ในวิทยาศาสตร์กายภาพกฎกำลังสองผกผันคือกฎทางวิทยาศาสตร์ ใดๆ ที่ระบุว่า "ความเข้ม" ที่สังเกตได้ของปริมาณทางกายภาพ ที่กำหนด (ซึ่งก็คือค่าของปริมาณทางกายภาพนั้นเอง) จะแปรผกผันกับกำลังสองของระยะห่างจากแหล่งกำเนิดของปริมาณทางกายภาพนั้น สาเหตุพื้นฐานของเรื่องนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการเจือจางทางเรขาคณิตที่สอดคล้องกับการแผ่รังสีจากแหล่งกำเนิดจุดไปยังพื้นที่สามมิติ

พลังงาน เรดาร์จะเพิ่มขึ้นทั้งในระหว่างการส่งสัญญาณและการสะท้อนกลับ ดังนั้นค่าผกผันกำลังสองสำหรับทั้งสองเส้นทางหมายความว่าเรดาร์จะได้รับพลังงานตามกำลังผกผันกำลังสี่ของระยะทาง

เพื่อป้องกันการสูญเสียพลังงานขณะส่งสัญญาณ สามารถใช้วิธีการต่างๆ ได้ เช่นท่อนำคลื่นซึ่งทำหน้าที่เหมือนคลองสำหรับน้ำ หรือวิธีการที่ลำกล้องปืนจำกัดการขยายตัวของก๊าซร้อนให้อยู่ในมิติ เดียว เพื่อป้องกันการสูญเสียพลังงานที่ถ่ายโอนไปยัง กระสุน

ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ กฎกำลังสองผกผันสามารถแสดงได้เป็นความเข้ม (I) ที่แปรผันตามระยะทาง (d) จากจุดศูนย์กลางบางจุด ความเข้มจะเป็นสัดส่วน (ดู∝ ) กับส่วนกลับของกำลังสองของระยะทาง ดังนี้: $${\displaystyle {\text{ความเข้มข้น}}\ \propto \ {\frac {1}{{\text{ระยะทาง}}^{2}}}\,}$$

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงออกมาในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้: $${\displaystyle {\frac {{\text{intensity}}_{1}}{{\text{intensity}}_{2}}}={\frac {{\text{distance}}_{2}^{2}}{{\text{distance}}_{1}^{2}}}}$$

หรือเป็นการกำหนดปริมาณของค่าคงที่: $${\displaystyle {\text{intensity}}_{1}\times {\text{distance}}_{1}^{2}={\text{intensity}}_{2}\times {\text{distance}}_{2}^{2}}$$

การล divergenceของสนามเวกเตอร์ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของสนามตามกฎกำลังสองผกผันแบบรัศมีเมื่อเทียบกับแหล่งกำเนิดหนึ่งแหล่งหรือมากกว่านั้น จะเป็นสัดส่วนกับความแรงของแหล่งกำเนิดในบริเวณนั้น และดังนั้นจะเป็นศูนย์เมื่อเทียบกับแหล่งกำเนิดภายนอกกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตันเป็นไปตามกฎกำลังสองผกผัน เช่นเดียวกับผลกระทบของปรากฏการณ์ ทางไฟฟ้าแสงเสียงและการแผ่รังสี

กฎกำลังสองผกผันโดยทั่วไปใช้ได้เมื่อแรง พลังงาน หรือปริมาณอนุรักษ์อื่นๆแผ่กระจายออกไปอย่างสม่ำเสมอจากแหล่งกำเนิดจุดในปริภูมิสามมิติเนื่องจากพื้นที่ผิวของทรงกลม (ซึ่งคือ4πr² ) เป็นสัดส่วนกับกำลัง ^สองของรัศมี ดังนั้นเมื่อรังสีที่ปล่อยออกมาอยู่ห่างจากแหล่งกำเนิดมากขึ้น มันจะกระจายออกไปบนพื้นที่ที่เพิ่มขึ้นเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของระยะห่างจากแหล่งกำเนิด ดังนั้น ความเข้มของรังสีที่ผ่านพื้นที่หนึ่งหน่วยใดๆ (ที่หันหน้าเข้าหาแหล่งกำเนิดจุดโดยตรง) จึงเป็นสัดส่วนผกผันกับกำลังสองของระยะห่างจากแหล่งกำเนิดกฎของเกาส์สำหรับแรงโน้มถ่วงก็ใช้ได้ในทำนองเดียวกัน และสามารถใช้กับปริมาณทางกายภาพใดๆ ที่เป็นไปตามความสัมพันธ์กำลังสองผกผันได้

แรงโน้มถ่วงคือแรงดึงดูดระหว่างวัตถุที่มีมวล กฎของนิวตันกล่าวว่า:

แรงดึงดูดระหว่างมวลจุดสองจุดเป็นสัดส่วนโดยตรงกับผลคูณของมวลของทั้งสองจุด และเป็นสัดส่วนผกผันกับกำลังสองของระยะห่างระหว่างทั้งสองจุด แรงนี้เป็นแรงดึงดูดเสมอและกระทำตามแนวเส้นที่เชื่อมระหว่างทั้งสองจุด^{[ 1 ]}

$${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$$

ถ้าการกระจายตัวของสสารในแต่ละวัตถุมีความสมมาตรทรงกลม เราสามารถพิจารณาวัตถุเหล่านั้นเป็นมวลจุดได้โดยไม่ต้องประมาณค่า ดังแสดงในทฤษฎีเปลือกทรงกลมมิฉะนั้น ถ้าเราต้องการคำนวณแรงดึงดูดระหว่างวัตถุที่มีมวล เราจะต้องบวกแรงดึงดูดระหว่างจุดทั้งหมดในรูปแบบเวกเตอร์ และแรงดึงดูดสุทธิอาจไม่ใช่ค่าผกผันกำลังสองที่แน่นอน อย่างไรก็ตาม ถ้าช่องว่างระหว่างวัตถุที่มีมวลนั้นกว้างมากเมื่อเทียบกับขนาดของวัตถุแล้ว การประมาณค่าที่ดีโดยพิจารณามวลเหล่านั้นเป็นมวลจุดที่อยู่ ณจุดศูนย์กลางมวล ของวัตถุ ขณะคำนวณแรงโน้มถ่วงนั้น สมเหตุสมผล

กฎแรงโน้มถ่วงนี้ ได้รับการเสนอโดย อิสมาเอล บุลลิอัลดัสในปี ค.ศ. 1645 แต่บุลลิอัลดัสไม่ยอมรับกฎข้อที่สองและข้อที่สามของเคปเลอร์และเขาก็ไม่เห็นด้วยกับ วิธีแก้ปัญหาการเคลื่อนที่แบบวงกลมของ คริสเตียน ฮุยเกนส์ (การเคลื่อนที่ในเส้นตรงที่ถูกดึงออกไปโดยแรงสู่ศูนย์กลาง) อันที่จริง บุลลิอัลดัสยืนยันว่าแรงของดวงอาทิตย์เป็นแรงดึงดูดที่จุดไกลดวงอาทิตย์ที่สุดและเป็นแรงผลักที่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดโรเบิร์ต ฮุกและโจวันนี อัลฟอนโซ โบเรลลีต่างก็อธิบายแรงโน้มถ่วงในปี ค.ศ. 1666 ว่าเป็นแรงดึงดูด^{[ 2 ]}การบรรยายของฮุกเรื่อง "เกี่ยวกับแรงโน้มถ่วง" จัดขึ้นที่ราชสมาคมในลอนดอน เมื่อวันที่ 21 มีนาคม^{[ 3 ]} "ทฤษฎีของดาวเคราะห์" ของโบเรลลีได้รับการตีพิมพ์ในภายหลังในปี 1666 ^{[ 4 ]} การบรรยายเกรแชมของฮุกในปี 1670 อธิบายว่าแรงโน้มถ่วงใช้ได้กับ "วัตถุท้องฟ้าทั้งหมด" และเพิ่มเติมหลักการที่ว่าพลังงานดึงดูดจะลดลงตามระยะทาง และในกรณีที่ไม่มีพลังงานดังกล่าว วัตถุจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ในปี 1679 ฮุกคิดว่าแรงโน้มถ่วงมีความแปรผันแบบผกผันกำลังสอง และสื่อสารเรื่องนี้ในจดหมายถึงไอแซค นิวตัน : ^{[ 5 ]} สมมติฐานของฉันคือแรงดึงดูดจะเป็นสัดส่วนสองเท่ากับระยะทางจากจุดศูนย์กลางแบบ ผกผันเสมอ^{[ 6 ]}

ฮุกยังคงขมขื่นที่นิวตันอ้างว่าเป็นผู้คิดค้นหลักการนี้ แม้ว่าPrincipia ของนิวตันในปี 1686 จะยอมรับว่าฮุกพร้อมกับเรนและฮัลลีย์ได้ชื่นชมกฎกำลังสองผกผันในระบบสุริยะแยกกัน[ 7 ^{]และยัง}ให้เครดิตแก่บูลลิอัลดัสด้วย^{[ 8 ]}

แรงดึงดูดหรือแรงผลักระหว่างอนุภาคที่มีประจุไฟฟ้าสองอนุภาค นอกจากจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับผลคูณของประจุไฟฟ้าแล้ว ยังเป็นสัดส่วนผกผันกับกำลังสองของระยะห่างระหว่างอนุภาคทั้งสองด้วย ซึ่งเรียกว่ากฎของคูลอมบ์การเบี่ยงเบนของเลขชี้กำลังจาก 2 มีค่าน้อยกว่าหนึ่งส่วนใน10 ^{15 [ 9 ]}

$${\displaystyle F=k_{\text{e}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$$

ความเข้ม (หรือความสว่างหรือความแผ่รังสี ) ของแสงหรือคลื่นเชิงเส้นอื่นๆ ที่แผ่รังสีจากแหล่งกำเนิดจุด (พลังงานต่อหน่วยพื้นที่ตั้งฉากกับแหล่งกำเนิด) จะแปรผกผันกับกำลังสองของระยะห่างจากแหล่งกำเนิด ดังนั้นวัตถุ (ที่มีขนาดเท่ากัน) ที่อยู่ห่างออกไปเป็นสองเท่าจะได้รับพลังงาน เพียงหนึ่งในสี่ (ในช่วงเวลาเดียวกัน)

โดยทั่วไปแล้วความเข้มของการแผ่รังสี (หรือกำลังต่อหน่วยพื้นที่ในทิศทางการแพร่กระจาย ) ของหน้าคลื่นทรงกลม จะแปรผกผันกับกำลังสองของระยะห่างจากแหล่งกำเนิด (โดยสมมติว่าไม่มีการสูญเสียที่เกิดจากการดูดซับหรือการกระเจิง )

ตัวอย่างเช่น ความเข้มของรังสีจากดวงอาทิตย์อยู่ที่ 9126 วัตต์ต่อตารางเมตรที่ระยะห่างจากดาวพุธ (0.387 หน่วยดาราศาสตร์ ) แต่ลดลงเหลือเพียง 1367 วัตต์ต่อตารางเมตรที่ระยะห่างจากโลก (1 หน่วยดาราศาสตร์) กล่าวคือ การเพิ่มระยะทางประมาณสามเท่าส่งผลให้ความเข้มของรังสีลดลงประมาณเก้าเท่า

สำหรับตัวส่งสัญญาณที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเช่นเสาอากาศพาราโบลาไฟหน้า และเลเซอร์จุดกำเนิดที่มีประสิทธิภาพจะอยู่ไกลจากช่องรับลำแสงมาก หากคุณอยู่ใกล้จุดกำเนิด คุณไม่จำเป็นต้องเดินทางไกลเพื่อเพิ่มรัศมีเป็นสองเท่า ดังนั้นสัญญาณจะลดลงอย่างรวดเร็ว เมื่อคุณอยู่ไกลจากจุดกำเนิดและยังคงมีสัญญาณแรง เช่นเดียวกับเลเซอร์ คุณต้องเดินทางไกลมากเพื่อเพิ่มรัศมีเป็นสองเท่าและลดสัญญาณลง ซึ่งหมายความว่าคุณมีสัญญาณที่แรงกว่าหรือมีอัตราขยายของเสาอากาศในทิศทางของลำแสงแคบเมื่อเทียบกับลำแสงกว้างในทุกทิศทางของเสาอากาศที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ในการถ่ายภาพและการจัดแสงบนเวทีกฎกำลังสองผกผันใช้เพื่อกำหนด “การลดลง” หรือความแตกต่างของความสว่างบนวัตถุเมื่อวัตถุเคลื่อนที่เข้าใกล้หรือห่างจากแหล่งกำเนิดแสง สำหรับการประมาณอย่างรวดเร็ว เพียงแค่จำไว้ว่าการเพิ่มระยะทางเป็นสองเท่าจะลดความสว่างลงเหลือหนึ่งในสี่^{[ 10 ]}หรือในทำนองเดียวกัน หากต้องการลดความสว่างลงครึ่งหนึ่ง ให้เพิ่มระยะทางเป็น 1.4 เท่า ( รากที่สองของ 2 ) และหากต้องการเพิ่มความสว่างเป็นสองเท่า ให้ลดระยะทางลงเหลือ 0.7 เท่า (รากที่สองของ 1/2) เมื่อแหล่งกำเนิดแสงไม่ใช่จุด กฎกำลังสองผกผันมักจะยังคงเป็นการประมาณที่มีประโยชน์ เมื่อขนาดของแหล่งกำเนิดแสงน้อยกว่าหนึ่งในห้าของระยะทางไปยังวัตถุ ข้อผิดพลาดในการคำนวณจะน้อยกว่า 1% ^{[ 11 ]}

การลดลงของฟลักซ์ แม่เหล็กไฟฟ้า (Φ) สำหรับรังสีไอออนไนซ์ทางอ้อมเมื่อระยะห่างจากแหล่งกำเนิดจุดเพิ่มขึ้น สามารถคำนวณได้โดยใช้กฎกำลังสองผกผัน เนื่องจากรังสีจากแหล่งกำเนิดจุดมีทิศทางรัศมี จึงตัดกันที่มุมตกกระทบตั้งฉาก พื้นที่ของเปลือกดังกล่าวคือ 4πr² โดย ที่^rคือระยะทางรัศมีจากจุดศูนย์กลาง กฎนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในการถ่ายภาพรังสีวินิจฉัยและการวางแผน การรักษา ด้วยรังสีแม้ว่าสัดส่วนนี้จะไม่เป็นจริงในสถานการณ์จริง เว้นแต่ขนาดของแหล่งกำเนิดจะเล็กกว่าระยะทางมาก ดังที่ระบุไว้ในทฤษฎีความร้อนของฟูริเยร์ว่า “เมื่อแหล่งกำเนิดจุดขยายใหญ่ขึ้นตามระยะทาง รังสีของมันจะเจือจางลงตามสัดส่วนของไซน์ของมุมของส่วนโค้งเส้นรอบวงที่เพิ่มขึ้นจากจุดกำเนิด”

ให้P   เป็นกำลังทั้งหมดที่แผ่รังสีออกมาจากแหล่งกำเนิดจุด (ตัวอย่างเช่นตัวแผ่รังสีแบบไอโซโทรปิก ที่แผ่รังสีไป ทุกทิศทาง) ที่ระยะห่างจากแหล่งกำเนิดมาก ๆ (เมื่อเทียบกับขนาดของแหล่งกำเนิด) กำลังนี้จะกระจายไปบนพื้นผิวทรงกลมที่ใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อระยะห่างจากแหล่งกำเนิดเพิ่มขึ้น เนื่องจากพื้นที่ผิวของทรงกลมที่มีรัศมีrคือA  = 4 πr²  ^{ดังนั้น}ความเข้มI (กำลังต่อหน่วยพื้นที่) ของรังสีที่ระยะrคือ $${\displaystyle I={\frac {P}{A}}={\frac {P}{4\pi r^{2}}}.\,}$$

พลังงานหรือความเข้มจะลดลง (หารด้วย 4) เมื่อระยะทางrเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า หากวัดเป็นเดซิเบลจะลดลง 6.02 เดซิเบลต่อระยะทางที่เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า เมื่อกล่าวถึงการวัดปริมาณพลังงาน อัตราส่วนสามารถแสดงเป็นระดับในหน่วยเดซิเบลได้โดยการประเมินค่าลอการิทึมฐาน 10 ของอัตราส่วนของปริมาณที่วัดได้ต่อค่าอ้างอิง 10 เท่า

ในทางอะคูสติกความดันเสียงของหน้าคลื่นทรงกลม ที่แผ่ออกมาจากแหล่งกำเนิดจุดจะลดลง 50% เมื่อระยะทางrเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า เมื่อวัดเป็นเดซิเบลการลดลงยังคงอยู่ที่ 6.02 เดซิเบล เนื่องจากเดซิเบลแสดงถึงอัตราส่วนความเข้ม อัตราส่วนความดัน (ตรงข้ามกับอัตราส่วนกำลัง) ไม่ใช่สัดส่วนผกผันกำลังสอง แต่เป็นสัดส่วนผกผัน (กฎระยะทางผกผัน)

$${\displaystyle p\ \propto \ {\frac {1}{r}}\,}$$

หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับองค์ประกอบของความเร็วอนุภาค ที่อยู่ในเฟสเดียวกับความดันเสียง ณ ขณะนั้นด้วยเช่น กัน : ${\displaystyle v\,}$${\displaystyle p\,}$

$${\displaystyle v\ \propto {\frac {1}{r}}\ \,}$$

ในบริเวณใกล้เคียงนั้นมีส่วนประกอบเชิงควอดราเจอร์ของความเร็วอนุภาคซึ่งมีเฟสต่างจากความดันเสียง 90° และไม่ส่งผลต่อพลังงานเฉลี่ยตามเวลาหรือความเข้มของเสียงความเข้มของเสียงเป็นผลคูณของ ความดันเสียง RMSและ ส่วนประกอบ เฟสเดียวกันของความเร็วอนุภาค RMS ซึ่งทั้งสองอย่างแปรผกผันกัน ดังนั้น ความเข้มจึงมีพฤติกรรมแบบผกผันกำลังสอง:

$${\displaystyle I\ =\ pv\ \propto \ {\frac {1}{r^{2}}}.\,}$$

สำหรับสนามเวกเตอร์ไร้การหมุนในปริภูมิสามมิติ กฎกำลังสองผกผันสอดคล้องกับคุณสมบัติที่ว่าไดเวอร์เจนซ์เป็นศูนย์นอกแหล่งกำเนิด ซึ่งสามารถขยายไปสู่มิติที่สูงกว่าได้ โดยทั่วไป สำหรับสนามเวกเตอร์ไร้การหมุนใน ปริภูมิ ยูคลิดnมิติความเข้ม "I" ของสนามเวกเตอร์จะลดลงตามระยะทาง "r" ตามกฎกำลัง ^{ผกผัน (} n  − 1)

$${\displaystyle I\propto {\frac {1}{r^{n-1}}},}$$

เนื่องจากบริเวณภายนอกแหล่งกำเนิดไม่มีการล divergence

กฎกำลังสองผกผัน ซึ่งเป็นพื้นฐานใน ปริภูมิ ยุคลิดยังใช้ได้กับเรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิดรวมถึงปริภูมิไฮเปอร์โบลิกความโค้งที่มีอยู่ในปริภูมิเหล่านี้เปลี่ยนแปลงกฎทางฟิสิกส์ ส่งผลต่อสาขาต่างๆ เช่นจักรวาลวิทยาทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและทฤษฎีสตริง^{[ 12 ]}

ในบทความปี 2020 ของ John D. Barrowเรื่อง "Non-Euclidean Newtonian Cosmology" เขาได้ขยายความเกี่ยวกับพฤติกรรมของแรง (F) และศักย์ (Φ) ภายในปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 3 มิติ (H3) โดยเขาอธิบายว่า F และ Φ เป็นไปตามความสัมพันธ์ F ∝ 1 / R² sinh²(r/R) และ Φ ∝ coth(r/R) โดยที่ R แทนรัศมีของความโค้ง และ r แทนระยะห่างจากจุดโฟกัส

แนวคิดเรื่องมิติเชิงพื้นที่ ซึ่งเสนอโดยอิมมานูเอล คานต์ ยังคงเป็นหัวข้อถกเถียงเกี่ยวกับกฎกำลังสองผกผัน^{[ 13 ]}ดิมิทรีอา อิเล็กตรา กัตเซีย และเร็กซ์ ดี. แรมเซียร์ ในบทความปี 2021 ของพวกเขา โต้แย้งว่ากฎกำลังสองผกผันมีความเกี่ยวข้องกับสมมาตรของการกระจายแรงมากกว่ามิติของพื้นที่

ในบริบทของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดและทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป การเบี่ยงเบนจากกฎกำลังสองผกผันไม่ได้เกิดขึ้นจากตัวกฎเอง แต่เกิดจากสมมติฐานที่ว่าแรงระหว่างวัตถุสองชิ้นเกิดขึ้นทันที ซึ่งขัดแย้งกับ ทฤษฎีสัม พัทธภาพพิเศษทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปตีความแรงโน้มถ่วงใหม่เป็นความโค้งของกาลอวกาศ ทำให้อนุภาคเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางจีโอเดสิกในกาลอวกาศที่โค้งงอนี้^{[ 14 ]}

จอห์น ดัมเบิลตัน จาก กลุ่มนักคำนวณแห่งออกซ์ฟอร์ดในศตวรรษที่ 14 เป็นหนึ่งในคนแรกๆ ที่แสดงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันในรูปแบบกราฟ เขาพิสูจน์ทฤษฎีความเร็วเฉลี่ยโดยระบุว่า "ละติจูดของการเคลื่อนที่แบบกระจายสม่ำเสมอสอดคล้องกับองศาของจุดกึ่งกลาง" และใช้วิธีนี้ในการศึกษาการลดลงเชิงปริมาณของความเข้มของแสงสว่างในSumma logicæ et philosophiæ naturalis ของเขา (ประมาณปี 1349) โดยระบุว่าไม่ได้เป็นสัดส่วนเชิงเส้นกับระยะทาง แต่ไม่สามารถแสดงกฎกำลังสองผกผันได้^{[ 15 ]}

ในข้อเสนอที่ 9 ของหนังสือเล่มที่ 1 ในหนังสือAd Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (1604) นักดาราศาสตร์โยฮันเนส เคปเลอร์ได้โต้แย้งว่าการแพร่กระจายของแสงจากแหล่งกำเนิดจุดเป็นไปตามกฎกำลังสองผกผัน: ^{[ 16 ] [ 17 ]}

ในปี ค.ศ. 1645 ในหนังสือAstronomia Philolaica ... ของเขา นักดาราศาสตร์ชาวฝรั่งเศสIsmaël Bullialdus (ค.ศ. 1605–1694) ได้หักล้างข้อเสนอแนะของ Johannes Kepler ที่ว่า "แรงโน้มถ่วง" ^{[ 18 ]}อ่อนลงตามส่วนกลับของระยะทาง โดย Bullialdus โต้แย้งว่า "แรงโน้มถ่วง" อ่อนลงตามกำลังสองผกผันของระยะทาง: ^{[ 19 ] [ 20 ]}

ในอังกฤษ บาทหลวงSeth Ward ชาวอังกฤษ (ค.ศ. 1617–1689) เผยแพร่แนวความคิดของ Bullialdus ในการวิจารณ์ของเขาใน Ismaelis Bullialdi astronomiae philolaicae fundamenta inquisitio brevis (1653) และเผยแพร่ดาราศาสตร์ดาวเคราะห์ของเคปเลอร์ในหนังสือของเขาAstronomia Geometrica (1656)

ในปี ค.ศ. 1663–1664 โรเบิร์ต ฮุกนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษได้เขียนหนังสือMicrographia (1666) ซึ่งเขาได้กล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างความสูงของชั้นบรรยากาศและความดันบรรยากาศที่พื้นผิวโลก เนื่องจากชั้นบรรยากาศล้อมรอบโลกซึ่งเป็นทรงกลม ปริมาตรของชั้นบรรยากาศที่กดทับพื้นที่หนึ่งหน่วยของพื้นผิวโลกจึงเป็นรูปกรวยตัด (ซึ่งทอดยาวจากศูนย์กลางของโลกไปยังสุญญากาศในอวกาศ เห็นได้ชัดว่ามีเพียงส่วนของกรวยจากพื้นผิวโลกไปยังอวกาศเท่านั้นที่กดทับพื้นผิวโลก) แม้ว่าปริมาตรของกรวยจะเป็นสัดส่วนกับกำลังสามของความสูง แต่ฮุกแย้งว่าความดันอากาศที่พื้นผิวโลกกลับเป็นสัดส่วนกับความสูงของชั้นบรรยากาศ เนื่องจากแรงโน้มถ่วงลดลงตามระดับความสูง แม้ว่าฮุกจะไม่ได้ระบุอย่างชัดเจน แต่ความสัมพันธ์ที่เขาเสนอจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อแรงโน้มถ่วงลดลงตามกำลังสองผกผันของระยะห่างจากศูนย์กลางของโลก^{[ 21 ] [ 22 ]}

นิวตันได้พัฒนาและพิสูจน์กฎกำลังสองผกผันของแรงโน้มถ่วงด้วยตนเองในหนังสือ Principia (1686) ของเขา ซึ่งต่อมานำไปสู่การถกเถียงเรื่องลำดับความสำคัญระหว่างนิวตันและฮุกผ่านทางจดหมาย^{[ 23 ]}

• เสาอากาศ (วิทยุ)
• การลดลงตามระยะทาง
• ปรากฏการณ์เฟอร์มิ
• ฟลักซ์
• กฎของเกาส์
• สัดส่วนผกผัน
• ปัญหาของเคปเลอร์
• กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์
• ตัวผกผันการคูณ
• หลักการความคล้ายคลึง
• กฎกำลังสอง-กำลังสาม
• โดยเฉพาะอย่างยิ่งด้าน โทรคมนาคม :
  • วิลเลียม ทอมสัน บารอนเคลวินที่ 1
  • โปรโตคอลการกำหนดเส้นทางที่คำนึงถึงพลังงาน

• ระดับเสียงจะลดลงตามระยะทาง
• ความดันเสียง p และกฎระยะทางผกผัน 1/r