ในทางคณิตศาสตร์ตัว ดำเนินการ ลาปลาสอนันต์ (หรือ -ลาปลาส) เป็น ตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อยอันดับ 2 ซึ่งมักย่อว่า โดยนิยามอีกแบบหนึ่งสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรคือ โดย ${\displaystyle L^{\infty }}$${\displaystyle \Delta _{\infty }}$${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle \Delta _{\infty }u=\langle Du,D^{2}u\,Du\rangle =\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}}$

หรือ

${\displaystyle \Delta _{\infty }u={\frac {\langle Du,D^{2}u\,Du\rangle }{|Du|^{2}}}={\frac {1}{|Du|^{2}}}\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}{\frac {\บางส่วน u}{\บางส่วน x_{i}}}{\frac {\บางส่วน u}{\บางส่วน x_{j}}},}$

โดยที่แทนเวกเตอร์เกรเดียนต์แทนเมทริกซ์เฮสเซียนและแทนผลคูณภายในแบบยุคลิดเวอร์ชันแรกหลีกเลี่ยงภาวะเอกฐานที่เกิดขึ้นเมื่อเกรเดียนต์เป็นศูนย์ ในขณะที่เวอร์ชันที่สองเป็นเอกพันธุ์อันดับศูนย์ในเกรเดียนต์ กล่าวคือ เวอร์ชันที่สองคืออนุพันธ์อันดับสองในทิศทางของเกรเดียนต์ในกรณีของสมการลาปลาสอนันต์นิยามทั้งสองจะเทียบเท่ากัน ${\displaystyle Du}$${\displaystyle D^{2}u}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \Delta _{\infty }u=0}$

แม้ว่าสมการจะเกี่ยวข้องกับอนุพันธ์อันดับสอง แต่โดยทั่วไปแล้วคำตอบ (แบบทั่วไป) จะไม่สามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้ ดังที่เห็นได้จากคำตอบของ Aronsson ที่เป็นที่รู้จักกันดีด้วยเหตุนี้ แนวคิดที่ถูกต้องเกี่ยวกับคำตอบจึงเป็นไปตาม คำ ตอบ ของความหนืด${\displaystyle u(x,y)=|x|^{4/3}-|y|^{4/3}}$

คำตอบแบบความหนืดของสมการยังรู้จักกันในชื่อฟังก์ชันฮาร์มอนิกอนันต์ ศัพท์ เฉพาะนี้เกิดขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าตัวดำเนินการลาปลาส อนันต์ ปรากฏขึ้นครั้งแรกในการศึกษาตัวลดค่าสัมบูรณ์สำหรับและสามารถมองได้ในแง่หนึ่งว่าเป็นลิมิตของp-ลาปลาเซียนเมื่อเมื่อไม่นานมานี้ คำตอบแบบความหนืดของสมการลาปลาสอนันต์ได้รับการระบุว่าเป็นฟังก์ชันผลตอบแทนจากเกมชักเย่อแบบสุ่มมุมมองทฤษฎีเกมได้ช่วยปรับปรุงความเข้าใจเกี่ยวกับสม การเชิงอนุพันธ์ย่อย อย่างมีนัยสำคัญ${\displaystyle \Delta _{\infty }u=0}$${\displaystyle \|Du\|_{L^{\infty }}}$${\displaystyle p\rightarrow \infty }$

คุณสมบัติสำคัญประการหนึ่งของ ฟังก์ชันฮาร์มอนิกทั่วไปคือคุณสมบัติค่าเฉลี่ยซึ่งมีเวอร์ชันแบบไม่ต่อเนื่องที่สำคัญและเป็นธรรมชาติ กล่าวคือ ฟังก์ชันค่าจริง บน กราฟจำกัดหรืออนันต์จะเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกแบบไม่ต่อเนื่องบนเซตย่อยก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle G(V,E)}$${\displaystyle U\subseteq V}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\deg(x)}}\sum _{y\sim x}f(y)}$

สำหรับทุก ๆในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์อันดับสองที่หายไปในทิศทางของเกรเดียนต์มีเวอร์ชันแบบไม่ต่อเนื่องตามธรรมชาติ: ${\displaystyle x\in U}$

${\displaystyle f(x)={\frac {\sup\{f(y):y\sim x\}+\inf\{f(y):y\sim x\}}{2}}}$.

ในสมการนี้ เราใช้ sup และ inf แทน max และ min เพราะกราฟไม่จำเป็นต้องเป็นกราฟจำกัดเฉพาะที่ (กล่าวคือ ไม่จำเป็นต้องมีดีกรีจำกัด) ตัวอย่างสำคัญคือ เมื่อเป็นเซตของจุดในโดเมน ในและถ้าระยะทางแบบยุคลิด ของจุดเหล่านั้น มีค่าไม่เกินความสำคัญของตัวอย่างนี้อยู่ที่ประเด็นต่อไปนี้ ${\displaystyle G(V,E)}$${\displaystyle V(G)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle (x,y)\in E(G)}$${\displaystyle \epsilon }$

พิจารณาเซตเปิดที่มีขอบเขตและขอบเรียบและฟังก์ชันต่อเนื่อง f ในกรณี การประมาณค่าส่วนขยายฮาร์มอนิกของfไปยังDนั้นทำได้โดยการใช้แลตทิซที่มีขนาดตาข่ายเล็ก ๆโดยให้และเป็นเซตของจุดยอดที่มีดีกรีน้อยกว่า2dใช้การประมาณค่าตามธรรมชาติแล้วจึงใช้ส่วนขยายฮาร์มอนิกแบบไม่ต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำกันของไปยังVอย่างไรก็ตาม จะเห็นได้ง่ายจากตัวอย่างว่าวิธีนี้ใช้ไม่ได้กับกรณี แต่ในทางกลับกัน ควรใช้กราฟต่อเนื่องที่มีขอบทุกด้านยาวไม่เกิน ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \partial D}$${\displaystyle f:\partial D\longrightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{\epsilon }^{d}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle G_{\epsilon }(V,E)=D\cap \mathbb {Z} _{\epsilon }^{d}}$${\displaystyle \partial V\subset V}$${\displaystyle f_{\epsilon }:\partial V\longrightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{\epsilon }}$${\displaystyle L^{\infty }}$${\displaystyle \epsilon }$

ทีนี้ วิธี พิจารณาการขยายฮาร์มอนิกของจากไป ในเชิงความน่าจะเป็นก็คือ ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle f_{\epsilon }}$${\displaystyle \partial V}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle f_{\epsilon }(x)=\mathbb {E} {\big [}f_{\epsilon }(X_{\tau })\,|\,X_{0}=x{\big ]}}$,

โดยที่การเดินสุ่มแบบง่ายเริ่มต้นที่และคือเวลาที่ การเดินสุ่มนั้นกระทบกับจุดเริ่ม ต้น ${\displaystyle X_{0},X_{1},\dots }$${\displaystyle G_{\epsilon }(V,E)}$${\displaystyle X_{0}=x}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \partial V}$

สำหรับกรณีนี้ เราจำเป็นต้องใช้ทฤษฎีเกมโทเค็นเริ่มต้นอยู่ที่ตำแหน่งและได้รับมา มีผู้เล่นสองคน ในแต่ละตา พวกเขาจะโยนเหรียญที่ยุติธรรมและผู้ชนะสามารถย้ายโทเค็นไปยังตำแหน่งข้างเคียงใดก็ได้ของตำแหน่งปัจจุบัน เกมจะจบลงเมื่อโทเค็นไปถึงที่เวลาและตำแหน่ง ใดตำแหน่งหนึ่ง ณ จุดนั้น ผู้เล่นคนแรกจะได้รับเงินจำนวนจากผู้เล่นคนที่สอง ดังนั้น ผู้เล่นคนแรกต้องการเพิ่มผลตอบแทนสูงสุดในขณะที่ผู้เล่นคนที่สองต้องการลดผลตอบแทนต่ำสุด หากผู้เล่นทั้งสองเล่นอย่างเหมาะสมที่สุด (ซึ่งมีความหมายที่ชัดเจนในทฤษฎีเกม) ผลตอบแทนที่คาดหวังของผู้เล่นคนแรกจะเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกอนันต์แบบไม่ต่อเนื่อง ตามที่กำหนดไว้ข้างต้น ${\displaystyle L^{\infty }}$${\displaystyle x\in V(G)}$${\displaystyle f:\partial V\longrightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \partial V}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X_{\tau }}$${\displaystyle f(X_{\tau })}$${\displaystyle f(X_{\tau })}$${\displaystyle \mathbb {E} [f(X_{\tau })\,|\,X_{0}=x]}$

นอกจากนี้ยัง มีแนวทางทฤษฎีเกมในการหาค่าp-Laplacianซึ่งเป็นการเชื่อมโยงระหว่างการเดินสุ่มแบบง่ายและเกมชักเย่อแบบสุ่มข้างต้น

• Barron, Emmanuel Nicholas; Evans, Lawrence C. ; Jensen, Robert (2008), "The infinity Laplacian, Aronsson's equation and their generalizations" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 360 (1): 77– 101, doi : 10.1090/S0002-9947-07-04338-3 , ISSN  0002-9947
• Peres, Yuval; Schramm, Oded ; Sheffield, Scott; Wilson, David B. (2009), "Tug-of-war and the infinity Laplacian.", Journal of the American Mathematical Society , 22 (1): 167– 210, arXiv : math/0605002v2 , Bibcode : 2009JAMS...22..167P , doi : 10.1090/s0894-0347-08-00606-1 , MR  2449057 , S2CID  15472459.