เบอร์เกได้กำหนดขอบเขตพื้นฐานในแง่ของลำดับ${\displaystyle n}$และระดับ สูงสุด${\displaystyle \Delta }$ของกราฟ: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{1+\Delta }}\right\rceil \leq i(G)\leq n-\Delta }$

สำหรับกราฟที่ไม่มีจุดยอดโดดเดี่ยว: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle i(G)\leq n+2-2{\sqrt {n}}}$

และขอบเขตนี้มีความแม่นยำ สำหรับกราฟที่มีดีกรีต่ำสุดอย่างน้อย${\displaystyle \delta }$: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle i(G)\leq n+2\delta -2{\sqrt {\delta n}}}$

ยืนยันสมมติฐานก่อนหน้านี้ของฟาวารอน^{[ 8 ]}

สำหรับกราฟที่ไม่มีกรงเล็บ : ^{[ 10 ]}

${\displaystyle i(G)=\gamma (G)}$

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับ${\displaystyle K_{1,k}}$กราฟ แบบ -free ( star -free) ที่${\displaystyle k\geq 3}$: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle i(G)\leq (k-2)\gamma (G)-(k-3)}$

สำหรับกราฟสองส่วน ใดๆ ที่ไม่มีจุดยอดโดดเดี่ยวบน${\displaystyle n}$จุดยอด: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle i(G)\leq n/2}$

สำหรับต้นไม้ถ้าต้นไม้มี${\displaystyle n}$จุดยอดและ${\displaystyle \ell }$ใบ: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle i(G)\leq (n+\ell )/3}$

ถ้า${\displaystyle G}$เป็น${\displaystyle r}$- กราฟปกติบน${\displaystyle n}$จุดยอดที่ไม่มีจุดยอดโดดเดี่ยว จากนั้น: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle i(G)\leq \alpha (G)\leq n/2}$

สำหรับกราฟลูกบาศก์ที่เชื่อมต่อกัน อื่นๆ นอกเหนือจาก${\displaystyle K_{3,3}}$: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle i(G)\leq 2n/5}$

มีการคาดการณ์ว่าขอบเขตดังกล่าวสามารถปรับปรุงให้ดีขึ้นได้${\displaystyle 3n/8}$สำหรับกราฟลูกบาศก์ที่เชื่อมต่อทั้งหมดที่มีลำดับมากกว่า 10 ^{[ 1 ]}

เกี่ยวกับอัตราส่วนระหว่างการครอบงำและการครอบงำอิสระในกราฟลูกบาศก์ที่เชื่อมต่อกัน นอกเหนือจากนั้น${\displaystyle K_{3,3}}$: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle i(G)/\gamma (G)\leq 4/3}$

สำหรับกราฟระนาบ ใดๆ บน${\displaystyle n}$จุดยอด: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle i(G)\leq 3n/4-2}$

สำหรับกราฟระนาบที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 2 ขอบเขตสามารถปรับปรุงได้: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle i(G)\leq \lceil n/3\rceil }$

สำหรับกราฟใดๆ${\displaystyle G}$กราฟเส้นของมัน${\displaystyle L(G)}$ไม่มีกรงเล็บ ดังนั้นจึงเป็นเซตอิสระขั้นต่ำสุดสูงสุดใน${\displaystyle L(G)}$นอกจากนี้ยังเป็นเซตครอบงำขั้นต่ำใน${\displaystyle L(G)}$ชุดอิสระใน${\displaystyle L(G)}$สอดคล้องกับการจับคู่ใน${\displaystyle G}$และชุดที่โดดเด่นใน${\displaystyle L(G)}$สอดคล้องกับเซตที่ครอบงำขอบใน${\displaystyle G}$ดังนั้นการจับคู่สูงสุดขั้นต่ำ จึง มีขนาดเท่ากับเซตที่ครอบคลุมขอบขั้นต่ำ

เนื่องจากการหาค่าต่ำสุดนั้นพิจารณาจากเซตจำนวนน้อยกว่า (โดยพิจารณาเฉพาะเซตครอบงำที่เป็นอิสระเท่านั้น)${\displaystyle \gamma (G)\leq i(G)}$สำหรับกราฟทั้งหมด${\displaystyle G}$ในทำนองเดียวกัน เนื่องจากเซตอิสระสูงสุดทุกเซตเป็นเซตอิสระ${\displaystyle i(G)\leq \alpha (G)}$, ที่ไหน${\displaystyle \alpha (G)}$คือจำนวนความเป็นอิสระยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากเซตอิสระสูงสุดทุกเซตเป็นเซตครอบงำขั้นต่ำ${\displaystyle \alpha (G)\leq \Gamma (G)}$, ที่ไหน${\displaystyle \Gamma (G)}$คือจำนวนการครอบงำสูงสุด (ขนาดสูงสุดของเซตการครอบงำขั้นต่ำ) ซึ่งจะทำให้เกิดห่วงโซ่การครอบงำ : ^{[ 17 ]}

${\displaystyle \gamma (G)\leq i(G)\leq \alpha (G)\leq \Gamma (G).}$

ความไม่เท่าเทียมกันอาจเป็นแบบเข้มงวด มีกราฟอยู่ด้วย${\displaystyle G}$ซึ่ง${\displaystyle \gamma (G)<i(G)}$ตัวอย่างเช่น สมมติว่า${\displaystyle G}$เป็นกราฟดาวคู่ที่ประกอบด้วยจุดยอด${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{p},a,b,y_{1},\ldots ,y_{q}}$, ที่ไหน${\displaystyle p,q>1}$ขอบของ${\displaystyle G}$แต่ละคำนิยามไว้ดังนี้:${\displaystyle x_{i}}$อยู่ติดกับ${\displaystyle a}$,${\displaystyle a}$อยู่ติดกับ${\displaystyle b}$, และ${\displaystyle b}$อยู่ติดกับแต่ละ${\displaystyle y_{j}}$. แล้ว${\displaystyle \gamma (G)=2}$เนื่องจาก${\displaystyle \{a,b\}}$เป็นเซตครอบงำที่เล็กที่สุด ถ้า${\displaystyle p\leq q}$, แล้ว${\displaystyle i(G)=p+1}$เนื่องจาก${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{p},b\}}$เป็นเซตครอบงำที่เล็กที่สุดที่เป็นอิสระด้วย (เป็นเซตอิสระสูงสุดที่เล็กที่สุด)

อย่างไรก็ตาม ขอบเขต${\displaystyle \gamma (G)\leq i(G)\leq \alpha (G)}$มีความคมชัดพร้อมกันสำหรับโคโรนา${\displaystyle H\circ K_{1}}$ของกราฟใดๆ${\displaystyle H}$ซึ่งเป็นที่น่าพอใจ${\displaystyle \gamma (G)=i(G)=\alpha (G)=|V(H)|}$[ ^{1 ]​}

Cockayne และ Mynhardt ได้ระบุลำดับของค่าที่เป็นไปได้ไว้ดังนี้: ^{[ 18 ]}ลำดับ${\displaystyle (s_{1},s_{2},s_{3},s_{4})}$ของจำนวนเต็มสามารถเกิดขึ้นได้ดังนี้${\displaystyle (\gamma (G),i(G),\alpha (G),\Gamma (G))}$สำหรับกราฟบางส่วน${\displaystyle G}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle 1\leq s_{1}\leq s_{2}\leq s_{3}\leq s_{4}}$,${\displaystyle s_{1}=1}$หมายความว่า${\displaystyle s_{2}=1}$, และ${\displaystyle s_{3}=1}$หมายความว่า${\displaystyle s_{4}=1}$.