ในทางคณิตศาสตร์แนวคิดเรื่องผลเฉลยความหนืดได้รับการแนะนำในช่วงต้นทศวรรษ 1980 โดยPierre-Louis LionsและMichael G. Crandallในฐานะการวางนัยทั่วไปของแนวคิดคลาสสิกเกี่ยวกับความหมายของ 'ผลเฉลย' ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) พบว่าผลเฉลยความหนืดเป็นแนวคิดผลเฉลยตามธรรมชาติที่จะนำไปใช้ในการประยุกต์ใช้ PDE หลายอย่าง รวมถึงสมการอันดับหนึ่งที่เกิดขึ้นในการเขียนโปรแกรมเชิงพลวัต ( สมการ Hamilton–Jacobi–Bellman ) เกมเชิงอนุพันธ์ ( สมการ Hamilton–Jacobi–Isaacs ) หรือปัญหาการวิวัฒนาการของแนวหน้า^{[ 1 ] [ 2 ]}ตลอดจนสมการอันดับสอง เช่น สมการที่เกิดขึ้นในการควบคุมที่เหมาะสมเชิงสุ่มหรือเกมเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่ม

แนวคิดดั้งเดิมคือสมการอนุพันธ์ย่อย (PDE)

${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$

สมการข้างต้นจะมีคำตอบได้ก็ต่อเมื่อเราสามารถหาฟังก์ชันu ( x ) ที่ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ตลอดทั้งโดเมน โดยที่, , , สอดคล้องกับสมการข้างต้นที่ทุกจุด ${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$${\displaystyle Du}$${\displaystyle D^{2}u}$

ถ้าสมการสเกลาร์เป็นสมการเชิงวงรีเสื่อมสภาพ (นิยามไว้ด้านล่าง) เราสามารถกำหนดประเภทของคำตอบแบบอ่อนที่เรียกว่าคำตอบความหนืดได้ภายใต้แนวคิดคำตอบความหนืดนั้นuไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ อาจมีจุดที่หรือไม่มีอยู่จริง แต่u ก็ ยังคงสอดคล้องกับสมการในความหมายทั่วไปที่เหมาะสม นิยามนี้อนุญาตให้มีภาวะเอกฐานบางประเภทเท่านั้น ดังนั้นการมีอยู่ ความเป็นเอกลักษณ์ และความเสถียรภายใต้ขีดจำกัดสม่ำเสมอ จึงใช้ได้กับสมการจำนวนมาก ${\displaystyle Du}$${\displaystyle D^{2}u}$

มีหลายวิธีเทียบเท่ากันในการกำหนดนิยามของสารละลายความหนืด ดูตัวอย่างเช่น ส่วนที่ II.4 ของหนังสือของเฟลมมิงและโซเนอร์^{[ 3 ]}หรือนิยามโดยใช้เซมิเจ็ทในคู่มือผู้ใช้^{[ 4 ]}

วงรีเสื่อมสภาพ

สมการในโดเมนหนึ่งๆจะถูกนิยามว่าเป็นสมการเชิงวงรีเสื่อมสภาพ (degenerate elliptic)ถ้าสำหรับเมทริกซ์สมมาตรสองเมทริกซ์ใดๆและโดยที่เป็น เมทริกซ์บวกกำหนด ( positive definite ) และสำหรับค่าใดๆ ของและเราจะได้อสมการตัวอย่างเช่น(โดยที่แทนตัวดำเนินการลาปลาเซียน ) เป็นสมการเชิงวงรีเสื่อมสภาพ เนื่องจากในกรณีนี้และร่องรอยของคือผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะของมัน สมการอันดับหนึ่งจริงใดๆ ก็เป็นสมการเชิงวงรีเสื่อมสภาพเช่นกัน${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle YX}$${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F(x,u,p,X)\geq F(x,u,p,Y)}$${\displaystyle -\Delta u=0}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle F(x,u,p,X)=-{\text{trace}}(X)}$${\displaystyle X}$

สารละลายย่อยความหนืด

ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนในถูกกำหนดให้เป็นซับโซลูชันของสมการเชิงวงรีเสื่อมสภาพข้างต้นในความหมายของความหนืดถ้าสำหรับจุดใดๆและฟังก์ชัน ใดๆ ที่และในบริเวณใกล้เคียงของเรามี${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$${\displaystyle \phi \geq u}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leq 0}$

สารละลายความหนืดสูง

ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างในถูกกำหนดให้เป็นซูเปอร์โซลูชันของสมการเชิงวงรีเสื่อมสภาพข้างต้นในความหมายของความหนืดถ้าสำหรับจุดใดๆและฟังก์ชัน ใดๆ ที่และในบริเวณใกล้เคียงของเรามี${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$${\displaystyle \phi \leq u}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geq 0}$

สารละลายความหนืด

ฟังก์ชันต่อเนื่องuคือผลเฉลยความหนืดของสมการอนุพันธ์ย่อย (PDE) ก็ต่อเมื่อมันเป็นทั้งผลเฉลยเหนือกว่า (supersolution) และผลเฉลยย่อย (subsolution) โปรดทราบว่าเงื่อนไขขอบเขตในแง่ของความหนืดไม่ได้ถูกกล่าวถึงในที่นี้${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$${\displaystyle \Omega }$

พิจารณาปัญหาค่าขอบเขตหรือบนโดยมีเงื่อนไขขอบเขตแล้วฟังก์ชันจะเป็นคำตอบแบบความหนืด ${\displaystyle |u'(x)|=1}$${\displaystyle F(u')=|u'|-1=0}$${\displaystyle (-1,1)}$${\displaystyle u(-1)=u(1)=0}$${\displaystyle u(x)=1-|x|}$

อันที่จริง โปรดสังเกตว่าเงื่อนไขขอบเขตนั้นเป็นไปตามหลักการทางคลาสสิก และถูกกำหนดไว้อย่างดีในบริเวณภายใน ยกเว้นที่ดังนั้นจึงเหลือเพียงการแสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขสำหรับวิธีแก้ปัญหาแบบความหนืดและวิธีแก้ปัญหาแบบความหนืดขั้นสูงนั้นเป็นจริงที่ สมมติว่าเป็นฟังก์ชันใดๆ ที่หาอนุพันธ์ได้ที่โดยที่และอยู่ใกล้จากสมมติฐานเหล่านี้ จะได้ว่า สำหรับค่าบวกอสมการนี้หมายความว่า โดยใช้ว่า สำหรับในทางกลับกัน สำหรับเรามีว่าเนื่องจากหาอนุพันธ์ได้ ขีดจำกัดด้านซ้ายและด้านขวาจึงตรงกันและเท่ากับดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า นั่น คือ ดังนั้น เป็นวิธีแก้ปัญหาแบบความหนืด นอกจาก นี้ข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นวิธีแก้ปัญหาขั้นสูงนั้นเป็นจริงโดยปริยาย เนื่องจากไม่มีฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่โดยที่และอยู่ใกล้ซึ่งหมายความว่าเป็นวิธีแก้ปัญหาแบบความหนืด ${\displaystyle |u'(x)|=1}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \phi (0)=u(0)=1}$${\displaystyle \phi (x)\geq u(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \phi (x)-\phi (0)\geq -|x|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\geq -1}$${\displaystyle |x|/x=sgn(x)=1}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\leq 1}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi '(0)}$${\displaystyle |\phi '(0)|\leq 1}$${\displaystyle F(\phi '(0))\leq 0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \phi (0)=u(0)=1}$${\displaystyle \phi (x)\leq u(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle u}$

อันที่จริง อาจพิสูจน์ได้ว่านี่คือคำตอบความหนืดเพียงหนึ่งเดียวสำหรับปัญหาดังกล่าว ส่วนเรื่องความเป็นเอกลักษณ์นั้นต้องใช้เหตุผลที่ละเอียดกว่านั้น ${\displaystyle u}$

ปัญหาค่าขอบเขตก่อนหน้านี้เป็นสมการไอโคนาลในมิติเชิงพื้นที่เดียวที่มีโดยที่คำตอบเป็นที่ทราบกันดีว่าเป็นฟังก์ชันระยะทางที่มีเครื่องหมายไปยังขอบเขตของโดเมน โปรดสังเกตความสำคัญของเครื่องหมายของ ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ด้วยโดยเฉพาะอย่างยิ่ง คำตอบความหนืดของ PDE ที่มีเงื่อนไขขอบเขตเดียวกันคือซึ่งสามารถอธิบายได้โดยการสังเกตว่าคำตอบเป็นคำตอบจำกัดของปัญหาความหนืดที่หายไปเมื่อเข้าใกล้ศูนย์ ในขณะที่เป็นคำตอบจำกัดของปัญหาความหนืดที่หายไป[ ^{5 ] สามารถ}ยืนยันได้อย่างง่ายดายว่าแก้ PDE สำหรับแต่ละ ยิ่งไปกว่านั้น ตระกูลของคำตอบจะลู่เข้าสู่คำตอบเมื่อหายไป (ดูรูป) ${\displaystyle f=1}$${\displaystyle F}$${\displaystyle -F=0}$${\displaystyle u(x)=|x|-1}$${\displaystyle u(x)=1-|x|}$${\displaystyle F(u')=[u']^{2}-1=\varepsilon u''}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle u(x)=|x|-1}$${\displaystyle -F(u')=1-[u']^{2}=\varepsilon u''}$${\displaystyle u_{\varepsilon }(x)=\varepsilon [\ln(\cosh(1/\varepsilon ))-\ln(\cosh(x/\varepsilon ))]}$${\displaystyle F(u')=[u']^{2}-1=\varepsilon u''}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle u_{\varepsilon }}$${\displaystyle u=1-|x|}$${\displaystyle \varepsilon }$

คุณสมบัติพื้นฐานสามประการของสารละลายที่มีความหนืด ได้แก่การมีอยู่ความเป็นเอกลักษณ์และความเสถียร

• ความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบต้องอาศัยสมมติฐานเชิงโครงสร้างเพิ่มเติมบางอย่างในสมการ อย่างไรก็ตาม สามารถแสดงให้เห็นได้สำหรับสมการเชิงวงรีเสื่อมสภาพจำนวนมาก^{[ 4 ]}เป็นผลโดยตรงจากหลักการเปรียบเทียบ ตัวอย่างง่ายๆ บางตัวอย่างที่หลักการเปรียบเทียบใช้ได้คือ

1. ${\displaystyle u+H(x,\nabla u)=0}$โดยที่H เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอในตัวแปรทั้งสอง
2. (กรณีวงรีสม่ำเสมอ) ดังนั้นจึงเป็นลิปชิตซ์เมื่อเทียบกับตัวแปรทั้งหมด และสำหรับทุกและสำหรับบางค่า${\displaystyle F(D^{2}u,Du,u)=0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle r\leq s}$${\displaystyle X\geq Y}$${\displaystyle F(Y,p,s)\geq F(X,p,r)+\lambda ||X-Y||}$${\displaystyle \lambda >0}$

• การมีอยู่ของคำตอบนั้นใช้ได้กับทุกกรณีที่หลักการเปรียบเทียบใช้ได้ และเงื่อนไขขอบเขตสามารถบังคับใช้ได้ในบางวิธี (ผ่านฟังก์ชันกั้นในกรณีของเงื่อนไขขอบเขตแบบ Dirichlet ) สำหรับสมการอันดับแรก สามารถหาได้โดยใช้วิธีความหนืดเป็นศูนย์^{[ 6 ] [ 2 ]}หรือสำหรับสมการส่วนใหญ่โดยใช้วิธีของ Perron ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 2 ]}มีแนวคิดทั่วไปของเงื่อนไขขอบเขตในแง่ของความหนืดคำตอบของปัญหาขอบเขตที่มีเงื่อนไขขอบเขตทั่วไปสามารถหาได้เมื่อใดก็ตามที่หลักการเปรียบเทียบใช้ได้^{[ 4 ]}
• ความเสถียรของโซลูชันเป็นไปตามนี้: ขีดจำกัดที่สม่ำเสมอ ในระดับท้องถิ่น ของลำดับของโซลูชัน (หรือซับโซลูชัน หรือซูเปอร์โซลูชัน) คือโซลูชัน (หรือซับโซลูชัน หรือซูเปอร์โซลูชัน) โดยทั่วไปแล้ว แนวคิดของความหนืด ซับโซลูชัน และซูเปอร์โซลูชันยังคงได้รับการอนุรักษ์โดยขีดจำกัดที่ผ่อนคลายครึ่งหนึ่ง^{[ 4 ]}${\displaystyle L^{\infty }}$

คำว่า"สารละลายความหนืด"ปรากฏครั้งแรกในงานของMichael G. CrandallและPierre-Louis Lionsในปี 1983 เกี่ยวกับสมการ Hamilton–Jacobi [ ^{6 ] ชื่อ}นี้มีความเหมาะสมเนื่องจากพบว่ามีสารละลายอยู่จริงโดย วิธี ความหนืดเป็นศูนย์คำจำกัดความของสารละลายได้รับการกำหนดไว้ก่อนหน้านี้โดยLawrence C. Evansในปี 1980 ^{[ 9 ]}ต่อมาคำจำกัดความและคุณสมบัติของสารละลายความหนืดสำหรับสมการ Hamilton–Jacobi ได้รับการปรับปรุงในงานร่วมกันของ Crandall, Evans และ Lions ในปี 1984 ^{[ 10 ]}

เป็นเวลาหลายปีที่งานวิจัยเกี่ยวกับการแก้ปัญหาความหนืดมุ่งเน้นไปที่สมการอันดับแรก เนื่องจากไม่ทราบว่าสมการเชิงวงรีอันดับสองจะมีคำตอบความหนืดที่ไม่ซ้ำกันหรือไม่ ยกเว้นในกรณีพิเศษบางกรณี ผลลัพธ์ที่สำคัญเกิดขึ้นจากวิธีการที่โรเบิร์ต เจนเซน นำเสนอ ในปี 1988 เพื่อพิสูจน์หลักการเปรียบเทียบโดยใช้การประมาณค่าแบบปรับปรุงของคำตอบซึ่งมีอนุพันธ์อันดับสองเกือบทุกที่ (ในเวอร์ชันที่ทันสมัยของการพิสูจน์นี้ทำได้โดยใช้ sup-convolutions และทฤษฎีบท Alexandrov ) ^{[ 11 ]}

ในช่วงหลายปีต่อมา แนวคิดของวิธีแก้ปัญหาแบบหนืด (viscosity solution) ได้รับความนิยมมากขึ้นเรื่อยๆ ในการวิเคราะห์ PDE วงรีแบบเสื่อมสภาพ (degenerate elliptic PDE) โดยอาศัยคุณสมบัติความเสถียร Barles และ Souganidis ได้รับการพิสูจน์การลู่เข้าของแผนการผลต่างจำกัดที่ง่ายและทั่วไปมาก^{[ 12 ]}คุณสมบัติความสม่ำเสมอเพิ่มเติมของวิธีแก้ปัญหาแบบหนืดได้รับมา โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีวงรีแบบสม่ำเสมอด้วยงานของLuis Caffarelli [ ^{13 ] วิธี}แก้ปัญหาแบบหนืดได้กลายเป็นแนวคิดหลักในการศึกษา PDE วงรี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วิธีแก้ปัญหาแบบหนืดมีความสำคัญในการศึกษา Laplacian อนันต์^{[ 14 ]}

ในแนวทางสมัยใหม่ การมีอยู่ของคำตอบส่วนใหญ่มักได้มาด้วย วิธี ของPerron ^{[ 4 ]}วิธีความหนืดเป็นศูนย์นั้นไม่สามารถนำมาใช้กับสมการอันดับสองได้โดยทั่วไป เนื่องจากการเพิ่มความหนืดเทียมไม่ได้รับประกันการมีอยู่ของคำตอบแบบคลาสสิก ยิ่งไปกว่านั้น นิยามของคำตอบความหนืดโดยทั่วไปไม่ได้เกี่ยวข้องกับความหนืดทางกายภาพ อย่างไรก็ตาม แม้ว่าทฤษฎีของคำตอบความหนืดบางครั้งจะถูกมองว่าไม่เกี่ยวข้องกับของไหลหนืดแต่ของไหลที่ไม่หมุนสามารถอธิบายได้ด้วยสมการ Hamilton-Jacobi ^{[ 15 ]}ในกรณีนี้ ความหนืดจะสอดคล้องกับความหนืดของของไหลที่ไม่หมุนและอัดไม่ได้ ชื่ออื่นๆ ที่ได้รับการเสนอแนะ ได้แก่คำตอบ Crandall–Lionsเพื่อเป็นเกียรติแก่ผู้บุกเบิกคำตอบที่อ่อนแอซึ่งหมายถึงคุณสมบัติความเสถียร หรือคำตอบเปรียบเทียบซึ่งหมายถึงคุณสมบัติที่โดดเด่นที่สุด ${\displaystyle L^{\infty }}$