ในทางคณิตศาสตร์จำนวนทรานส์ไฟไนต์หรือจำนวนอนันต์คือจำนวนที่ " เป็นอนันต์ " ในแง่ที่ว่ามีขนาดใหญ่กว่าจำนวนจำกัด ทั้งหมด ซึ่งรวมถึงจำนวน คาร์ดินัลทรานส์ไฟไนต์ซึ่งเป็นจำนวนคาร์ดินัลที่ใช้ในการวัดขนาดของเซตอนันต์ และจำนวนออร์ดินัลทรานส์ ไฟไนต์ ซึ่งเป็นจำนวนออร์ดินัลที่ใช้ในการจัดลำดับเซตอนันต์^{[ 1 ] [ 2 ]}คำว่าทรานส์ไฟไนต์ถูกบัญญัติขึ้นในปี 1895 โดยGeorg Cantor [ ^{3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}ซึ่งต้องการหลีกเลี่ยงความหมายแฝงบางประการของคำว่าอนันต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาเชื่อว่า "อนันต์อย่างแท้จริง" เป็นคุณสมบัติที่สมบูรณ์แบบและ ^เป็น คุณสมบัติอันศักดิ์สิทธิ์ ดังนั้นเขาจึงปฏิเสธที่จะใช้คำนี้กับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่มนุษย์เข้าใจได้^{[ 7 ]}นักเขียนร่วมสมัยจำนวนน้อยที่เห็นด้วยกับข้อกังวลเหล่านี้ ปัจจุบันเป็นที่ยอมรับกันว่าจำนวนคาร์ดินัลและจำนวนออร์ดินัลทรานส์ไฟไนต์เป็นจำนวนอนันต์อย่างไรก็ตาม คำว่าทรานส์ไฟไนต์ก็ยังคงถูกใช้อยู่

งานที่โดดเด่นเกี่ยวกับจำนวนอนันต์นั้นทำโดยWacław Sierpińskiซึ่งอธิบายไว้ในหนังสือLeçons sur les nombres transfinis ในปี 1928 และได้รับการขยายเพิ่มเติมในหนังสือCardinal and Ordinal Numbersในปี 1958 ^{[ 8 ]} พร้อมด้วยฉบับแก้ไขเล็กน้อยครั้ง ที่ สองในปี 1965 ^{[ 9 ]}

จำนวนธรรมชาติจำกัดใดๆสามารถใช้ได้อย่างน้อยสองวิธี: ในฐานะจำนวนเชิงอันดับและจำนวนเชิงปริมาณ จำนวนเชิงปริมาณระบุขนาดของเซต (เช่น ถุง ลูกแก้ว ห้าลูก ) ในขณะที่จำนวนเชิงอันดับระบุลำดับของสมาชิกภายในเซตที่มีลำดับ^{[ 10 ]} (เช่น " คน ที่ห้าจากซ้าย" หรือ "วันที่ยี่สิบเจ็ดของเดือนมกราคม") สำหรับจำนวนจำกัด แนวคิดเหล่านี้มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง : ห้า ⇔ ห้า แต่เมื่อขยายไปยังจำนวนอนันต์ แนวคิดเหล่านี้จะไม่มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งอีกต่อไป จำนวนเชิงปริมาณอนันต์ใช้เพื่ออธิบายขนาดของเซตขนาดใหญ่อนันต์^{[ 2 ]}ในขณะที่จำนวนเชิงอันดับอนันต์ใช้เพื่ออธิบายตำแหน่งภายในเซตขนาดใหญ่อนันต์ที่มีลำดับ^{[ 10 ]} จำนวนเชิงอันดับและจำนวนเชิงปริมาณที่โดดเด่นที่สุดคือ:

• ${\displaystyle \omega }$( โอเมกา ): จำนวนเชิงอันดับอนันต์ต่ำสุด นอกจากนี้ยังเป็นประเภทลำดับของจำนวนธรรมชาติภายใต้การเรียงลำดับเชิงเส้นตามปกติ อีกด้วย
• ${\displaystyle \aleph _{0}}$( อเลฟ-นัลล์ ): จำนวนคาร์ดินัลอนันต์ตัวแรก นอกจากนี้ยังเป็นจำนวนสมาชิกของจำนวนธรรมชาติด้วย ถ้าสัจพจน์ของการเลือกเป็นจริง จำนวนคาร์ดินัลถัดไปที่สูงกว่าคืออเลฟ-วัน ถ้าไม่เป็นจริง อาจมีจำนวนคาร์ดินัลอื่นๆ ที่เปรียบเทียบกับอเลฟ-วันไม่ได้และมากกว่าอเลฟ-นัลล์ ไม่ ว่าในกรณีใด ก็ไม่มีจำนวนคาร์ดินัลใดๆ อยู่ระหว่างอเลฟ-นัลล์และอเลฟ-วัน${\displaystyle \aleph _{1}.}$

สมมติฐาน ความต่อเนื่องคือข้อเสนอที่ว่าไม่มีจำนวนคาร์ดินัลระดับกลางระหว่างและจำนวนคาร์ดินัลของความต่อเนื่อง (จำนวนคาร์ดินัลของเซตของจำนวนจริง ): ^{[ 2 ]}หรือเทียบเท่ากับจำนวนคาร์ดินัลของเซตของจำนวนจริง ในทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkelไม่สามารถพิสูจน์สมมติฐานความต่อเนื่องหรือข้อปฏิเสธของมันได้ ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

นักเขียนบางท่าน รวมถึง P. Suppes และ J. Rubin ใช้คำว่า " จำนวนนับอนันต์" (transfinite cardinal)เพื่ออ้างถึงจำนวนสมาชิกของเซตอนันต์แบบเดเดคินด์ (Dedekind-infinite set)ในบริบทที่อาจไม่เทียบเท่ากับ "จำนวนนับอนันต์" (infinite cardinal) กล่าวคือ ในบริบทที่ ไม่ได้สมมติหรือไม่ทราบว่า สัจพจน์ของการเลือกที่นับได้ (axiom of countable choice)นั้นเป็นจริง ภายใต้นิยามนี้ ข้อความต่อไปนี้ทั้งหมดจึงเทียบเท่ากัน:

• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$เป็นจำนวนเชิงอนันต์ นั่นคือ มีเซตอนันต์เดเดคินด์อยู่เซตหนึ่งซึ่งจำนวนสมาชิกของเซตนั้นคือ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}+1={\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle \aleph _{0}\leq {\mathfrak {m}}.}$
• มีจำนวนเชิงคาร์ดินัลอยู่จำนวนหนึ่งซึ่งมีคุณสมบัติว่า${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle \aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.}$

แม้ว่าจำนวนเชิงอนันต์และจำนวนคาร์ดินัลจะขยายความเฉพาะของจำนวนธรรมชาติเท่านั้น แต่ระบบจำนวนอื่นๆ รวมถึงจำนวนไฮเปอร์เรียลและจำนวนเซอร์เรียลก็มีการขยายความของจำนวนจริงเช่นกัน^{[ 11 ]}

ในทฤษฎีจำนวนเชิงลำดับของแคนเตอร์ จำนวนเต็มทุกจำนวนจะต้องมีตัวสืบทอด^{[ 12 ]}จำนวนเต็มถัดไปหลังจากจำนวนปกติทั้งหมด นั่นคือจำนวนเต็มอนันต์ตัวแรก เรียกว่าในบริบทนี้มีค่ามากกว่าและและมีค่ามากกว่านั้นอีก นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่มีระบุจำนวนเชิงลำดับ และสามารถคิดได้ว่าเป็นเซตของจำนวนเต็มทั้งหมดจนถึงจำนวนนั้น โดยทั่วไปแล้ว จำนวนที่กำหนดจะมีนิพจน์หลายแบบที่แสดงถึงจำนวนนั้น อย่างไรก็ตาม มีรูปแบบปกติของแคนเตอร์ที่ ไม่ซ้ำกันเพียงรูปแบบเดียว ที่แสดงถึงจำนวนนั้น^{[ 12 ]} โดยพื้นฐานแล้วคือลำดับของตัวเลขที่จำกัดซึ่งให้สัมประสิทธิ์ของกำลังที่ ลด ลงของ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega +1}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega \cdot 2}$${\displaystyle \omega ^{2}}$${\displaystyle \โอเมก้า ^{\โอเมก้า }}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$

ไม่ใช่จำนวนเต็มอนันต์ทั้งหมดที่สามารถแสดงได้ด้วยรูปแบบปกติของแคนเตอร์ อย่างไรก็ตาม จำนวนแรกที่ไม่สามารถแสดงได้ด้วยรูปแบบปกติของแคนเตอร์คือจำนวนที่กำหนดโดยลิมิตและเรียกว่า[ ^{12 ] เป็น}คำตอบที่เล็กที่สุดของและคำตอบถัดไปจะให้ลำดับที่ใหญ่กว่า และสามารถติดตามได้จนกว่าจะถึงลิมิตซึ่งเป็นคำตอบแรกของนี่หมายความว่าเพื่อให้สามารถระบุจำนวนเต็มอนันต์ทั้งหมดได้ จะต้องคิดลำดับชื่ออนันต์ขึ้นมา เพราะถ้าหากระบุจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดเพียงจำนวนเดียว ก็จะสามารถกล่าวถึงจำนวนที่ใหญ่กว่าที่ตามมาได้เสมอ แต่ดังที่แคนเตอร์ได้กล่าวไว้ แม้แต่สิ่งนี้ก็อนุญาตให้เข้าถึงเฉพาะกลุ่มต่ำสุดของจำนวนอนันต์เท่านั้น คือจำนวนที่มีขนาดของเซตสอดคล้องกับจำนวนคาร์ดินัล ${\displaystyle \โอเมก้า ^{\โอเมก้า ^{\โอเมก้า ^{...}}}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \omega ^{\varepsilon }=\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{\omega },...,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},...}$${\displaystyle \varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{...}}}}$${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\alpha }$${\displaystyle \aleph _{0}}$

ลองค้นหาคำว่า transfiniteใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมฟรี

• เลวี, แอซเรียล, 2002 (1978) ทฤษฎีเซตพื้นฐานสำนักพิมพ์โดเวอร์ISBN 0-486-42079-5
• O'Connor, JJ และ EF Robertson (1998) " Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ,” คลังเอกสารประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutor
• รูบิน, จีน อี. , 1967. "ทฤษฎีเซตสำหรับนักคณิตศาสตร์". ซานฟรานซิสโก: โฮลเดน-เดย์. อ้างอิงจาก ทฤษฎีเซต ของมอร์ส-เคลลีย์
• รูดี้ รัคเกอร์ , 2005 (1982) อนันต์และจิตใจสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน ส่วนใหญ่เป็นการสำรวจนัยยะทางปรัชญาของสวรรค์ของแคนเตอร์ISBN 978-0-691-00172-2.
• แพทริค ซัปเปส , 1972 (1960) " ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ " โดเวอร์ISBN 0-486-61630-4ยึดมั่นในZFC