ในปี พ.ศ. 2465 ตามที่ Nahin กล่าวไว้John Renshaw Carsonได้นิยามความถี่ทันทีของสัญญาณว่า "เป็น อนุพันธ์ ของมุมเฟสของสัญญาณเทียบกับเวลา " ใน การมอดูเลชั่นความถี่ ความถี่ทันทีจะอธิบายความถี่ที่เปลี่ยนแปลงเหนือและต่ำกว่าความถี่พาหะที่ความถี่โทนเสียง^{[ 1 ]}

เฟสและความถี่ทันทีเป็นแนวคิดสำคัญในการประมวลผลสัญญาณที่เกิดขึ้นในบริบทของการแสดงและการวิเคราะห์ฟังก์ชันที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา^{[ 2 ]}เฟสทันที (เรียกอีกอย่างว่าเฟสเฉพาะที่หรือเรียกง่ายๆ ว่าเฟส ) ของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนs ( t ) คือฟังก์ชันค่าจริง :

${\displaystyle \varphi (t)=\arg\{s(t)\},}$

โดยที่argคือฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนความถี่ทันทีคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเชิงเวลาของเฟสทันที

และสำหรับฟังก์ชันค่าจริงs ( t ) จะถูกกำหนดจากการแสดงเชิงวิเคราะห์ของ ฟังก์ชัน s _a ( t ) : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\arg\{s(t)+j{\hat {s}}(t)\},\end{aligned}}}$

โดยที่แทนการแปลงฮิลเบิร์ตของs ( t ) ${\displaystyle {\hat {s}}(t)}$

เมื่อφ ( t ) ถูกจำกัดไว้ที่ค่าหลัก ของมัน ไม่ว่าจะเป็นช่วง(−π , π ]หรือ [ 0, 2π )จะเรียกว่าเฟสแบบห่อหุ้ม (wrapped phase ) มิฉะนั้นจะเรียกว่า เฟสแบบไม่ห่อหุ้ม ( unwrapped phase ) ซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของตัวแปรtโดยสมมติว่าsa ₍ t ) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของtเว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น ควรอนุมานรูปแบบต่อเนื่อง

${\displaystyle s(t)=A\cos(\omega t+\theta ),}$

โดยที่ω > 0

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j(\omega t+\theta )},\\\varphi (t)&=\omega t+\theta .\end{aligned}}}$

ในตัวอย่างคลื่นไซน์อย่างง่ายนี้ ค่าคงที่θมักถูกเรียกว่าเฟสหรือค่าชดเชยเฟส φ ( t )เป็นฟังก์ชันของเวลา แต่θไม่ใช่ ในตัวอย่างถัดไป เราจะเห็นว่าค่าชดเชยเฟสของคลื่นไซน์ที่มีค่าเป็นจำนวนจริงนั้นไม่ชัดเจน เว้นแต่จะระบุค่าอ้างอิง (sin หรือ cos) φ ( t ) นั้นถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน

${\displaystyle s(t)=A\sin(\omega t)=A\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right),}$

โดยที่ω > 0

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},\\\varphi (t)&=\omega t-{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

ในตัวอย่างทั้งสอง ค่าสูงสุดเฉพาะที่ของs ( t ) สอดคล้องกับφ ( t ) = 2πNสำหรับค่าจำนวนเต็มของ  Nซึ่งมีประโยชน์ในการประยุกต์ใช้ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ด้านการมองเห็น

ความถี่เชิงมุมทันทีถูกกำหนดดังนี้:

${\displaystyle \omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}},}$

และความถี่ทันที (ความถี่ปกติ)ถูกกำหนดดังนี้:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\omega (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}}$

โดยที่φ ( t ) ต้องเป็นเฟสที่คลายออกมิฉะนั้น หากφ ( t ) ถูกห่อหุ้ม ความไม่ต่อเนื่องในφ ( t ) จะส่งผลให้เกิด อิมพัลส์ เดลต้าของ Diracในf ( t )

การดำเนินการผกผัน ซึ่งจะคลายเฟสเสมอ คือ:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\int _{-\infty }^{t}\omega (\tau )\,d\tau =2\pi \int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\int _{-\infty }^{0}\omega (\tau )\,d\tau +\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau .\end{aligned}}}$

ความถี่ทันทีนี้ω ( t ) สามารถหาได้โดยตรงจากส่วนจริงและส่วนจินตนาการของsa ₍ t ) แทนที่จะใช้arg ที่ซับซ้อนโดยไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับการคลายเฟส

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\operatorname {atan2} ({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)],{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])+2m_{1}\pi \\[4pt]&=\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)+m_{2}\pi \end{aligned}}}$

2 m ₁ πและm ₂ πคือผลคูณจำนวนเต็มของπที่จำเป็นต้องบวกเพื่อคลายเฟส ที่ค่าเวลาtซึ่งไม่มีการเปลี่ยนแปลงของจำนวนเต็มm ₂อนุพันธ์ของφ ( t ) คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}}{({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}+({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}}}\\[3pt]&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{(s(t))^{2}+\left({\hat {s}}(t)\right)^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds(t)}{dt}}\right)\end{aligned}}}$

สำหรับฟังก์ชันเวลาไม่ต่อเนื่อง สามารถเขียนได้ในรูปของการเรียกซ้ำ:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi [n]&=\varphi [n-1]+\omega [n]\\&=\varphi [n-1]+\underbrace {\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }[n-1]\}} _{\Delta \varphi [n]}\\&=\varphi [n-1]+\arg \left\{{\frac {s_{\mathrm {a} }[n]}{s_{\mathrm {a} }[n-1]}}\right\}\\\end{aligned}}}$

จากนั้นสามารถขจัดความไม่ต่อเนื่องได้โดยการเพิ่ม 2π เมื่อใดก็ตามที่Δφ [ n ] ≤ −πและลบ2πเมื่อใดก็ตามที่ Δφ [ n ] >  πวิธีนี้ทำให้φ [ n ] สะสมได้ไม่จำกัดและสร้างเฟสทันทีที่ไม่ถูกห่อหุ้ม สูตรที่เทียบเท่ากันซึ่งแทนที่การดำเนินการโมดูลัส2πด้วยการคูณเชิงซ้อนคือ:

${\displaystyle \varphi [n]=\varphi [n-1]+\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\},}$

โดยที่เครื่องหมายดอกจันหมายถึง ค่าสั งยุคเชิงซ้อน ความถี่ทันทีแบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (ในหน่วยเรเดียนต่อตัวอย่าง) คือการเลื่อนเฟสไปข้างหน้าสำหรับตัวอย่างนั้น

${\displaystyle \omega [n]=\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\}.}$

ในการใช้งานบางอย่าง เช่น การหาค่าเฉลี่ยของค่าเฟสในช่วงเวลาต่างๆ การแปลงค่าแต่ละค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนหรือเวกเตอร์อาจเป็นประโยชน์: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle e^{i\varphi (t)}={\frac {s_{\mathrm {a} }(t)}{|s_{\mathrm {a} }(t)|}}=\cos(\varphi (t))+i\sin(\varphi (t)).}$

การแสดงผลแบบนี้คล้ายกับการแสดงผลเฟสแบบวนรอบตรงที่ไม่ได้แยกความแตกต่างระหว่างค่าทวีคูณของ 2π ในเฟส แต่คล้ายกับการแสดงผลเฟสแบบไม่วนรอบเนื่องจากมีความต่อเนื่อง เฟสเฉลี่ยแบบเวกเตอร์สามารถหาได้จากค่าอาร์กิวเมนต์ของผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนโดยไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับการวนรอบ

• การกระจัดเชิงมุม
• สัญญาณวิเคราะห์
• การมอดูเลชั่นความถี่
• ความล่าช้าของกลุ่ม
• แอมพลิจูดทันที
• ความถี่เชิงลบ

• โคเฮน, ลีออน (1995). การวิเคราะห์เวลา-ความถี่ . เพรนทิซ ฮอลล์.
• Granlund; Knutsson (1995). การประมวลผลสัญญาณสำหรับคอมพิวเตอร์วิชั่น . สำนักพิมพ์ Kluwer Academic Publishers.