ฟังก์ชัน${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$เรียกว่ากึ่งต่อเนื่องบนที่จุดหนึ่ง${\displaystyle x_{0}\in X}$ถ้าหากสำหรับทุกสิ่งที่เป็นจริง${\displaystyle y>f\left(x_{0}\right)}$มีชุมชน แห่งหนึ่งอยู่${\displaystyle U}$ของ${\displaystyle x_{0}}$โดยที่${\displaystyle f(x)<y}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x\in U}$[ ^{2 ]} เทียบเท่า^กัน${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องด้านบนที่${\displaystyle x_{0}}$ก็ต่อเมื่อ $${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}$$ โดยที่ lim sup คือลิมิตสูงสุดของฟังก์ชัน${\displaystyle f}$ณ จุดนั้น${\displaystyle x_{0}}$ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้ $${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\inf _{x_{0}\in U}\sup _{x\in U}f(x)}$$ โดยที่ค่าต่ำสุด (infimum)ครอบคลุมทุกย่านรอบจุดนั้น${\displaystyle x_{0}}$[ ^{3 ] [ 4 ] [ 5 ]​}

ถ้า${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเมตริกที่มีฟังก์ชันระยะทาง${\displaystyle d}$และ${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$สามารถกล่าวใหม่ได้โดยใช้${\displaystyle \varepsilon }$-${\displaystyle \delta }$สูตรดังกล่าวคล้ายกับนิยามของฟังก์ชันต่อเนื่องกล่าวคือ สำหรับแต่ละ${\displaystyle \varepsilon >0}$มี${\displaystyle \delta >0}$โดยที่${\displaystyle f(x)<f(x_{0})+\varepsilon }$เมื่อใดก็ตาม${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

ฟังก์ชัน${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$เรียกว่ากึ่งต่อเนื่องบนหากตรงตามเงื่อนไขเทียบเท่าต่อไปนี้: ^{[ 2 ]}

(1) ฟังก์ชันนี้เป็น ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนที่ทุกจุดของโดเมน

(2) สำหรับแต่ละ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ชุด${\displaystyle f^{-1}([-\infty ,y))=\{x\in X:f(x)<y\}}$เปิดทำการแล้ว${\displaystyle X}$, ที่ไหน${\displaystyle [-\infty ,y)=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t<y\}}$.

(3) สำหรับแต่ละ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$,${\displaystyle y}$- ชุดระดับสุดยอด${\displaystyle f^{-1}([y,\infty ))=\{x\in X:f(x)\geq y\}}$ปิดทำการแล้ว${\displaystyle X}$.

(4) ไฮโปกราฟ${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\leq f(x)\}}$ปิดทำการแล้ว${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$.

(5) ฟังก์ชัน${\displaystyle f}$มีความต่อเนื่องเมื่อโคโดเมน${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$กำหนดให้เป็นโทโพโลยีลำดับซ้ายนี่เป็นเพียงการกล่าวซ้ำเงื่อนไข (2) เนื่องจากโทโพโลยีลำดับซ้ายถูกสร้างขึ้นโดยช่วงเวลาทั้งหมด${\displaystyle [-\infty ,y)}$.

ฟังก์ชัน${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$เรียกว่ากึ่งต่อเนื่องล่างที่จุดหนึ่ง${\displaystyle x_{0}\in X}$ถ้าหากสำหรับทุกสิ่งที่เป็นจริง${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$มีชุมชน แห่งหนึ่งอยู่${\displaystyle U}$ของ${\displaystyle x_{0}}$โดยที่${\displaystyle f(x)>y}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x\in U}$ในทำนองเดียวกัน${\displaystyle f}$เป็นค่ากึ่งต่อเนื่องที่ต่ำกว่าที่${\displaystyle x_{0}}$ก็ต่อเมื่อ $${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}$$ ที่ไหน${\displaystyle \liminf }$คือลิมิตล่างของฟังก์ชัน${\displaystyle f}$ณ จุด${\displaystyle x_{0}.}$

ถ้า${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเมตริกที่มีฟังก์ชันระยะทาง${\displaystyle d}$และ${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$สามารถกล่าวใหม่ได้ดังนี้: สำหรับแต่ละ${\displaystyle \varepsilon >0}$มี${\displaystyle \delta >0}$โดยที่${\displaystyle f(x)>f(x_{0})-\varepsilon }$เมื่อใดก็ตาม${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

ฟังก์ชัน${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$เรียกว่าฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง (lower semicontinuous)หากตรงตามเงื่อนไขเทียบเท่าใดๆ ต่อไปนี้:

(1) ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างที่ทุกจุดของโดเมน

(2) สำหรับแต่ละ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ชุด${\displaystyle f^{-1}((y,\infty ])=\{x\in X:f(x)>y\}}$เปิดทำการแล้ว${\displaystyle X}$, ที่ไหน${\displaystyle (y,\infty ]=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t>y\}}$.

(3) สำหรับแต่ละ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$,${\displaystyle y}$- ชุดระดับย่อย${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,y])=\{x\in X:f(x)\leq y\}}$ปิดทำการแล้ว${\displaystyle X}$.

(4) บทนำ${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\geq f(x)\}}$ปิดทำการแล้ว${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$[ ^{6 ] : 207​}

(5) ฟังก์ชัน${\displaystyle f}$มีความต่อเนื่องเมื่อโคโดเมน${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ได้รับโทโพโลยีลำดับที่ถูกต้องนี่เป็นเพียงการกล่าวซ้ำเงื่อนไข (2) เนื่องจากโทโพโลยีลำดับที่ถูกต้องถูกสร้างขึ้นโดยช่วงเวลาทั้งหมด${\displaystyle (y,\infty ]}$.

อนุญาต${\displaystyle f,g:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$.

• ถ้า${\displaystyle f}$และ${\displaystyle g}$หากเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง ผลรวมจะเป็นดังนี้${\displaystyle f+g}$เป็นกึ่งต่อเนื่องที่ต่ำกว่า^{[ 9 ]} (โดยมีเงื่อนไขว่าผลรวมนั้นถูกกำหนดไว้อย่างดี กล่าวคือ${\displaystyle f(x)+g(x)}$ไม่ใช่รูปแบบที่ไม่แน่นอน${\displaystyle -\infty +\infty }$เช่นเดียวกันนี้ก็ใช้ได้กับฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนด้วย
• ถ้า${\displaystyle f}$และ${\displaystyle g}$ถ้าเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างและไม่เป็นลบ ฟังก์ชันผลคูณก็จะเป็นเช่นนั้น${\displaystyle fg}$เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนด้วย
• ฟังก์ชัน${\displaystyle f}$จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างก็ต่อเมื่อ${\displaystyle -f}$เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน
• ถ้า${\displaystyle f}$และ${\displaystyle g}$เป็นค่ากึ่งต่อเนื่องด้านบนและ${\displaystyle f}$หากค่า ไม่ลดลงองค์ประกอบก็จะเป็นเช่นนั้น${\displaystyle f\circ g}$เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน ในทางกลับกัน ถ้า${\displaystyle f}$ถ้าไม่ใช่ค่าคงที่ที่ไม่ลดลงแล้ว${\displaystyle f\circ g}$อาจไม่ใช่ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน ตัวอย่างเช่น พิจารณา${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$กำหนดไว้ดังนี้${\displaystyle f(x)=-x}$. แล้ว${\displaystyle f}$ต่อเนื่องและ ${\displaystyle f\circ g=-g}$ซึ่งไม่ใช่ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน เว้นแต่${\displaystyle g}$เป็นค่าต่อเนื่อง
• ถ้า${\displaystyle f}$และ${\displaystyle g}$เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง โดยมีค่าสูงสุดและต่ำสุด (ตามจุด) (กำหนดโดย${\displaystyle x\mapsto \max\{f(x),g(x)\}}$และ${\displaystyle x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}}$) ก็เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเช่นกัน ดังนั้น เซตของฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างทั้งหมดจาก${\displaystyle X}$ถึง${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$(หรือถึง)${\displaystyle \mathbb {R} }$) ก่อให้เกิดโครงข่ายข้อความที่เกี่ยวข้องนี้ยังใช้ได้กับฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนด้วย

• ค่าสูงสุด (แบบจุดต่อจุด) ของตระกูลใดๆ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ของฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องที่ต่ำกว่า${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$(กำหนดโดย${\displaystyle f(x)=\sup\{f_{i}(x):i\in I\}}$) เป็นกึ่งต่อเนื่องที่ต่ำกว่า^{[ 10 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ลิมิตของลำดับที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน${\displaystyle f_{1}\leq f_{2}\leq f_{3}\leq \cdots }$ฟังก์ชันต่อเนื่องจะมีค่าเป็นกึ่งต่อเนื่องล่าง (ทฤษฎีบทของแบร์ด้านล่างให้บทกลับบางส่วน) โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันลิมิตจะมีค่าเป็นกึ่งต่อเนื่องล่างเท่านั้น ไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันต่อไปนี้${\displaystyle f_{n}(x)=1-(1-x)^{n}}$กำหนดไว้สำหรับ${\displaystyle x\in [0,1]}$สำหรับ${\displaystyle n=1,2,\ldots .}$

ในทำนองเดียวกัน ค่าต่ำสุดของตระกูลฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนใดๆ ก็เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนเช่นกัน และลิมิตของ ลำดับฟังก์ชันต่อเนื่องที่ลดลงอย่างต่อเนื่อง ก็เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนด้วย

• ถ้า${\displaystyle C}$เป็นปริภูมิกระชับ (ตัวอย่างเช่น ช่วงปิดที่มีขอบเขต)${\displaystyle [a,b]}$) และ${\displaystyle f:C\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ถ้าเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนแล้ว${\displaystyle f}$บรรลุค่าสูงสุดบน${\displaystyle C.}$ถ้า${\displaystyle f}$เป็นค่ากึ่งต่อเนื่องที่ต่ำกว่าบน${\displaystyle C,}$มันบรรลุถึงขั้นต่ำบน${\displaystyle C.}$

( การพิสูจน์กรณีกึ่งต่อเนื่องบน : โดยเงื่อนไข (5) ในคำนิยาม,${\displaystyle f}$ต่อเนื่องเมื่อ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ได้รับโทโพโลยีลำดับซ้าย ดังนั้นภาพของมัน${\displaystyle f(C)}$เป็นเซตกระชับในโทโพโลยีนั้น และเซตกระชับในโทโพโลยีนั้นก็คือเซตที่มีค่าสูงสุดนั่นเอง (สำหรับวิธีพิสูจน์แบบอื่น โปรดดูบทความเกี่ยวกับทฤษฎีบทค่าสุดขีด )

• ( ทฤษฎีบทของแบร์ ) ^{[หมายเหตุ 1 ]}ให้${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเมตริกฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างทุกฟังก์ชัน${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$คือลิมิตของลำดับ ที่เพิ่มขึ้น ทีละจุด ของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงแบบขยายบน${\displaystyle X.}$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีลำดับอยู่ลำดับหนึ่ง${\displaystyle \{f_{i}\}}$ของฟังก์ชันต่อเนื่อง${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$โดยที่

$${\displaystyle f_{i}(x)\leq f_{i+1}(x)\quad \forall x\in X,\ \forall i=0,1,2,\dots }$$และ

$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f_{i}(x)=f(x)\quad \forall x\in X.}$$

ถ้า${\displaystyle f}$ไม่รับค่า${\displaystyle -\infty }$ฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถถือได้ว่าเป็นค่าจริง^{[ 11 ] [ 12 ]}

นอกจากนี้ ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนทุกฟังก์ชัน${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$คือลิมิตของ ลำดับ ลดลงแบบโมโนโทนของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงแบบขยายบน${\displaystyle X;}$ถ้า${\displaystyle f}$ไม่รับค่า${\displaystyle \infty ,}$ฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันค่าจริง

• ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนใดๆ${\displaystyle f:X\to \mathbb {N} }$บนปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆ${\displaystyle X}$มีค่าคงที่เฉพาะที่บนเซตย่อยเปิดหนาแน่น บางส่วน ของ${\displaystyle X.}$

• ถ้าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle X}$เป็นลำดับจากนั้น${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนแบบลำดับ นั่นคือ ถ้าสำหรับทุก ๆ${\displaystyle x\in X}$และลำดับใดๆ${\displaystyle (x_{n})_{n}\subset X}$ที่บรรจบกันสู่${\displaystyle x}$ที่นั่นมี${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f(x_{n})\leqslant f(x)}$ในทำนองเดียวกัน ในพื้นที่ลำดับ${\displaystyle f}$จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนก็ต่อเมื่อระดับเหนือกว่าของมันกำหนด${\displaystyle \{\,x\in X\,|\,f(x)\geqslant y\,\}}$ปิดตามลำดับสำหรับทุกคน${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$โดยทั่วไป ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนจะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนแบบลำดับ แต่ในทางกลับกันอาจไม่เป็นเช่นนั้น

แผนที่ค่าเซต${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องด้านบนที่${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$ถ้าสำหรับทุกชุดเปิด${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$โดยที่${\displaystyle F(x)\subset U}$มีชุมชนแห่งหนึ่งตั้งอยู่${\displaystyle V}$ของ${\displaystyle x}$โดยที่${\displaystyle F(V)\subset U.}$^{[ 13 ] :นิยาม 2.1}

แผนที่ค่าเซต${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$เป็นค่ากึ่งต่อเนื่องที่ต่ำกว่าที่${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$ถ้าสำหรับทุกชุดเปิด${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$โดยที่${\displaystyle x\in F^{-1}(U),}$มีชุมชนแห่งหนึ่งอยู่${\displaystyle V}$ของ${\displaystyle x}$โดยที่${\displaystyle V\subset F^{-1}(U).}$^{[ 13 ] :นิยาม 2.2}

ความต่อเนื่องกึ่งค่าเซตบนและล่างยังถูกกำหนดโดยทั่วไปมากขึ้นสำหรับแผนที่ค่าเซตระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยการแทนที่${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$และ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ในคำจำกัดความข้างต้นที่มีพื้นที่โทโพโลยีตามอำเภอใจ^{[ 13 ]}

โปรดทราบว่าไม่มีความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างความต่อเนื่องกึ่งล่างและกึ่งบนแบบค่าเดียวและความต่อเนื่องกึ่งล่างและกึ่งบนแบบเซตค่า ฟังก์ชันค่าเดียวที่มีความต่อเนื่องกึ่งบนไม่จำเป็นต้องมีความต่อเนื่องกึ่งบนเมื่อพิจารณาว่าเป็นแผนที่แบบเซตค่า^{[ 13 ] : 18} ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$กำหนดโดย $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$ เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนในความหมายของค่าเดียว แต่เป็นแผนที่ค่าเซต${\displaystyle x\mapsto F(x):=\{f(x)\}}$ไม่ใช่ค่ากึ่งต่อเนื่องบนในความหมายของเซต

ฟังก์ชันค่าเซต${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$เรียกว่ากึ่งต่อเนื่องภายในที่${\displaystyle x}$ถ้าสำหรับทุกๆ${\displaystyle y\in F(x)}$และลำดับลู่เข้าทุกลำดับ${\displaystyle (x_{i})}$ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$โดยที่${\displaystyle x_{i}\to x}$มีลำดับอยู่${\displaystyle (y_{i})}$ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$โดยที่${\displaystyle y_{i}\to y}$และ${\displaystyle y_{i}\in F\left(x_{i}\right)}$สำหรับขนาดใหญ่พอสมควรทั้งหมด${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$^{[ 14 ] [หมายเหตุ 2 ]}

ฟังก์ชันค่าเซต${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$เรียกว่าเซมิคอนทินิวอัสภายนอกที่${\displaystyle x}$ถ้าสำหรับลำดับการบรรจบกันทุกลำดับ${\displaystyle (x_{i})}$ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$โดยที่${\displaystyle x_{i}\to x}$และลำดับลู่เข้าทุกลำดับ${\displaystyle (y_{i})}$ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$โดยที่${\displaystyle y_{i}\in F(x_{i})}$สำหรับแต่ละคน${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$ลำดับ${\displaystyle (y_{i})}$บรรจบกันที่จุดหนึ่งใน${\displaystyle F(x)}$(นั่นคือ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }y_{i}\in F(x)}$). ^{[ 14 ]}

การประยุกต์ใช้ที่สำคัญของความต่อเนื่องกึ่งคือแคลคูลัสของการแปรผันความสำคัญในบริบทนี้เกิดจากทฤษฎีบทต่อไปนี้^{[ 19 ]}ให้${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และ${\displaystyle F:X\to (-\infty ,+\infty ]}$ลำดับลดค่าต่ำสุดคือลำดับ${\displaystyle x_{k}}$ใน${\displaystyle X}$โดยที่ $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }F(x_{k})=\inf _{X}F.}$$ ทฤษฎีบทกล่าวว่า ถ้า${\displaystyle F}$เป็นค่ากึ่งต่อเนื่องที่ต่ำกว่าตามลำดับ และ${\displaystyle x_{k}}$เป็นลำดับการลดค่าที่ลู่เข้าสู่${\displaystyle x_{0}}$, แล้ว$${\displaystyle F(x_{0})=\inf _{X}F.}$$ นั่นคือ${\displaystyle x_{0}}$เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ${\displaystyle F}$.

ผลลัพธ์เหล่านี้มักถูกนำไปรวมกับผลลัพธ์อื่นๆ เช่นทฤษฎีบทของ Tonelliในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันซึ่งอธิบายลักษณะ ความต่อเนื่องกึ่งล่างที่ อ่อนแอของฟังก์ชันไม่เชิงเส้น บนปริภูมิL ^pโดยพิจารณาจากความนูนของฟังก์ชันอื่น ผลลัพธ์ที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นในลักษณะนี้มีประโยชน์ในการกำหนดรูปแบบแปรผันของปัญหาในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยซึ่งเชื่อมโยงความต่อเนื่องกึ่งของฟังก์ชันที่กำหนดโดยการอินทิเกรตกับคุณสมบัติความนูนของตัวอินทิกรัล ซึ่งมักกำหนดบนปริภูมิ Sobolev บาง ปริภูมิ ตัวอย่างต้นแบบคือปัญหา Dirichletสำหรับตัวดำเนินการ Laplaceซึ่งสามารถกำหนดเป็นปัญหาการลดค่าพลังงาน ให้เหลือน้อย ที่สุด ภายใต้เงื่อนไขขอบเขต $${\displaystyle F(u)=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2},}$$ กล่าวคือ อินทิกรัลของค่ากำลังสองของนอร์มของเกรเดียนต์ของฟังก์ชันบนโดเมนที่มีขอบเขตในปริภูมิยูคลิด ฟังก์ชันที่อยู่ภายในอินทิกรัลเป็นฟังก์ชันนูนในปริภูมิโซโบเลฟที่เหมาะสม ดังนั้นลิมิตของลำดับที่ทำให้ค่าต่ำสุดจึงเป็นคำตอบของปัญหาดิริชเลต์ ซึ่งมีนัยสำคัญ ตัวอย่างเช่น สำหรับ วิธีการแก้ปัญหาด้วยวิธีไฟ ไนต์เอเลเมนต์ซึ่งเป็นวิธีหนึ่งในการสร้างลำดับที่ทำให้ค่าต่ำสุด

ร่วมกับสมมติฐานเรื่องความนูน ทั้งความต่อเนื่องกึ่งบนและกึ่งล่างมีบทบาทในทฤษฎีบทที่รับประกันการมีอยู่ของจุดอานม้าของฟังก์ชันบน^{ปริภูมิ}เวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบ นูน เฉพาะที่ ผลลัพธ์หนึ่งดังกล่าวคือทฤษฎีบทมินิแม็กซ์ของ Fan และ Sion ^{[ 20} ] ซึ่งระบุว่าถ้า${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbb {R} }$เป็นฟังก์ชันจากเซตปิดนูนที่ไม่ว่างเปล่าสองเซต${\displaystyle X,Y}$เป็นส่วนหนึ่งของปริภูมิบานาคสะท้อนกลับโดยที่

• ${\displaystyle f(x,\cdot )}$มีลักษณะเว้าและกึ่งต่อเนื่องด้านบนสำหรับแต่ละ${\displaystyle x\in X}$และ
• ${\displaystyle f(\cdot ,y)}$เป็นฟังก์ชันนูนและกึ่งต่อเนื่องล่างสำหรับแต่ละฟังก์ชัน${\displaystyle y\in Y}$,

จากนั้นชุดจุดอานม้าของ${\displaystyle f}$เป็นรูปทรงนูน ถ้าทั้งความนูนและความเว้าเป็นแบบเข้มงวด จะมีจุดอานม้าอย่างมากที่สุดเพียงจุดเดียว ถ้าเซต${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$ถ้าเซตของจุดอานม้ามีขอบเขตจำกัด เซตของจุดอานม้าจะไม่ว่างเปล่า โดยนิยามแล้ว จุดอานม้าคือจุด${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ซึ่ง $${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=\inf _{x\in X}\sup _{y\in Y}f(x,y)=\sup _{y\in Y}\inf _{x\in X}f(x,y).}$$

ฟังก์ชันจำนวนเต็มที่สำคัญหลายฟังก์ชันก็เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องด้วยเช่นกัน ตัวอย่างง่ายๆ สมมติว่าเรามีทรงหลายเหลี่ยม${\displaystyle K}$(หรือโดยทั่วไปแล้วคือเซตปิดนูน) ใน${\displaystyle n}$ปริภูมิเวกเตอร์มิติ หน้าหนึ่งของ${\displaystyle K}$ตามนิยามแล้ว คือเซตของค่าสูงสุดของฟังก์ชันเชิงเส้นบางอย่างบน${\displaystyle K}$กำหนดฟังก์ชัน $${\displaystyle f(x)=\inf\{\dim F|F{\text{ is a face of }}K{\text{ and }}x\in F\}.}$$ แล้ว${\displaystyle f}$เป็นค่ากึ่งต่อเนื่องล่าง เข้าใจได้ง่ายๆ ว่าภายใต้การรบกวนเล็กน้อยใดๆ คุณสามารถเคลื่อนที่จากพื้นผิวที่มีมิติต่ำกว่า เช่น ขอบหรือจุดยอด ไปยังพื้นผิวที่มีมิติสูงกว่าได้ แต่จุดใดๆ บนพื้นผิวที่มีมิติสูงกว่าจะไม่สามารถเคลื่อนที่ไปยังพื้นผิวที่มีมิติต่ำกว่าได้ หากการรบกวนนั้นเล็กเกินไป

อีกตัวอย่างหนึ่งที่มีลักษณะคล้ายกันคืออันดับของเมทริกซ์เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างบนปริภูมิของ${\displaystyle n\times m}$เมทริกซ์ เนื่องจากอันดับสามารถเพิ่มขึ้นได้ที่เมทริกซ์ที่อยู่ใกล้เคียง แต่ไม่สามารถลดลงได้ ด้วยเหตุนี้ ร่วมกับทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายเมื่อกลุ่มลีทำงานอย่างราบรื่นบนแมนิโฟลด์เรียบมิติของวงโคจรผ่านจุดหนึ่งจะเป็นกึ่งต่อเนื่องล่าง (กล่าวคือ ฟังก์ชัน${\displaystyle f(x)=\dim(G\cdot x)}$). ^{[ 21 ]}

แนวคิดที่ซับซ้อนกว่านี้มีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยที่แผนที่มิติหลายมิติที่มีโดเมนร่วมอยู่ในจำนวนเต็มเป็นที่ทราบกันดีว่าเป็นแบบกึ่งต่อเนื่อง (ตัวอย่างเช่น เมื่อนำไปใช้กับทรงนิวตัน-โอคุนคอฟ )

โดยทั่วไปแล้ว ให้${\displaystyle X}$และ${\displaystyle S}$เป็นแผนการและ${\displaystyle f:X\to S}$มอร์ฟิซึมแบบราบและเหมาะสมที่มีการนำเสนอแบบจำกัด ให้${\displaystyle {\mathcal {F}}}$เป็น${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-โมดูลแบนราบและมีการนำเสนอแบบจำกัดเหนือ${\displaystyle S}$จากนั้นสำหรับสิ่งใดก็ตาม${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$ฟังก์ชัน $${\displaystyle h^{i}:S\to \mathbb {Z} _{\geq 0},s\mapsto {\text{dim}}_{\kappa (s)}H^{i}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$$ เป็นกึ่งต่อเนื่องบน^{[ 22 ]}กรณีพิเศษที่สำคัญของทฤษฎีบทนี้เมื่อเพิ่มเติม${\displaystyle X,S}$เป็นชาวโนเธอร์เรียน${\displaystyle f}$เป็นการฉายภาพและ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ความสอดคล้องสามารถพบได้ในตำรามาตรฐานของHartshorne [ ^{23 ] : 288งาน}ดั้งเดิมในภาษาของไฮเปอร์โคโฮโมโลยีสามารถพบได้ในEGA III ^{[ 24 ]} Théorème (7.7.5) โดยอ้างอิงถึงงานก่อนหน้า โดยเฉพาะGrauertสำหรับการตั้งค่าเชิงวิเคราะห์เชิงซ้อน

อนุญาต${\displaystyle X,Y}$เป็นแผนการและ${\displaystyle f:X\to Y}$มอร์ฟิซึมของประเภทจำกัด ฟังก์ชัน $${\displaystyle n_{X/Y}:Y\to \mathbb {Z} _{\geq 0}\cup \{\infty \},y\mapsto {\text{dim}}_{\text{top}}X_{y}}$$ ผู้ร่วมงานกับใครก็ตาม${\displaystyle y\in Y}$ขนาดของเส้นใย${\displaystyle X_{y}}$. ถ้า${\displaystyle f}$หากเป็นการแปลงแบบราบของแผนผังการนำเสนอแบบจำกัดแล้ว${\displaystyle n_{X/Y}}$เป็นกึ่งต่อเนื่องที่ต่ำกว่า^{[ 25 ]}ถ้า${\displaystyle f}$เป็นมอร์ฟิซึมที่เหมาะสมของแผนผัง ดังนั้น${\displaystyle n_{X/Y}}$เป็นกึ่งต่อเนื่องบน^{[ 26 ]}

Vakilได้รวบรวมรายการผลลัพธ์กึ่งต่อเนื่องเพิ่มเติมในเรขาคณิตพีชคณิต^{[ 27 ]}

ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องถูกใช้ในทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาเพื่อกำหนดการแบ่งชั้นของพื้นที่โทโพโลยีโดยใช้มาตรวัดความซับซ้อน เช่นมิติอันดับหรือความสูงเชิงลำดับ[ ^{28 ] [ 29 ] [ 30 ] ฟังก์ชัน}ดังกล่าวมักจะมีค่าเป็นลำดับและความกึ่งต่อเนื่องของฟังก์ชันเหล่านี้ทำให้มั่นใจได้ว่าเซต${\displaystyle \{x:f(x)\geq \alpha \}}$ปิดทำการ (และด้วยเหตุนี้Borel จึง อยู่ในพื้นที่ของโปแลนด์ )

ตัวอย่างสำคัญประการหนึ่งคือฟังก์ชันอันดับบนต้นไม้ที่มีรากฐานที่ดี ให้${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq \omega ^{<\omega }}$เป็นต้นไม้ที่เข้ารหัสด้วยจุดในปริภูมิแบร์${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ยศ​${\displaystyle \rho ({\mathcal {T}})\in \omega _{1}\cup \{\infty \}}$ถูกกำหนดให้เป็นค่าสูงสุดของความยาวของลำดับที่ลดลงใน${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ฟังก์ชันที่กำหนดลำดับ${\displaystyle \rho ({\mathcal {T}})}$ต้นไม้แต่ละต้นเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเมื่อเทียบกับโทโพโลยีตามธรรมชาติของรหัสต้นไม้ ลำดับชั้นนี้แบ่งพื้นที่ของต้นไม้เป็นเซตปิด${\displaystyle \{{\mathcal {T}}:\rho ({\mathcal {T}})\geq \alpha \}}$ในลักษณะเดียวกับที่อันดับของเมทริกซ์แบ่งชั้น${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times m}}$.

โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างที่มีค่าเป็นลำดับจะถูกใช้เพื่อวัดความซับซ้อนของจุดหรือโครงสร้างในปริภูมิโปแลนด์เช่นอันดับสก็อตต์ของโครงสร้างที่นับได้ อันดับเชิงฉายของเซต หรือความซับซ้อนของลูซิน-โนวิคอฟของความสัมพันธ์สมมูล ฟังก์ชันเหล่านี้ช่วยให้สามารถจำแนกประเภทได้อย่างละเอียด และมีความสำคัญอย่างยิ่งในการกำหนดเซตสากลและการกำหนดพารามิเตอร์ที่มีประสิทธิภาพในระดับที่สูงขึ้นของลำดับชั้นเชิงฉาย

เนื่องจากภาพก่อนหน้าของช่วงเวลา${\displaystyle [\alpha ,\infty ]}$ภายใต้เงื่อนไขที่ว่าฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเป็นเซตปิด ฟังก์ชันดังกล่าวจะให้การแบ่งชั้นเชิงแคนอนิกของปริภูมิเชิงทอพอโลยีออกเป็นส่วนปิด (ดังนั้นจึงเป็นแบบบอเรล) ที่มีความซับซ้อนเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ คุณสมบัตินี้มักถูกนำไปใช้ในการพิสูจน์หลักการสะท้อนทฤษฎีบทการแยกและในการจำแนกความสัมพันธ์สมมูลแบบบอเรลอย่าง มีประสิทธิภาพ

ในทฤษฎีเออร์โกดิกและพลวัตเชิงทอพอโลยี ความต่อเนื่องกึ่งเกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่อศึกษาฟังก์ชันบนพื้นที่ของการวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงของระบบพลวัตตัวอย่างที่สำคัญที่สุดคือฟังก์ชันเอนโทรปี ซึ่งกำหนด เอนโทรปีเชิงทฤษฎีการวัดให้กับการวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงแต่ละรายการ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

อนุญาต${\displaystyle (X,T)}$เป็นระบบพลวัตเชิงทอพอโลยีที่มี${\displaystyle X}$กะทัดรัดและ${\displaystyle T:X\to X}$ต่อเนื่อง พื้นที่${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$ของ${\displaystyle T}$มาตรวัดความน่าจะเป็นบอเรลที่ไม่เปลี่ยนแปลง คือเซตย่อยนูนขนาดกะทัดรัดของคู่ของ${\displaystyle C(X)}$ภายใต้โทโพโลยีแบบอ่อน* แผนที่เอนโทรปี${\displaystyle \mu \mapsto h_{\mu }(T)}$เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$: $${\displaystyle \limsup _{\mu _{n}\to \mu }h_{\mu _{n}}(T)\leq h_{\mu }(T).}$$

คุณสมบัตินี้มีบทบาทสำคัญในหลักการแปรผันซึ่งยืนยันว่าเอนโทรปีเชิงทอพอโลยี${\displaystyle h_{\mathrm {top} }(T)}$คือค่าสูงสุดของ${\displaystyle h_{\mu }(T)}$เหนือมาตรวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงทั้งหมด ความต่อเนื่องกึ่งบนรับประกันว่าค่าสูงสุดนี้จะเกิดขึ้นเมื่อปริภูมิของมาตรวัดเป็นปริภูมิกระชับ

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันนัลที่น่าสนใจหลายอย่าง เช่นเลขชี้กำลัง Lyapunovสเปกตรัมมิติ หรือ สถิติ เวลาการกลับมาล้วนเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนปริภูมิของการวัดแบบไม่เปลี่ยนแปลง ในบางกรณี คุณสมบัติกึ่งต่อเนื่องเหล่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของการวัดที่ทำให้ปริมาณที่กำหนดมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด หรือเพื่อสร้างคุณสมบัติเชิงโครงสร้างของซิมเพล็กซ์${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$(เช่น มาตรการเออร์โกดิกก่อให้เกิดส่วนที่เหลือ—หนาแน่น)${\displaystyle G_{\delta }}$-ชุด).

แนวคิดที่คล้ายกันนี้ปรากฏในทฤษฎีการเชื่อมต่อ (joinings theory ) ซึ่งศึกษาการเชื่อมโยงที่ไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างระบบต่างๆ เซตของการเชื่อมต่อเป็นเซตกระชับในโทโพโลยีแบบอ่อน-* (weak-* topology) และความต่อเนื่องแบบกึ่ง (semicontinuity) ถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์การแยกออกจากกันและความเป็นเอกลักษณ์ของการเชื่อมโยงที่ไม่เปลี่ยนแปลง