ความสัมพันธ์ทวิภาคแบบถ่ายทอด  วี ที อี
สมมาตร แอนติสมมาตร เชื่อมต่อแล้ว มีเหตุผลที่ดี ได้เข้าร่วมแล้ว ได้พบปะแล้ว สะท้อนกลับ ไร้ปฏิกิริยาตอบสนอง ไม่สมมาตร โททอลเซมิคอนเน็กซ์ ต่อต้านปฏิกิริยาสะท้อน ความสัมพันธ์สมมูล วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ สั่งซื้อล่วงหน้า(กึ่งสั่งซื้อ) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ คำสั่งซื้อบางส่วน ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ ยอดสั่งซื้อล่วงหน้าทั้งหมด ✗ ✗ วาย ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ คำสั่งซื้อทั้งหมด ✗ วาย วาย ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การสั่งซื้อล่วงหน้า ✗ ✗ วาย วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การจัดลำดับแบบกึ่งดี ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การจัดระเบียบที่ดี ✗ วาย วาย วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ โครงตาข่าย ✗ วาย ✗ ✗ วาย วาย วาย ✗ ✗ ข้อต่อเซมิแลตติซ ✗ วาย ✗ ✗ วาย ✗ วาย ✗ ✗ มีท-เซมิแลตติซ ✗ วาย ✗ ✗ ✗ วาย วาย ✗ ✗ ลำดับบางส่วนที่เข้มงวด ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย คำสั่งอ่อนที่เข้มงวด ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย ลำดับที่เข้มงวดทั้งหมด ✗ วาย วาย ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย สมมาตร แอนติสมมาตร เชื่อมต่อแล้ว มีเหตุผลที่ดี ได้เข้าร่วมแล้ว ได้พบปะแล้ว สะท้อนกลับ ไร้ปฏิกิริยาตอบสนอง ไม่สมมาตร คำจำกัดความสำหรับทุกคน${\displaystyle a,b}$และ${\displaystyle S\neq \varnothing$ :) ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ และ }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ หรือ }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
Yแสดงว่าคุณสมบัติของคอลัมน์นั้นเป็นจริงเสมอสำหรับพจน์ของแถวนั้น (ทางซ้ายสุด) ในขณะที่✗แสดงว่าคุณสมบัตินั้นไม่ได้รับการรับประกันโดยทั่วไป (อาจเป็นจริงหรือไม่ก็ได้) ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สมมูลทุกความสัมพันธ์เป็นสมมาตร แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นปฏิสมมาตรจะแสดงด้วยYในคอลัมน์ "สมมาตร" และ✗ในคอลัมน์ "ปฏิสมมาตร" ตามลำดับ นิยามทั้งหมดล้วนต้องการความสัมพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน โดยปริยาย${\displaystyle R}$เป็นกริยาที่ต้องการกรรม : สำหรับทั้งหมด${\displaystyle a,b,c,}$ถ้า${\displaystyle aRb}$และ${\displaystyle bRc}$แล้ว${\displaystyle aRc.}$ คำจำกัดความของคำศัพท์บางคำอาจต้องการคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ไม่ได้ระบุไว้ในตารางนี้

ในทางคณิตศาสตร์ความสัมพันธ์ทวิภาคจะเชื่อมโยงองค์ประกอบบางส่วนของเซต หนึ่ง ที่เรียกว่าโดเมนกับองค์ประกอบบางส่วนของเซตอื่น (อาจเป็นเซตเดียวกันก็ได้) ที่เรียกว่าโคโดเมน^{[ 1 ]}กล่าวคือ ความสัมพันธ์ทวิภาคเหนือเซต${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$คือเซตของ คู่ลำดับ${\displaystyle (x,y)}$, ที่ไหน${\displaystyle x}$เป็นองค์ประกอบหนึ่งของ${\displaystyle X}$และ${\displaystyle y}$เป็นองค์ประกอบหนึ่งของ${\displaystyle Y}$[ ^{2 ] มันเข้ารหัสแนวคิดทั่วไปของความ สัมพันธ์} : องค์ประกอบ${\displaystyle x}$เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบ${\displaystyle y}$ก็ต่อเมื่อคู่ ดังกล่าว${\displaystyle (x,y)}$เป็นส่วนหนึ่งของเซตของคู่ลำดับที่กำหนดความสัมพันธ์ทวิภาค

ตัวอย่างหนึ่งของความสัมพันธ์ทวิภาคคือความสัมพันธ์ " หารลงตัว " บนเซตของจำนวนเฉพาะ${\displaystyle \mathbb {P} }$และเซตของจำนวนเต็ม${\displaystyle \mathbb {Z} }$ซึ่งแต่ละจำนวนเฉพาะ${\displaystyle p}$เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มแต่ละตัว${\displaystyle z}$นั่นคือผลคูณของ${\displaystyle p}$แต่ไม่ใช่จำนวนเต็มที่ไม่ใช่พหุคูณของ${\displaystyle p}$ในความสัมพันธ์นี้ ตัวอย่างเช่น จำนวนเฉพาะ${\displaystyle 2}$เกี่ยวข้องกับตัวเลข เช่น${\displaystyle -4}$,${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 6}$,${\displaystyle 10}$แต่ไม่ใช่เพื่อ${\displaystyle 1}$หรือ${\displaystyle 9}$เช่นเดียวกับจำนวนเฉพาะ${\displaystyle 3}$เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 6}$, และ${\displaystyle 9}$แต่ไม่ใช่เพื่อ${\displaystyle 4}$หรือ${\displaystyle 13}$.

ความสัมพันธ์ทวิภาคเรียกว่าความสัมพันธ์เอกพันธุ์เมื่อ${\displaystyle X=Y}$ความสัมพันธ์ทวิภาคยังเรียกว่าความสัมพันธ์ต่างชนิดกันเมื่อไม่จำเป็นว่า${\displaystyle X=Y}$.

ความสัมพันธ์ทวิภาค โดยเฉพาะความสัมพันธ์เอกพันธุ์ ถูกนำมาใช้ในสาขาคณิตศาสตร์หลายแขนงเพื่อสร้างแบบจำลองแนวคิดที่หลากหลาย ซึ่งรวมถึงสิ่งต่อไปนี้:

• ความสัมพันธ์ " มากกว่า " " เท่ากับ " และ "หารลงตัว" ในทางเลขคณิต
• ความสัมพันธ์ " สมมาตรกับ " ในเรขาคณิต
• ความสัมพันธ์ "อยู่ติดกัน" ในทฤษฎีกราฟ ;
• ความสัมพันธ์ " ตั้งฉากกับ" ในพีชคณิตเชิงเส้น

ฟังก์ชันอาจถูกกำหนดให้เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารีที่ตรงตามข้อจำกัดเพิ่มเติม^{[ 3 ]} ความสัมพันธ์ แบบไบนารียังถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ด้วย

ความสัมพันธ์ทวิภาคเหนือเซต${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$สามารถระบุได้ด้วยองค์ประกอบหนึ่งในเซตกำลังของผลคูณคาร์ทีเซียน${\displaystyle X\times Y.}$เนื่องจากพาวเวอร์เซตเป็นแลตทิซสำหรับการรวมเซต (${\displaystyle \subseteq }$ความสัมพันธ์เหล่านี้สามารถจัดการได้โดยใช้การดำเนินการทางเซต ( การรวมการตัดกันและการเติมเต็ม ) และพีชคณิตของเซต

ในระบบทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ บางระบบ ความสัมพันธ์จะถูกขยายไปยังคลาสซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของเซต การขยายนี้จำเป็นสำหรับการสร้างแบบจำลองแนวคิด "เป็นสมาชิกของ" หรือ "เป็นเซตย่อยของ" ในทฤษฎีเซต โดยไม่ก่อให้เกิดความไม่สอดคล้องกันทางตรรกะ เช่นปรากฏการณ์ขัดแย้งของรัสเซลล์

ความสัมพันธ์ทวิภาคเป็นกรณีพิเศษที่มีการศึกษามากที่สุด${\displaystyle n=2}$ของ${\displaystyle n}$ความสัมพันธ์แบบ -aryเหนือเซต${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ซึ่งเป็นเซตย่อยของผลคูณคาร์ทีเซียน${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$^{[ 2 ]}

เซตที่กำหนด${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$ผลคาร์ทีเซียน${\displaystyle X\times Y}$ถูกกำหนดให้เป็น${\displaystyle \{(x,y)\mid x\in X{\text{ และ }}y\in Y\},}$และองค์ประกอบของมันเรียกว่าคู่ลำดับ

ความสัมพันธ์ แบบไบนารี${\displaystyle R}$เกินจำนวนเซ็ต${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$เป็นส่วนย่อยของ${\displaystyle X\times Y.}$^{[ 2 ] [ 4 ]}ชุด${\displaystyle X}$เรียกว่าโดเมน^{[ 2 ]}หรือเซตของการเริ่มต้นของ${\displaystyle R}$และชุดนั้น${\displaystyle Y}$โดเมนร่วมหรือเซตของปลายทางของ${\displaystyle R}$เพื่อระบุตัวเลือกของเซต${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$นักเขียนบางคนนิยามความสัมพันธ์หรือการจับ คู่แบบทวิภาค ว่าเป็นสามสิ่งที่มีลำดับ${\displaystyle (X,Y,G)}$, ที่ไหน${\displaystyle G}$เป็นส่วนย่อยของ${\displaystyle X\times Y}$เรียกว่ากราฟของความสัมพันธ์ทวิภาค ข้อความดังกล่าว${\displaystyle (x,y)\in R}$อ่านว่า "${\displaystyle x}$เป็น${\displaystyle R}$-เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle y}$และแสดงด้วย${\displaystyle xRy}$[ ^{5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ a ]} ​​ขอบเขตของคำจำกัดความหรือขอบเขตที่ใช้งาน^{อยู่[ 2 ]}ของ${\displaystyle R}$คือเซตของทั้งหมด${\displaystyle x}$โดยที่${\displaystyle xRy}$อย่างน้อยหนึ่ง${\displaystyle y}$โคโดเมนของคำจำกัดความโคโดเมนที่ใช้งานอยู่^{[ 2 ]}รูปภาพหรือช่วงของ${\displaystyle R}$คือเซตของทั้งหมด${\displaystyle y}$โดยที่${\displaystyle xRy}$อย่างน้อยหนึ่ง${\displaystyle x}$สาขาของ​${\displaystyle R}$คือการรวมกันของโดเมนของคำจำกัดความและโคโดเมนของคำจำกัดความ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

เมื่อไร${\displaystyle X=Y,}$ความสัมพันธ์ทวิภาคเรียกว่าความสัมพันธ์เอกพันธุ์ (หรือความสัมพันธ์ภายใน ) เพื่อเน้นย้ำข้อเท็จจริงที่ว่า${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$อนุญาตให้แตกต่างกันได้ ความสัมพันธ์แบบไบนารียังเรียกว่าความสัมพันธ์แบบเฮเทอโรจีนัส^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}คำนำหน้าheteroมาจากภาษากรีก ἕτερος ( heteros , "อื่น, อีกอย่าง, แตกต่าง")

ความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเรียกว่าความสัมพันธ์แบบสี่เหลี่ยมผืนผ้า [ ^{14 ]}ซึ่งแสดงให้เห็นว่าไม่มีสมมาตรแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสเหมือน^ความสัมพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันบนเซตที่${\displaystyle A=B.}$นักวิจัยได้แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการพัฒนาความสัมพันธ์แบบไบนารีที่นอกเหนือจากความสัมพันธ์แบบเอกพันธุ์ โดยเขียนว่า "...  ทฤษฎีรูปแบบหนึ่งได้พัฒนาขึ้นมาโดยถือว่าความสัมพันธ์ตั้งแต่เริ่มต้นเป็นแบบต่างเอกพันธุ์หรือแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้ากล่าวคือเป็นความสัมพันธ์ที่กรณีปกติคือความสัมพันธ์ระหว่างเซตที่แตกต่างกัน" ^{[ 15 ]}

คำว่าcorrespondence [ ^{16 ] dyadic} relationและtwo-place relationเป็นคำพ้องความหมายของ binary relation แม้ว่าผู้เขียนบางคนจะใช้คำว่า "binary relation" สำหรับเซตย่อยใดๆ ของผลคูณคาร์ทีเซียน ก็ตาม${\displaystyle X\times Y}$โดยไม่อ้างอิงถึง${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$และสงวนคำว่า "การสอดคล้องกัน" ไว้สำหรับความสัมพันธ์ทวิภาคีโดยอ้างอิงถึง${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$.

ในความสัมพันธ์แบบไบนารี ลำดับขององค์ประกอบมีความสำคัญ ถ้า${\displaystyle x\neq y}$แล้ว${\displaystyle yRx}$อาจเป็นจริงหรือเท็จโดยไม่ขึ้นอยู่กับ${\displaystyle xRy}$. ตัวอย่างเช่น,${\displaystyle 3}$แบ่งแยก${\displaystyle 9}$, แต่${\displaystyle 9}$ไม่แบ่งแยก${\displaystyle 3}$.

ความสัมพันธ์ทวิภาคที่สำคัญบางประเภท${\displaystyle R}$เกินจำนวนเซ็ต${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$มีรายชื่อดังต่อไปนี้

คุณสมบัติเฉพาะตัว:

• การฉีด^{[ 23 ]} (เรียกอีกอย่างว่าเอกลักษณ์ซ้าย^{[ 24 ]} ): สำหรับทุก${\displaystyle x,y\in X}$และทั้งหมด${\displaystyle z\in Y,}$ถ้า${\displaystyle xRz}$และ${\displaystyle yRz}$แล้ว${\displaystyle x=y}$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ทุกองค์ประกอบของโคโดเมนจะมี องค์ประกอบ พรีอิมเมจอย่างมากที่สุดเพียงหนึ่งเดียวสำหรับความสัมพันธ์ดังกล่าว${\displaystyle Y}$เรียกว่าคีย์หลักของ${\displaystyle R}$[ ^{2 ] ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทวิภาคสีเขียวและสีน้ำเงินในแผนภาพเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ความ สัมพันธ์}สีแดงไม่ใช่ (เนื่องจากเชื่อมโยงทั้งสอง${\displaystyle -1}$และ${\displaystyle 1}$ถึง${\displaystyle 1}$) และสีดำ (เนื่องจากเกี่ยวข้องกับทั้งสองอย่าง)${\displaystyle -1}$และ${\displaystyle 1}$ถึง${\displaystyle 0}$)
• ฟังก์ชัน^{[ 23 ] [ 25 ] [ 26 ]} (เรียกอีกอย่างว่าเอกลักษณ์ทางขวา^{[ 24 ]}หรือเอกลักษณ์เดียว^{[ 27 ]} ): สำหรับทุก${\displaystyle x\in X}$และทั้งหมด${\displaystyle y,z\in Y,}$ถ้า${\displaystyle xRy}$และ${\displaystyle xRz}$แล้ว${\displaystyle y=z}$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ องค์ประกอบทุกตัวของโดเมนจะมี องค์ประกอบ รูปภาพได้มากที่สุดหนึ่งตัว ความสัมพันธ์แบบไบนารีดังกล่าวเรียกว่าฟังก์ชันบางส่วนหรือ การแม ปบางส่วน^{[ 28 ]}สำหรับความสัมพันธ์ดังกล่าว${\displaystyle \{X\}}$เรียกว่าคีย์หลักของ${\displaystyle R}$[ ^{2 ] ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์แบบไบนารีสีแดงและสี เขียว}ในแผนภาพเป็นฟังก์ชัน แต่สีน้ำเงินไม่ใช่ (เนื่องจากเกี่ยวข้องกับ${\displaystyle 1}$ทั้งสอง${\displaystyle 1}$และ${\displaystyle -1}$) และไม่ใช่สีดำ (ในส่วนที่เกี่ยวข้อง)${\displaystyle 0}$ทั้งสอง${\displaystyle -1}$และ${\displaystyle 1}$)
• ความสัมพันธ์ แบบหนึ่งต่อหนึ่ง : เป็นความสัมพันธ์แบบฉีด (injective) และแบบฟังก์ชัน (functional) ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทวิภาคสีเขียวในแผนภาพเป็นความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ความสัมพันธ์สีแดง สีน้ำเงิน และสีดำไม่ใช่
• หนึ่งต่อหลาย : ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) ไม่ใช่ฟังก์ชัน (functional) ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทวิภาคสีน้ำเงินในแผนภาพเป็นความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหลาย แต่ความสัมพันธ์สีแดง สีเขียว และสีดำไม่ใช่
• ความสัมพันธ์ แบบหลายต่อหนึ่ง (Many-to-one) : เป็นความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ไม่ใช่ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (Injective) ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทวิภาคสีแดงในแผนภาพเป็นความสัมพันธ์แบบหลายต่อหนึ่ง แต่ความสัมพันธ์สีเขียว สีฟ้า และสีดำไม่ใช่
• ความสัมพันธ์ แบบหลายต่อหลาย (Many-to-many) : ไม่ใช่ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) หรือแบบฟังก์ชัน (functional) ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทวิภาคสีดำในแผนภาพเป็นความสัมพันธ์แบบหลายต่อหลาย แต่ความสัมพันธ์สีแดง สีเขียว และสีน้ำเงินไม่ใช่

คุณสมบัติโดยรวม (สามารถกำหนดได้เฉพาะเมื่อโดเมน)${\displaystyle X}$และโคโดเมน${\displaystyle Y}$(ระบุไว้แล้ว):

• ผลรวม^{[ 23 ]} (เรียกอีกอย่างว่าผลรวมด้านซ้าย^{[ 24 ]} ): สำหรับทั้งหมด${\displaystyle x\in X}$มีอยู่${\displaystyle y\in Y}$โดยที่${\displaystyle xRy}$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ทุกองค์ประกอบของโดเมนมี องค์ประกอบรูปภาพ อย่างน้อยหนึ่งรายการ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ โดเมนของคำจำกัดความของ${\displaystyle R}$เท่ากับ${\displaystyle X}$คุณสมบัตินี้แตกต่างจากคำจำกัดความของการเชื่อมต่อ (หรือที่บางผู้เขียน เรียกว่า สมบูรณ์ ) ในหัวข้อคุณสมบัติ ความสัมพันธ์ทวิภาคดังกล่าวเรียกว่าฟังก์ชันหลายค่าตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทวิภาคสีแดงและสีเขียวในแผนภาพเป็นความสัมพันธ์สมบูรณ์ แต่ความสัมพันธ์สีน้ำเงินไม่ใช่ (เนื่องจากไม่มีความสัมพันธ์)${\displaystyle -1}$(เทียบกับจำนวนจริงใดๆ) และสีดำ (เพราะมันไม่เกี่ยวข้อง)${\displaystyle 2}$(สำหรับจำนวนจริงใดๆ) ตัวอย่างเช่นอีกตัวอย่างหนึ่ง${\displaystyle >}$เป็นความสัมพันธ์สมบูรณ์บนจำนวนเต็มแต่ไม่ใช่ความสัมพันธ์สมบูรณ์บนจำนวนเต็มบวก เพราะไม่มี${\displaystyle y}$ในจำนวนเต็มบวกที่${\displaystyle 1>y}$[ ^{29 ]}อย่างไรก็ตาม^​${\displaystyle <}$เป็นความสัมพันธ์สมบูรณ์เหนือจำนวนเต็มบวก จำนวนตรรกยะ และจำนวนจริง ความสัมพันธ์สะท้อนกลับทุกอย่างเป็นความสัมพันธ์สมบูรณ์: สำหรับค่าที่กำหนด${\displaystyle x}$, เลือก${\displaystyle y=x}$.
• ฟังก์ชันทั่วถึง^{[ 23 ]} (เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันรวมทางขวา^{[ 24 ]} ): สำหรับทุก${\displaystyle y\in Y}$มีอยู่จริง${\displaystyle x\in X}$โดยที่${\displaystyle xRy}$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ทุกองค์ประกอบของโคโดเมนมี องค์ประกอบพรีอิมเมจ อย่างน้อยหนึ่งตัว กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ โคโดเมนของนิยามของ${\displaystyle R}$เท่ากับ${\displaystyle Y}$ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทวิภาคสีเขียวและสีน้ำเงินในแผนภาพเป็นความสัมพันธ์แบบทั่วถึง แต่ความสัมพันธ์สีแดงไม่ใช่ (เนื่องจากไม่ได้เชื่อมโยงจำนวนจริงใดๆ กับ)${\displaystyle -1}$) และสีดำ (เนื่องจากไม่ได้เชื่อมโยงจำนวนจริงใดๆ กับ)${\displaystyle 2}$)

คุณสมบัติความเป็นเอกลักษณ์และความสมบูรณ์ (สามารถกำหนดได้เฉพาะเมื่อโดเมน)${\displaystyle X}$และโคโดเมน${\displaystyle Y}$(ระบุไว้แล้ว):

• ฟังก์ชัน(เรียกอีกอย่างว่าการแมป^{[ 24 ]} ): ความสัมพันธ์แบบไบนารีที่เป็นฟังก์ชันและสมบูรณ์ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ทุกองค์ประกอบของโดเมนมี องค์ประกอบภาพ เพียงหนึ่งเดียว ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์แบบไบนารีสีแดงและสีเขียวในแผนภาพเป็นฟังก์ชัน แต่ความสัมพันธ์แบบไบนารีสีน้ำเงินและสีดำไม่ใช่
  • ฟังก์ชันหนึ่ง ต่อหนึ่ง ( Injection function) คือฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สีเขียวในแผนภาพเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ความสัมพันธ์สีแดงไม่ใช่ และความสัมพันธ์สีดำและสีน้ำเงินนั้นไม่ใช่ฟังก์ชันด้วยซ้ำ
  • ฟังก์ชันทั่วถึง (Surjection) : ฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันส่งทั่วถึง ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สีเขียวในแผนภาพเป็นฟังก์ชันส่งทั่วถึง แต่ความสัมพันธ์สีแดงไม่ใช่
  • ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (Bijection) : ฟังก์ชันที่เป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและฟังก์ชันทั่วถึง กล่าวคือ ทุกองค์ประกอบในโดเมนจะมี องค์ประกอบภาพ เพียงหนึ่งเดียว และทุกองค์ประกอบในโคโดเมนจะมี องค์ประกอบต้นแบบ เพียงหนึ่งเดียว ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทวิภาคสีเขียวในแผนภาพเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง แต่ความสัมพันธ์สีแดงไม่ใช่

หากอนุญาตให้มีความสัมพันธ์ผ่านคลาสที่เหมาะสม:

• เซต (เรียกอีกอย่างว่าโลคัล ): สำหรับทุก${\displaystyle x\in X}$ชั้นเรียนของทั้งหมด${\displaystyle y\in Y}$โดยที่${\displaystyle yRx}$, เช่น${\displaystyle \{y\in Y,yRx\}}$เป็นเซต ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์${\displaystyle \in }$เป็นแบบเซต และความสัมพันธ์ทุกอย่างบนเซตสองเซตเป็นแบบเซต^{[ 30 ]}การเรียงลำดับปกติ < เหนือคลาสของจำนวนเชิงอันดับเป็นความสัมพันธ์แบบเซต ในขณะที่ผกผัน > ไม่ใช่

ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์บางอย่าง เช่น "เท่ากับ" "เซตย่อยของ" และ "เป็นสมาชิกของ" ไม่สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นความสัมพันธ์ทวิภาคตามที่นิยามไว้ข้างต้น เพราะโดเมนและโคโดเมนของความสัมพันธ์เหล่านั้นไม่สามารถถือว่าเป็นเซตในระบบทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ ทั่วไปได้ ตัวอย่างเช่น การจำลองแนวคิดทั่วไปของ "ความเท่าเทียม" ในฐานะความสัมพันธ์ทวิภาค${\displaystyle =}$โดยถือว่าโดเมนและโคโดเมนเป็น "กลุ่มของเซตทั้งหมด" ซึ่งไม่ใช่เซตในทฤษฎีเซตทั่วไป

ในบริบททางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ การอ้างถึงความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกัน การเป็นสมาชิก และเซตย่อยนั้นไม่เป็นอันตราย เพราะสามารถเข้าใจได้โดยปริยายว่าจำกัดอยู่เฉพาะเซตบางเซตในบริบทนั้น วิธีแก้ปัญหาโดยทั่วไปคือการเลือกเซตที่มีขนาด "ใหญ่พอ"${\displaystyle A}$ซึ่งประกอบด้วยวัตถุที่น่าสนใจทั้งหมด และทำงานภายใต้ข้อจำกัด${\displaystyle =_{A}}$แทนที่จะ${\displaystyle =}$ในทำนองเดียวกัน ความสัมพันธ์แบบ "เซตย่อยของ" ก็เช่นกัน${\displaystyle \subseteq }$จำเป็นต้องจำกัดให้มีโดเมนและโคโดเมน${\displaystyle P(A)}$(เซตกำลังของเซตเฉพาะ)${\displaystyle A}$): ความสัมพันธ์ของเซตที่ได้สามารถแสดงได้ด้วย${\displaystyle \subseteq _{A}.}$นอกจากนี้ ความสัมพันธ์ "สมาชิกของ" จำเป็นต้องจำกัดให้มีโดเมนเฉพาะ${\displaystyle A}$และโคโดเมน${\displaystyle P(A)}$เพื่อให้ได้ความสัมพันธ์แบบไบนารี${\displaystyle \in _{A}}$นั่นคือเซตเบอร์แทรนด์ รัสเซลล์ได้แสดงให้เห็นว่าโดยสมมติว่า${\displaystyle \in }$การที่เซตหนึ่งๆ สามารถนิยามได้ครอบคลุมทุกเซตนั้น นำไปสู่ความขัดแย้งในทฤษฎีเซตแบบพื้นฐานดังที่เห็นได้จากปรากฏการณ์ขัดแย้งของรัสเซลล์

อีกวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหานี้คือการใช้ทฤษฎีเซตที่มีคลาสที่เหมาะสม เช่น ทฤษฎีเซต NBGหรือทฤษฎีเซต Morse–Kelleyและอนุญาตให้โดเมนและโคโดเมน (และกราฟ) เป็นคลาสที่เหมาะสมในทฤษฎีดังกล่าว ความเท่าเทียมกัน การเป็นสมาชิก และเซตย่อยเป็นความสัมพันธ์ทวิภาคโดยไม่ต้องมีการอธิบายพิเศษ (จำเป็นต้องมีการปรับเปลี่ยนเล็กน้อยในแนวคิดของสามสิ่งเรียงลำดับ)${\displaystyle (X,Y,G)}$เนื่องจากโดยปกติแล้วคลาสที่เหมาะสมไม่สามารถเป็นสมาชิกของทูเพิลที่เรียงลำดับได้ หรือแน่นอนว่าเราสามารถระบุความสัมพันธ์แบบไบนารีกับกราฟในบริบทนี้ได้) ^{[ 31 ]}ด้วยคำจำกัดความนี้ ตัวอย่างเช่น เราสามารถกำหนดความสัมพันธ์แบบไบนารีเหนือเซตทุกเซตและเซตกำลังของมันได้

ความสัมพันธ์เอกพันธุ์เหนือเซต${\displaystyle X}$เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารีเหนือ${\displaystyle X}$และตัวมันเอง กล่าวคือ มันเป็นเซตย่อยของผลคูณคาร์ทีเซียน${\displaystyle X\times X.}$^{[ 14 ] [ 32 ] [ 33 ]}เรียกอีกอย่างว่าความสัมพันธ์ (ไบนารี) เหนือ${\displaystyle X}$.

ความสัมพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน${\displaystyle R}$เหนือชุดหนึ่ง${\displaystyle X}$อาจระบุได้ด้วยกราฟแบบง่ายที่มีทิศทางซึ่งอนุญาตให้มีวงวนโดยที่${\displaystyle X}$คือเซตของจุดยอดและ${\displaystyle R}$คือเซตของขอบ (มีขอบจากจุดยอด)${\displaystyle x}$ไปยังจุดยอด${\displaystyle y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle xRy}$เซตของความสัมพันธ์เอกพันธุ์ทั้งหมด${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$เหนือชุดหนึ่ง${\displaystyle X}$คือชุดพลังงาน${\displaystyle 2^{X\times X}}$ซึ่งเป็นพีชคณิตบูลีนที่เสริมด้วยการผกผันของการแมปความสัมพันธ์หนึ่งไปยังความสัมพันธ์ผกผัน ของมัน โดยพิจารณาการประกอบความสัมพันธ์เป็นการดำเนินการแบบไบนารีบน${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$มันก่อให้เกิด เซมิกรุป ที่มีการผกผัน

คุณสมบัติสำคัญบางประการของความสัมพันธ์แบบเอกพันธุ์${\displaystyle R}$เหนือชุดหนึ่ง${\displaystyle X}$อาจมีดังต่อไปนี้:

• สะท้อนกลับ : สำหรับทุกคน${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle xRx}$. ตัวอย่างเช่น,${\displaystyle \geq }$เป็นความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ แต่ > ไม่ใช่
• ไม่สะท้อนกลับ : สำหรับทุกคน${\displaystyle x\in X,}$ไม่${\displaystyle xRx}$. ตัวอย่างเช่น,${\displaystyle >}$เป็นความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อนกลับ แต่${\displaystyle \geq }$ไม่ใช่
• สมมาตร : สำหรับทุกคน${\displaystyle x,y\in X,}$ถ้า${\displaystyle xRy}$แล้ว${\displaystyle yRx}$ตัวอย่างเช่น "เป็นญาติทางสายเลือดของ" เป็นความสัมพันธ์แบบสมมาตร
• สมมาตรผกผัน : สำหรับทุก${\displaystyle x,y\in X,}$ถ้า${\displaystyle xRy}$และ${\displaystyle yRx}$แล้ว${\displaystyle x=y.}$ตัวอย่างเช่น,${\displaystyle \geq }$เป็นความสัมพันธ์แบบปฏิสมมาตร^{[ 34 ]}
• ไม่สมมาตร : สำหรับทุกคน${\displaystyle x,y\in X,}$ถ้า${\displaystyle xRy}$แล้วก็ไม่ใช่${\displaystyle yRx}$ความสัมพันธ์จะเป็นอสมมาตรก็ต่อเมื่อเป็นทั้งปฏิสมมาตรและไม่สะท้อนกลับ^{[ 35 ]}ตัวอย่างเช่น > เป็นความสัมพันธ์อสมมาตร แต่${\displaystyle \geq }$ไม่ใช่
• กริยาที่ต้องการกรรม : สำหรับทั้งหมด${\displaystyle x,y,z\in X,}$ถ้า${\displaystyle xRy}$และ${\displaystyle yRz}$แล้ว${\displaystyle xRz}$ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดจะเป็นความสัมพันธ์แบบไม่สะท้อนกลับก็ต่อเมื่อเป็นความสัมพันธ์แบบไม่สมมาตร^{[ 36 ]}ตัวอย่างเช่น "เป็นบรรพบุรุษของ" เป็นความสัมพันธ์แบบถ่ายทอด ในขณะที่ "เป็นพ่อแม่ของ" ไม่ใช่
• เชื่อมต่อ : สำหรับทุกคน${\displaystyle x,y\in X,}$ถ้า${\displaystyle x\neq y}$แล้ว${\displaystyle xRy}$หรือ${\displaystyle yRx}$.
• เชื่อมโยงอย่างแน่นแฟ้น : สำหรับทุกคน${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle xRy}$หรือ${\displaystyle yRx}$.
• หนาแน่น : สำหรับทุกคน${\displaystyle x,y\in X,}$ถ้า${\displaystyle xRy,}$แล้วก็บางส่วน${\displaystyle z\in X}$มีอยู่เช่นนั้น${\displaystyle xRz}$และ${\displaystyle zRy}$.

ลำดับบางส่วนเป็นความสัมพันธ์ที่สะท้อนกลับ สมมาตรแบบผกผัน และถ่ายทอดได้ลำดับบางส่วนที่เข้มงวดเป็นความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อนกลับ ไม่สมมาตร และถ่ายทอดได้ลำดับทั้งหมดเป็นความสัมพันธ์ที่สะท้อนกลับ สมมาตรแบบผกผัน ถ่ายทอดได้ และเชื่อมโยงกัน^{[ 37 ]}ลำดับทั้งหมดที่เข้มงวดเป็นความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อนกลับ ไม่สมมาตร ถ่ายทอดได้ และเชื่อมโยงกันความสัมพันธ์สมมูลเป็นความสัมพันธ์ที่สะท้อนกลับ สมมาตร และถ่ายทอดได้ ตัวอย่างเช่น "${\displaystyle x}$แบ่งแยก${\displaystyle y}$" เป็นลำดับบางส่วน แต่ไม่ใช่ลำดับทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$"${\displaystyle x<y}$"เป็นคำสั่งที่เข้มงวดโดยสิ้นเชิงเกี่ยวกับ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$และ "${\displaystyle x}$ขนานกับ${\displaystyle y}$" คือความสัมพันธ์สมมูลบนเซตของเส้นตรงทั้งหมดในระนาบยุคลิด

การดำเนินการทั้งหมดที่กำหนดไว้ในส่วน§  การดำเนินการยังใช้ได้กับความสัมพันธ์เอกพันธุ์ด้วย นอกจากนั้น ความสัมพันธ์เอกพันธุ์เหนือเซต${\displaystyle X}$อาจต้องดำเนินการปิดกิจการ เช่น:

การปิดแบบสะท้อนกลับ

ความสัมพันธ์สะท้อนที่เล็กที่สุดเหนือ${\displaystyle X}$ประกอบด้วย${\displaystyle R}$,

การปิดแบบส่งผ่าน

ความสัมพันธ์การถ่ายทอดที่เล็กที่สุดเหนือ${\displaystyle X}$ประกอบด้วย${\displaystyle R}$,

การปิดสมดุล

ความสัมพันธ์สมมูลที่เล็กที่สุดเหนือ${\displaystyle X}$ประกอบด้วย${\displaystyle R}$.

ความก้าวหน้าในตรรกศาสตร์เชิงพีชคณิตได้อำนวยความสะดวกในการใช้ความสัมพันธ์ทวิภาค แคลคูลัสของความสัมพันธ์รวมถึงพีชคณิตของเซตซึ่งขยายโดยการประกอบความสัมพันธ์และการใช้ความสัมพันธ์ผกผันการรวมเข้าด้วยกัน${\displaystyle R\subseteq S,}$หมายความว่า${\displaystyle aRb}$หมายความว่า${\displaystyle aSb}$เป็นการวางฉากใน โครงสร้างความสัมพันธ์ที่ ซับซ้อนแต่เนื่องจาก${\displaystyle P\subseteq Q\equiv (P\cap {\bar {Q}}=\varnothing )\equiv (P\cap Q=P),}$สัญลักษณ์การรวมนั้นไม่จำเป็น อย่างไรก็ตาม การประกอบความสัมพันธ์และการจัดการตัวดำเนินการตามกฎของชโรเดอร์ทำให้เกิดแคลคูลัสที่สามารถทำงานในเซตกำลังได้${\displaystyle A\times B.}$

ตรงกันข้ามกับความสัมพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันการประกอบความสัมพันธ์ของการดำเนินการเป็นเพียงฟังก์ชันบางส่วน เท่านั้น ความจำเป็นในการจับคู่เป้าหมายกับแหล่งที่มาของความสัมพันธ์ที่ประกอบขึ้นได้นำไปสู่ข้อเสนอแนะว่าการศึกษาความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเป็นบทหนึ่งของทฤษฎีหมวดหมู่เช่นเดียวกับในหมวดหมู่ของเซตยกเว้นว่ามอร์ฟิซึมของหมวดหมู่นี้คือความสัมพันธ์วัตถุของหมวดหมู่Relคือเซต และมอร์ฟิซึมความสัมพันธ์จะประกอบกันตามที่ต้องการในหมวดหมู่^{[ 38 ]}

ความสัมพันธ์แบบทวิภาคได้รับการอธิบายผ่านโครงข่ายแนวคิด ที่เหนี่ยวนำ : แนวคิด${\displaystyle C\subset R}$มีคุณสมบัติสองประการดังนี้:

• เมทริกซ์เชิงตรรกะของ${\displaystyle C}$คือผลคูณภายนอกของเวกเตอร์ตรรกะ${\displaystyle C_{ij}=u_{i}v_{j},\quad u,v}$เวกเตอร์เชิงตรรกะ
• ${\displaystyle C}$มีค่าสูงสุด และไม่มีอยู่ในผลิตภัณฑ์ภายนอกอื่นใด ดังนั้น${\displaystyle C}$ถูกอธิบายว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ไม่สามารถขยายได้

สำหรับความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้${\displaystyle R\subseteq X\times Y,}$ชุดของแนวคิดที่ขยายใหญ่ขึ้นด้วยการเชื่อมต่อและการบรรจบกัน ก่อให้เกิด "โครงข่ายแนวคิดแบบเหนี่ยวนำ" โดยมีการรวมเข้าด้วยกัน${\displaystyle \sqsubseteq }$ทำการสั่งซื้อล่วงหน้า

ทฤษฎีบทการเติมเต็มของ MacNeille (1937) (ที่ว่าลำดับบางส่วนใดๆ ก็สามารถฝังอยู่ในแลตทิซที่สมบูรณ์ได้ ) ได้รับการอ้างถึงในบทความสำรวจปี 2013 เรื่อง "การแยกส่วนของความสัมพันธ์บนแลตทิซแนวคิด" ^{[ 39 ]}การแยกส่วนคือ

${\displaystyle R=fEg^{\textsf {T}}}$, ที่ไหน${\displaystyle f}$และ${\displaystyle g}$ฟังก์ชันเหล่านี้เรียกว่าการแมปปิ้งหรือความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันแบบซ้ายทั้งหมด ในบริบทนี้ "แลตทิซแนวคิดที่เหนี่ยวนำ" นั้นมีโครงสร้างสมมาตรกับการเติมเต็มแบบตัดของลำดับบางส่วน${\displaystyle E}$ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการแยกส่วนขั้นต่ำ${\displaystyle (f,g,E)}$ของความสัมพันธ์${\displaystyle R}$"

กรณีเฉพาะต่างๆ จะได้รับการพิจารณาในรายละเอียดด้านล่าง:${\displaystyle E}$คำสั่งซื้อทั้งหมดสอดคล้องกับประเภทของเฟอร์เรอร์ และ${\displaystyle E}$เอกลักษณ์สอดคล้องกับฟังก์ชันคู่ ซึ่งเป็นการขยายความของความสัมพันธ์สมมูลบนเซต

ความสัมพันธ์อาจถูกจัดอันดับโดยอันดับ Scheinซึ่งนับจำนวนแนวคิดที่จำเป็นในการครอบคลุมความสัมพันธ์^{[ 40 ]}การวิเคราะห์โครงสร้างของความสัมพันธ์กับแนวคิดเป็นแนวทางสำหรับ การ ทำเหมืองข้อมูล^{[ 41 ]}

• ข้อเสนอ : ถ้า${\displaystyle R}$เป็นความสัมพันธ์แบบทั่วถึงและ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}}$คือเมทริกซ์สลับตำแหน่งนั่นเอง${\displaystyle I\subseteq R^{\textsf {T}}R}$ที่ไหน${\displaystyle I}$คือ${\displaystyle m\times m}$ความสัมพันธ์เชิงอัตลักษณ์
• ข้อเสนอ : ถ้า${\displaystyle R}$เป็นความสัมพันธ์แบบอนุกรมดังนั้น${\displaystyle I\subseteq RR^{\textsf {T}}}$ที่ไหน${\displaystyle I}$คือ${\displaystyle n\times n}$ความสัมพันธ์เชิงอัตลักษณ์

ทุกความสัมพันธ์${\displaystyle R}$สร้างคำสั่งซื้อล่วงหน้า${\displaystyle R\backslash R}$ซึ่งเป็นส่วนที่เหลือทางซ้าย [ ^{53 ] ใน}แง่ของส่วนกลับและส่วนเติมเต็ม${\displaystyle R\backslash R\equiv {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}.}$สร้างแนวทแยงของ${\displaystyle R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}$แถวที่สอดคล้องกันของ${\displaystyle R^{\textsf {T}}}$และคอลัมน์ของ${\displaystyle {\bar {R}}}$ค่าตรรกะจะเป็นค่าตรงข้ามกัน ดังนั้นแนวทแยงมุมจึงเป็นศูนย์ทั้งหมด จากนั้น

${\displaystyle R^{\textsf {T}}{\bar {R}}\subseteq {\bar {I}}\implies I\subseteq {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}=R\backslash R}$ดังนั้น${\displaystyle R\backslash R}$เป็นความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ

ในการแสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติการถ่ายทอดจำเป็นต้องมีเงื่อนไขว่า${\displaystyle (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R.}$โปรดจำไว้ว่า${\displaystyle X=R\backslash R}$เป็นความสัมพันธ์ที่ใหญ่ที่สุดเช่นนั้น${\displaystyle RX\subseteq R.}$แล้ว

${\displaystyle R(R\backslash R)\subseteq R}$

${\displaystyle R(R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R}$(ทำซ้ำ)

${\displaystyle \equiv R^{\textsf {T}}{\bar {R}}\subseteq {\overline {(R\backslash R)(R\backslash R)}}}$(กฎของชโรเดอร์)

${\displaystyle \equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}}$(การเติมเต็ม)

${\displaystyle \equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R.}$(คำนิยาม)

ความสัมพันธ์การรวมΩบนเซตกำลังของ${\displaystyle U}$สามารถหาได้ด้วยวิธีนี้จากความสัมพันธ์การเป็นสมาชิก${\displaystyle \in }$บนเซตย่อยของ${\displaystyle U}$:

${\displaystyle \Omega ={\overline {\ni {\bar {\in }}}}=\in \backslash \in .}$^{[ 52 ] : 283}

เมื่อกำหนดความสัมพันธ์แล้ว${\displaystyle R}$โดย ขอบเขตของมันคือความสัมพันธ์ย่อยที่กำหนดไว้ดังนี้ $${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)=R\cap {\overline {R{\bar {R}}^{\textsf {T}}R}}.}$$

เมื่อไร${\displaystyle R}$ถ้าเป็นความสัมพันธ์เอกลักษณ์บางส่วน ความสัมพันธ์แบบสองฟังก์ชัน หรือความสัมพันธ์แบบบล็อกแนวทแยงมุมแล้ว${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)=R}$มิฉะนั้น${\displaystyle \operatorname {fringe} }$ตัวดำเนินการจะเลือกความสัมพันธ์ย่อยของขอบเขตที่อธิบายไว้ในรูปของเมทริกซ์เชิงตรรกะ:${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)}$เส้นทแยงมุมด้านข้างคือ ถ้า${\displaystyle R}$เป็น ลำดับเชิงเส้นสามเหลี่ยมบนขวาหรือ ลำดับ ที่เข้มงวด${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)}$ขอบบล็อกคือถ้า${\displaystyle R}$เป็นแบบไม่สะท้อนกลับ (${\displaystyle R\subseteq {\bar {I}}}$หรือบล็อกรูปสามเหลี่ยมด้านบนขวา${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)}$เป็นลำดับของสี่เหลี่ยมผืนผ้าขอบเขตเมื่อ${\displaystyle R}$เป็นประเภทเฟอร์เรอร์ส