ในทางคณิตศาสตร์ความไม่ถ่ายทอด (บางครั้งเรียกว่าการไม่ถ่ายทอด ) คือคุณสมบัติของความสัมพันธ์ทวิภาคที่ไม่ใช่ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดกล่าวคือ เราสามารถหาค่าได้สามค่า${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, และ${\displaystyle c}$ในกรณีที่เงื่อนไขการถ่ายทอดไม่เป็นไปตามที่กำหนด

คุณสมบัติ การต่อต้านการถ่ายทอด (Antitransitivity)เป็นคุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่าซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ที่เงื่อนไขการถ่ายทอดจะไม่เป็นจริงสำหรับค่าสามค่าใดๆ

ผู้เขียนบางคนใช้คำว่าintransitiveเพื่ออ้างถึงการต่อต้านการถ่ายทอด^{[ 1 ] [ 2 ]}

ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดได้ (transitive relation) คือความสัมพันธ์ที่เมื่อใดก็ตามที่มันเชื่อมโยง A กับ B และ B กับ C แล้ว A ก็จะเชื่อมโยงกับ C ด้วย ความสัมพันธ์ แบบอถ่ายทอด ได้ (intransitive relation) คือความสัมพันธ์ ที่ไม่ถ่ายทอดได้ สมมติว่าความสัมพันธ์นั้นมีชื่อว่า...${\displaystyle R}$เป็นกริยาไม่ต้องการกรรม ถ้า:

$${\displaystyle \lnot \left(\forall a,b,c:aRb\land bRc\implies aRc\right).}$$

คำกล่าวนี้เทียบเท่ากับ $${\displaystyle \exists a,b,c:aRb\land bRc\land \lnot (aRc).}$$

ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์อสมการ${\displaystyle \neq }$เป็นกริยาไม่ต้องการกรรม สามารถพิสูจน์ได้โดยการแทนที่${\displaystyle R}$กับ${\displaystyle \neq }$และการเลือก${\displaystyle a=1}$,${\displaystyle b=2}$, และ${\displaystyle c=1}$เรามี${\displaystyle 1\neq 2}$และ${\displaystyle 2\neq 1}$และนั่นไม่เป็นความจริง${\displaystyle 1\neq 1}$.

โปรดสังเกตว่า สำหรับความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นไปตามการถ่ายทอด เงื่อนไขการถ่ายทอดจะต้องไม่เป็นจริงในบางจุด${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, และ${\displaystyle c}$มันยังคงใช้ได้กับกรณีอื่นๆ ด้วย ตัวอย่างเช่น มันยังคงใช้ได้เมื่อ${\displaystyle a=1}$,${\displaystyle b=2}$, และ${\displaystyle c=3}$, แล้ว${\displaystyle 1\neq 2}$และ${\displaystyle 2\neq 3}$และนั่นก็เป็นความจริงที่ว่า${\displaystyle 1\neq 3}$.

สำหรับตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าของสมบัติการไม่ถ่ายทอด ให้พิจารณาความสัมพันธ์Rบนจำนวนเต็ม โดยที่a R b ก็ต่อเมื่อaเป็นพหุคูณของbหรือตัวหารของbความสัมพันธ์นี้เป็นสมบัติการไม่ถ่ายทอด เนื่องจากตัวอย่างเช่น 2 R 6 (2 เป็นตัวหารของ 6) และ 6 R 3 (6 เป็นพหุคูณของ 3) แต่ 2 ไม่ใช่ทั้งพหุคูณและตัวหารของ 3 นี่ไม่ได้หมายความว่าความสัมพันธ์นี้เป็นสมบัติการต่อต้านการถ่ายทอด (ดูด้านล่าง) ตัวอย่างเช่น 2 R 6, 6 R 12 และ 2 R 12 เช่นกัน

ตัวอย่างในทางชีววิทยามาจากห่วงโซ่อาหาร หมาป่ากินกวาง และกวางกินหญ้า แต่หมาป่าไม่กินหญ้า^{[ 3 ]}ดังนั้น ความ สัมพันธ์ แบบกินกันระหว่างสิ่งมีชีวิตจึงเป็นแบบไม่สามารถถ่ายทอดได้ในแง่นี้

คุณสมบัติการไม่ถ่ายทอด (Antitransitivity) สำหรับความสัมพันธ์ หมายความว่า เงื่อนไขการถ่ายทอดไม่เป็นจริงสำหรับค่าทั้งสามใดๆ

ในตัวอย่างข้างต้น ความสัมพันธ์ แบบ "กิน"ไม่ใช่ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอด แต่ก็ยังมีความเป็นถ่ายทอดอยู่บ้าง เช่น มนุษย์กินกระต่าย กระต่ายกินแครอท และมนุษย์ก็กินแครอทอีกด้วย

ความสัมพันธ์ แบบแอนตี้ทรานซิทีฟคือความสัมพันธ์ ที่ ไม่เคยเกิดขึ้นเลย นิยามอย่างเป็นทางการคือ: $${\displaystyle \forall a,b,c:aRb\land bRc\implies \lnot (aRc).}$$

ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์Rบนจำนวนเต็ม ซึ่งa R bก็ต่อเมื่อa + bเป็นจำนวนคี่ เป็นความสัมพันธ์แบบแอนติทรานซิทีฟ ถ้าa R bและb R cแล้วaและcจะเป็นจำนวนคี่ทั้งคู่และbเป็นจำนวนคู่ หรือในทางกลับกัน ในทั้งสองกรณีa + cจะเป็นจำนวนคู่

ตัวอย่างที่สองของความสัมพันธ์แบบผกผันการถ่ายทอด: ความสัมพันธ์ของการพ่าย แพ้ในการแข่งขันแบบน็อกเอาต์ถ้าผู้เล่น A เอาชนะผู้เล่น B และผู้เล่น B เอาชนะผู้เล่น C A จะไม่เคยเล่นกับ C เลย และด้วยเหตุนี้ A จึงไม่ได้เอาชนะ C

โดยการสลับตำแหน่ง สูตรต่อไปนี้แต่ละสูตรเทียบเท่ากับคุณสมบัติการต่อต้านการถ่ายทอดของR : $${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall a,b,c:aRb\land aRc\implies \lnot (bRc)\\[3pt]&\forall a,b,c:aRc\land bRc\implies \lnot (aRb)\end{aligned}}}$$

คำว่า"การไม่มีสมบัติการถ่ายทอด " มักใช้เมื่อพูดถึงสถานการณ์ที่ความสัมพันธ์อธิบายถึงความชอบสัมพัทธ์ระหว่างตัวเลือกสองคู่ และการชั่งน้ำหนักตัวเลือกหลายๆ ตัวเลือกจะทำให้เกิด "วงจร" ของความชอบ:

• A ดีกว่า B
• B ดีกว่า C
• C ดีกว่า A

เกมเป่ายิงฉุบ ลูกเต๋าที่ไม่ต้องการกรรมและเกมของเพนนีย์เป็นตัวอย่าง ความสัมพันธ์ในการต่อสู้ที่แท้จริงของสายพันธุ์ที่แข่งขันกัน^{[ 5 ]}กลยุทธ์ของสัตว์แต่ละตัว^{[ 6 ]}และการต่อสู้ของยานพาหนะที่ควบคุมระยะไกลในรายการ BattleBots ("ดาร์วินิสม์หุ่นยนต์") ^{[ 7 ]}ก็สามารถเป็นวัฏจักรได้เช่นกัน

สมมติว่าไม่มีตัวเลือกใดถูกเลือกมากกว่าตัวมันเอง กล่าวคือ ความสัมพันธ์นั้นเป็นแบบไม่สะท้อนกลับความสัมพันธ์ของการเลือกที่มีวงวนจะไม่เป็นแบบถ่ายทอดได้ เพราะถ้าเป็นแบบถ่ายทอดได้ ตัวเลือกแต่ละตัวในวงวนจะถูกเลือกมากกว่าตัวเลือกอื่นๆ รวมถึงตัวมันเองด้วย สามารถอธิบายได้ด้วยตัวอย่างของวงวนระหว่าง A, B และ C สมมติว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นแบบถ่ายทอดได้ ดังนั้น เนื่องจาก A ถูกเลือกมากกว่า B และ B ถูกเลือกมากกว่า C ดังนั้น A จึงถูกเลือกมากกว่า C ด้วย แต่เนื่องจาก C ถูกเลือกมากกว่า A ดังนั้น A จึงถูกเลือกมากกว่า A ด้วย

ดังนั้น วงจรความชอบ (หรือวัฏจักร ) ดังกล่าวจึงเรียกว่าการไม่ถ่ายทอด (intransitivity )

โปรดสังเกตว่า วงจรไม่ใช่ทั้งเงื่อนไขที่จำเป็นหรือเพียงพอสำหรับความสัมพันธ์ทวิภาคที่จะไม่เป็นความสัมพันธ์ถ่ายทอดได้ ตัวอย่างเช่นความสัมพันธ์สมมูลมีวงจรแต่เป็นความสัมพันธ์ถ่ายทอดได้ ทีนี้ ลองพิจารณาความสัมพันธ์ "เป็นศัตรูของ" และสมมติว่าความสัมพันธ์นั้นสมมาตรและเป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่า สำหรับประเทศใดๆ ศัตรูของศัตรูของประเทศนั้นจะไม่ใช่ศัตรูของประเทศนั้นเอง นี่คือตัวอย่างของความสัมพันธ์ต่อต้านการถ่ายทอดที่ไม่มีวงจร โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ด้วยคุณสมบัติของการต่อต้านการถ่ายทอด ความสัมพันธ์นั้นจึงไม่เป็นความสัมพันธ์ถ่ายทอดได้

เกมเป่ายิงฉุบเป็นตัวอย่างหนึ่ง ความสัมพันธ์ระหว่างหิน กระดาษ และกรรไกร คือ "การเอาชนะ" และกฎมาตรฐานของเกมคือ หินเอาชนะกรรไกร กรรไกรเอาชนะกระดาษ และกระดาษเอาชนะหิน นอกจากนี้ กรรไกรไม่สามารถเอาชนะหินได้ กระดาษไม่สามารถเอาชนะกรรไกรได้ และหินไม่สามารถเอาชนะกระดาษได้ สุดท้ายนี้ ไม่มีตัวเลือกใดที่เอาชนะตัวเองได้ ข้อมูลนี้สามารถแสดงได้ในตาราง:

อาร์กิวเมนต์แรกของความสัมพันธ์คือแถว และอาร์กิวเมนต์ที่สองคือคอลัมน์ เลข 1 แสดงว่าความสัมพันธ์เป็นจริง เลข 0 แสดงว่าความสัมพันธ์ไม่เป็นจริง ทีนี้ สังเกตว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับองค์ประกอบ x และ y ใดๆ ที่สุ่มมา (โดยมีการใส่คืน) จากเซต {หิน กรรไกร กระดาษ}: ถ้า x ชนะ y และ y ชนะ z แล้ว x จะไม่ชนะ z ดังนั้น ความสัมพันธ์นี้เป็นความสัมพันธ์แบบต่อต้านการถ่ายทอด (antitransitive)

ดังนั้น วัฏจักรจึงไม่ใช่ทั้งสิ่งจำเป็นและสิ่งเพียงพอสำหรับความสัมพันธ์ทวิภาคที่จะเป็นความสัมพันธ์แบบต่อต้านการถ่ายทอด

• ความไม่สามารถถ่ายทอดได้สามารถเกิดขึ้นได้ภายใต้กฎเสียงข้างมากในผลลัพธ์เชิงความน่าจะเป็นของทฤษฎีเกมและใน วิธี การลงคะแนนแบบคอนดอร์เซต์ซึ่งการจัดอันดับผู้สมัครหลายคนสามารถสร้างวงจรความชอบเมื่อเปรียบเทียบน้ำหนัก (ดูปรากฏการณ์ขัดแย้งในการลงคะแนน )
• ลูกเต๋าที่ไม่แสดงการถ่ายทอดแสดงให้เห็นว่า ความสัมพันธ์ " ลูกเต๋าXทอยได้เลขสูงกว่าลูกเต๋าYมากกว่าครึ่งหนึ่งของเวลา" ไม่จำเป็นต้องเป็นการถ่ายทอดเสมอไป
• ในทางจิตวิทยา ความไม่สามารถถ่ายทอดได้มักเกิดขึ้นใน ระบบค่านิยม (หรือความชอบหรือรสนิยม ) ของบุคคล ซึ่งอาจนำไปสู่ความขัดแย้งที่ไม่สามารถแก้ไขได้
• ในทำนองเดียวกัน ในทางเศรษฐศาสตร์ ความไม่สอดคล้องกันอาจเกิดขึ้นใน ความชอบของผู้บริโภคซึ่งอาจนำไปสู่พฤติกรรมของผู้บริโภคที่ไม่สอดคล้องกับหลักเหตุผลทางเศรษฐศาสตร์ ที่สมบูรณ์แบบ นักเศรษฐศาสตร์และนักปรัชญาตั้งคำถามว่า การละเมิดความสอดคล้องกันนั้นจำเป็นต้องนำไปสู่ ​​'พฤติกรรมที่ไม่สมเหตุสมผล' หรือไม่ (ดู Anand (1993))

มีการเสนอแนะว่าการลงคะแนนแบบคอนดอร์เซต์มีแนวโน้มที่จะขจัด "วงจรที่ไม่เป็นไปตามหลักการถ่ายทอด" เมื่อมีผู้ลงคะแนนจำนวนมาก เนื่องจากเกณฑ์การประเมินโดยรวมของผู้ลงคะแนนจะมีความสมดุลกัน ตัวอย่างเช่น ผู้ลงคะแนนอาจชอบผู้สมัครในหลายหน่วยวัดที่แตกต่างกัน เช่น เรียงตามลำดับความสำนึกทางสังคมหรือเรียงตามลำดับความอนุรักษ์นิยมทางการคลังมากที่สุด

ในกรณีเช่นนี้ คุณสมบัติการไม่ถ่ายทอดจะลดลงเหลือเพียงสมการที่กว้างขึ้น ซึ่งพิจารณาจากจำนวนคนและน้ำหนักของหน่วยวัดในการประเมินผู้สมัคร

เช่น:

• 30% เห็นด้วยกับการให้น้ำหนัก 60/40 ระหว่างจิตสำนึกทางสังคมและการอนุรักษ์นิยมทางการคลัง
• 50% เห็นด้วยกับการให้น้ำหนัก 50/50 ระหว่างจิตสำนึกทางสังคมและการอนุรักษ์นิยมทางการคลัง
• ร้อยละ 20 เห็นด้วยกับการให้น้ำหนัก 40/60 ระหว่างจิตสำนึกทางสังคมและการอนุรักษ์นิยมทางการคลัง

แม้ว่าผู้มีสิทธิเลือกตั้งแต่ละคนอาจไม่ได้ประเมินหน่วยวัดในลักษณะเดียวกัน แต่แนวโน้มโดยรวมจะกลายเป็นเวกเตอร์ เดียว ที่ทุกคนเห็นพ้องต้องกันว่าเป็นความสมดุลที่เหมาะสมของเกณฑ์ของผู้สมัคร

• อนันด์, พี (1993). พื้นฐานของการเลือกอย่างมีเหตุผลภายใต้ความเสี่ยง . อ็อกซ์ฟอร์ด: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด..
• Bar-Hillel, M. และ Margalit, A. (1988). วงจรของการเลือกที่ไม่ถ่ายทอดนั้นร้ายกาจเพียงใด? ทฤษฎีและการตัดสินใจ, 24 (2), 119-145.
• Klimenko, Alexander Y. (2014). "ความซับซ้อนและความไม่สามารถถ่ายทอดได้ในการพัฒนาเทคโนโลยี" (PDF)วารสารวิทยาศาสตร์ระบบและวิศวกรรมระบบ 23 ( 2): 128– 152. doi : 10.1007/s11518-014-5245-x . S2CID 59390606 . 
• Klimenko, Alexander (2015). "การไม่ถ่ายทอดในทฤษฎีและในโลกแห่งความเป็นจริง" . Entropy . 17 (12): 4364– 4412. arXiv : 1507.03169 . Bibcode : 2015Entrp..17.4364K . doi : 10.3390/e17064364 .