda_trajectory ( X ); hold on ;กรณี'limit' plot_limit ( X , Nlimit ); hold on ;มิฉะนั้นให้แสดงข้อความ' ยังไม่ได้ใช้งาน' จบแกนแคบ; แกนเท่ากันข้อความ( - 25 , - 15 , [ 'u = ' num2str ( u )]); ข้อความ( - 25 , - 18 , [ 'N = ' num2str ( N ​​) ' รอบ' ]); สิ้นสุด% พล็อตจุด n จุดสุดท้ายของเส้นโค้ง - เพื่อดูจุดสิ้นสุดหรือวงจรจำกัดฟังก์ชันplot_limit ( X, n ) plot ( X ( end - n : end , 1 ), X ( end - n : end , 2 ), 'ko' ); end% พล็อตเส้นทางทั้งหมดฟังก์ชันplot_ikeda_trajectory ( X ) plot ( X (:, 1 ), X (:, 2 ), 'k' ); % hold on; plot(X(1,1), X(1,2), 'bo', 'markerfacecolor', 'g'); hold off end% u คือพารามิเตอร์ Ikeda % x,y คือจุดเริ่มต้น% N คือจำนวนรอบการทำซ้ำฟังก์ชัน [X] = compute_ikeda_trajectory ( u, x, y, N ) X = zeros ( N , 2 ); X ( 1 , :) = [ x y ]; สำหรับn = 2 : N t = 0.4 - 6 / ( 1 + x ^ 2 + y ^ 2 ); x1 = 1 + u * ( x * cos ( t ) - y * sin ( t )); y1 = u * ( x * sin ( t ) + y * cos ( t )); x = x1 ; y = y1 ;X ( n , :) = [ x y ]; end end

นำเข้าคณิตศาสตร์import matplotlib.pyplot as plt import numpy as npdef main ( u : float , points = 200 , iterations = 1000 , nlim = 20 , limit = False , title = True ): """  Args:  u:float  พารามิเตอร์ ikeda  points:int  จำนวนจุดเริ่มต้น iterations:int  จำนวนรอบการทำ ซ้ำ  nlim:int  พล็อตจุดสุดท้ายจำนวนเท่านี้สำหรับตัวเลือก 'limit' จะพล็อตจุดทั้งหมดหากตั้งค่าเป็นศูนย์ limit:bool  พล็อตจุดเริ่มต้นแบบสุ่มไม่กี่จุดสุดท้ายหากเป็น True มิฉะนั้นจะพล็อตเส้นทาง title:[str, NoneType]  แสดงชื่อของกราฟหากค่าเป็น affirmative  """x = 10 * np.random.randn ( points , 1 ) y = 10 * np.random.randn ( points , 1 )​​​​​​​​สำหรับn ในช่วง( จุด): X = คำนวณวิถีการเคลื่อนที่ของ Ikeda ( u , x [ n ][ 0 ], y [ n ][ 0 ], จำนวนรอบ)ถ้าlimit : plot_limit ( X , nlim ) tx , ty = 2.5 , - 1.8มิฉะนั้น: plot_ikeda_trajectory ( X ) tx , ty = - 30 , - 26plt.title ( f "Ikeda Map ( { u = : .2g } , { iterations =} ) " ) if title else None return pltdef compute_ikeda_trajectory ( u : float , x : float , y : float , N : int ): """คำนวณวิถีการเคลื่อนที่ทั้งหมด Args:  u - พารามิเตอร์ Ikeda  x, y - พิกัดของจุดเริ่มต้น N - จำนวนรอบการทำซ้ำ ส่งคืน:  อาร์เรย์ """ X = np . zeros (( N , 2 ))สำหรับn ในช่วง( N ): X [ n ] = np.array ( ( x , y ) )t = 0.4 - 6 / ( 1 + x ** 2 + y ** 2 ) x1 = 1 + u * ( x * math . cos ( t ) - y * math . sin ( t )) y1 = u * ( x * math . sin ( t ) + y * math . cos ( t ))x = x1 y = y1คืนค่าXdef plot_limit ( X , n : int ) -> None : """  พล็อตจุด n จุดสุดท้ายของเส้นโค้ง เพื่อดูจุดสิ้นสุดหรือวงจรจำกัด Args:  X: np.array เส้นทางการ เคลื่อนที่ ของจุดเริ่มต้นที่เกี่ยวข้อง n: int  จำนวนจุด "สุดท้าย" ที่จะพล็อต" " " plt.plot  ( X [ -n :, 0 ] , X [ -n :, 1 ] , 'ko' )def plot_ikeda_trajectory ( X ) -> None : """  พล็อตเส้นทางทั้งหมด Args:  X: np.array เส้นทางการเคลื่อนที่ ของ จุดเริ่มต้นที่เกี่ยวข้อง """ plt.plot ( X [ :, 0 ], X [:, 1 ], "k" )ถ้า__name__ == "__main__" : main ( 0.9 , limit = True , nlim = 0 ) . show ()