ในทฤษฎีเซตดนตรีเวกเตอร์ช่วงคืออาร์เรย์ของจำนวนธรรมชาติที่สรุปช่วงที่มีอยู่ในเซตของระดับเสียง (นั่นคือ เซตของระดับเสียงที่ ไม่คำนึงถึง อ็อกเทฟ ) ชื่ออื่นๆ ได้แก่เวกเตอร์ ic (หรือเวกเตอร์ช่วงของระดับเสียง) เวกเตอร์ PIC (หรือเวกเตอร์ช่วงของระดับเสียง) และเวกเตอร์ APIC (หรือเวกเตอร์ช่วงของระดับเสียงสัมบูรณ์ ซึ่ง Michiel Schuijer ระบุว่าเหมาะสมกว่า) ^{[ 1 ] : 48}

แม้ว่าเวกเตอร์ช่วงเสียงจะเป็นเครื่องมือวิเคราะห์เป็นหลัก แต่ก็มีประโยชน์สำหรับนักแต่งเพลงเช่นกัน เพราะมันแสดงให้เห็นถึงคุณภาพเสียงที่เกิดจากกลุ่มระดับเสียงต่างๆ ได้อย่างรวดเร็ว กล่าวคือ กลุ่มที่มีช่วงเสียงที่ไม่กลมกลืนกัน (เช่น ช่วงเสียงที่สองและช่วงเสียงที่เจ็ด) อยู่มาก จะฟังดูไม่กลมกลืน ในขณะที่กลุ่มที่มีช่วงเสียงที่กลมกลืนกัน (เช่น ช่วงเสียงที่สามและช่วงเสียงที่หก) อยู่มาก จะฟังดูกลมกลืน กัน แม้ว่าการรับรู้ถึงความกลมกลืนและความไม่กลมกลืนนั้นเกี่ยวข้องกับปัจจัยบริบทหลายอย่าง เช่นระดับเสียงแต่เวกเตอร์ช่วงเสียงก็ยังคงเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์อยู่ดี

ในระบบเสียงสิบสองโทนเท่ากันเวกเตอร์ช่วงเสียงจะมีหกหลัก โดยแต่ละหลักแทนจำนวนครั้งที่ชั้นช่วงเสียงปรากฏในชุด เนื่องจากมีการใช้ชั้นช่วงเสียง เวกเตอร์ช่วงเสียงสำหรับชุดที่กำหนดจึงยังคงเหมือนเดิม ไม่ว่าชุดนั้นจะมีการเรียงสับเปลี่ยนหรือจัดเรียงในแนวตั้งอย่างไรก็ตาม ชั้นช่วงเสียงที่กำหนดโดยแต่ละหลักจะเรียงจากซ้ายไปขวา นั่นคือ:

1. ระยะห่างระหว่างโน้ตคู่สอง/คู่เจ็ด (1 หรือ 11 เซมิโทน)
2. ช่วงเสียงเมเจอร์เซคันด์/ไมเนอร์เซเว่น (2 หรือ 10 เซมิโทน)
3. ช่วงเสียงไมเนอร์เทิร์ด/เมเจอร์ซิกซ์ (3 หรือ 9 เซมิโทน)
4. ช่วงเสียงเมเจอร์เทิร์ด/ไมเนอร์ซิกซ์ (4 หรือ 8 เซมิโทน)
5. คู่สี่สมบูรณ์/คู่ห้าสมบูรณ์ (5 หรือ 7 เซมิโทน)
6. ไตรโทน (6 เซมิโทน) (ไตรโทนมีค่าเท่ากับตัวมันเองเมื่อผกผัน )

ช่วงเสียงคลาส 0 ซึ่งแทนเสียงประสานและเสียงอ็อกเทฟ จะถูกละเว้น

ในหนังสือThe Harmonic Materials of Modern Music ปี 1960 ของเขา Howard Hansonได้นำเสนอวิธีการเขียนโน้ตแบบเอกนาม สำหรับแนวคิดนี้ ซึ่งเขาเรียกว่า เนื้อหาช่วงเสียง : p ^e m ^d n ^c .s ^b d ^a t ^fสำหรับสิ่งที่จะเขียนในปัจจุบันว่า⟨ abcdef ⟩ [ ^{2 ] [ หมายเหตุ 1 ]}การเขียนโน้ตแบบสมัยใหม่ซึ่งแนะนำโดย Donald Martino ในปี 1961 มีข้อดีมากมายและสามารถขยายไปสู่การแบ่งอ็อกเทฟที่เท่ากันได้ [ ^{3 ] Allen} Forte ในงานของเขาในปี 1973 เรื่องThe Structure of Atonal Musicได้เขียนโน้ตเวกเตอร์ช่วงเสียงโดยใช้วงเล็บเหลี่ยม โดยอ้างถึง Martino; ^{[ 4 ] : 15} ผู้เขียนคนต่อมา เช่นJohn Rahnใช้วงเล็บเหลี่ยมมุม^{[ 5 ] : 100}

บันไดเสียงที่มีเวกเตอร์ช่วงห่างประกอบด้วยตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันหกหลัก เรียกว่ามีคุณสมบัติบันไดเสียงเชิงลึกบันไดเสียงเมเจอร์และโหมดต่างๆ ของบันไดเสียงนี้มีคุณสมบัติดังกล่าว

ตัวอย่างเชิงปฏิบัติ เวกเตอร์ช่วงสำหรับคอร์ด C เมเจอร์ ( 3-11B ) ในตำแหน่งราก {CEG} (เล่น^ⓘ ) คือ⟨001110⟩ซึ่งหมายความว่าเซตนี้มีเมเจอร์เทิร์ดหรือไมเนอร์ซิกซ์หนึ่งคู่ (เช่น จาก C ไป E หรือ E ไป C) ไมเนอร์เทิร์ดหรือเมเจอร์ซิกซ์หนึ่งคู่ (เช่น จาก E ไป G หรือ G ไป E) และเพอร์เฟคฟิฟท์หรือเพอร์เฟคท์โฟร์ทหนึ่งคู่ (เช่น จาก C ไป G หรือ G ไป C) เนื่องจากเวกเตอร์ช่วงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการสลับตำแหน่งหรือผกผัน จึงจัดอยู่ในกลุ่มเซตซึ่งหมายความว่า⟨001110⟩คือเวกเตอร์ของไตรแอดเมเจอร์ (และไมเนอร์) ทั้งหมด เวกเตอร์ช่วงบางตัวสอดคล้องกับเซตมากกว่าหนึ่งเซตที่ไม่สามารถสลับตำแหน่งหรือผกผันเพื่อสร้างเซตอื่นได้ (เซตเหล่านี้เรียกว่าเซตที่เกี่ยวข้องกับ Zซึ่งจะอธิบายต่อไป)

สำหรับชุด ระดับเสียง nระดับ ผลรวมของตัวเลขทั้งหมดในเวกเตอร์ช่วงของชุดนั้นจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ทวินาม เนื่องจากองค์ประกอบของเวกเตอร์ช่วงนั้นคำนวณโดยการเปรียบเทียบระดับเสียงแต่ละคู่จากชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ n ตัว ซึ่งสอดคล้องกับจำนวนสามเหลี่ยม ด้วยเช่น กัน ${\displaystyle {\tbinom {n}{2}}={\tfrac {n(n-1)}{2}}}$${\displaystyle T_{n-1}}$

รูปแบบที่ขยายของเวกเตอร์ช่วงยังถูกนำมาใช้ในทฤษฎีการแปลง ด้วย ดังที่ได้กล่าวไว้ในหนังสือ Generalized Musical Intervals and TransformationsของDavid Lewin

ในทฤษฎีเซตดนตรีความสัมพันธ์ Zหรือที่เรียกว่าความสัมพันธ์ไอโซเมอริกคือความสัมพันธ์ระหว่างเซตระดับเสียงสองเซตที่เซตทั้งสองมีเนื้อหาช่วงเสียงเดียวกัน (และด้วยเหตุนี้จึงมีเวกเตอร์ช่วงเสียงเดียวกัน) แต่ไม่มี ความสัมพันธ์ แบบการสลับตำแหน่ง (เป็นประเภท T _n ที่แตกต่างกัน ) หรือ ความสัมพันธ์ แบบการผกผัน (เป็นประเภท T _n /T _{n I ที่แตกต่างกัน)} ^{[ 1 ] : 99} ตัวอย่างเช่น เซต 4-z15A {0,1,4,6} และ 4-z29A {0,1,3,7} มีเวกเตอร์ช่วงเสียงเดียวกัน⟨111111⟩แต่ไม่สามารถสลับตำแหน่งและ/หรือผกผันเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่งได้

ในกรณีของเฮกซาคอร์ดแต่ละตัวอาจเรียกว่าZ-เฮกซาคอร์ดเฮกซาคอร์ดใดๆ ที่ไม่ใช่ประเภท "Z" ถือเป็นส่วนเติมเต็ม ของตัวเอง ในขณะที่ส่วนเติมเต็มของ Z-เฮกซาคอร์ดคือ Z-correspondent ของมัน เช่น 6-Z3 และ 6-Z36 ^{[ 4 ] : 79} ดู: 6-Z44 , 6-Z17 , 6-Z11และหมายเลข Forte

สัญลักษณ์ "Z" ซึ่งย่อมาจาก " zygotic " (มาจากภาษากรีก หมายถึง คู่ หรือแอกเช่น การรวมตัวของเซลล์สืบพันธุ์สองเซลล์) ^{[ 1 ] : 98} มาจาก Allen Forte ในปี 1964 แต่แนวคิดนี้ดูเหมือนจะได้รับการพิจารณาครั้งแรกโดย Howard Hanson Hanson เรียกสิ่งนี้ว่าความสัมพันธ์แบบไอโซเมอร์และกำหนดชุดดังกล่าวสองชุดว่าเป็นไอโซเมอร์ [ ^{2 ] : 22} ดู: ไอโซเมอร์

ตามที่ Michiel Schuijer (2008) กล่าวไว้ทฤษฎีบทเฮกซาคอร์ดที่ว่า เฮกซาคอร์ดสองตัวใดๆ ที่มีระดับเสียงเสริมกันจะมีเวกเตอร์ช่วงเดียวกัน แม้ว่าจะไม่เท่ากันภายใต้การสลับตำแหน่งและการผกผันนั้น ได้รับการเสนอครั้งแรกโดยMilton Babbittและ "การค้นพบความสัมพันธ์" ได้รับการ "รายงาน" โดยDavid Lewinในปี 1960 ในฐานะตัวอย่างของทฤษฎีบทส่วนเติมเต็ม : ความแตกต่างระหว่างช่วงระดับเสียงในชุดระดับเสียงเสริมสองชุดเท่ากับความแตกต่างระหว่างจำนวนสมาชิกของชุด (เมื่อกำหนดเฮกซาคอร์ดสองตัว ความแตกต่างนี้คือ 0) ^{[ 1 ] : 96–7 [ 6 ]}การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีบทเฮกซาคอร์ดได้รับการตีพิมพ์โดย Kassler (1961), Regener (1974) และ Wilcox (1983) ^{[ 1 ] : 96–7}

แม้ว่าโดยทั่วไปจะสังเกตได้ว่าชุดที่เกี่ยวข้องกับ Z มักปรากฏเป็นคู่ แต่เดวิด เลวินตั้งข้อสังเกตว่านี่เป็นผลมาจากการปรับเสียงแบบ 12 โทนเท่ากัน (12-ET) ในระบบ 16-ET ชุดที่เกี่ยวข้องกับ Z จะพบเป็นแบบสามตัว โจนาธาน ไวลด์ ศิษย์ของเลวิน ได้ทำการวิจัยต่อยอดจากระบบการปรับเสียงอื่นๆ โดยพบกลุ่มตัวโน้ตที่เกี่ยวข้องกับ Z ที่มีสมาชิกมากถึง 16 ตัวในระบบ ET ที่สูงกว่า

ความสัมพันธ์สมมูลของ 'การมีเนื้อหาช่วงเดียวกัน' ซึ่งอนุญาตให้กรณีไอโซเมตริกที่ไม่สำคัญนั้น ได้รับการศึกษาครั้งแรกในสาขาผลึกศาสตร์และเป็นที่รู้จักในชื่อโฮโมเมตรีตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทส่วนเติมเต็มเป็นที่รู้จักในหมู่นักฟิสิกส์ในชื่อหลักการของบาบิเนต์สำหรับการสำรวจล่าสุด โปรดดู^{[ 7 ]}

Straus โต้แย้งว่า "[ชุด] ในความสัมพันธ์ Z จะฟังดูคล้ายกันเพราะมีเนื้อหาช่วงเดียวกัน" ^{[ 8 ] [ 1 ] : 125} ซึ่งนำไปสู่การที่นักประพันธ์เพลงบางคนใช้ประโยชน์จากความสัมพันธ์ Z ในงานของพวกเขา ตัวอย่างเช่น การเล่นระหว่าง {0,1,4,6} และ {0,1,3,7} นั้นชัดเจนในString Quartet ที่สองของElliott Carter

คอร์ด ที่เกี่ยวข้องกับ Zบางคอร์ดเชื่อมต่อกันด้วยMหรือIM ( การคูณด้วย 5 หรือการคูณด้วย 7) เนื่องจากรายการ 1 และ 5 บนเวกเตอร์ช่วงมีค่าเหมือนกัน^{[ 1 ] : 83, 110}

• รอบช่วงเวลา
• ช่วงเสียง

• เนื้อหาคลาสกำหนดและคลาสช่วงเวลา
• บทนำสู่การวิเคราะห์ดนตรีแบบโพสต์ฟังก์ชัน: ศัพท์เฉพาะของทฤษฎีโพสต์ฟังก์ชัน โดย โรเบิร์ต ที. เคลลีย์
• ทฤษฎีระดับเสียงในศตวรรษที่ 20: คำศัพท์และเทคนิคที่เป็นประโยชน์บางประการ