ในสาขาคณิตศาสตร์พีชคณิตนามธรรมไอโซโทปีคือความสัมพันธ์สมมูลที่ใช้ในการจำแนกแนวคิดทางพีชคณิตของวงวน

แนวคิดเรื่องไอโซโทปีสำหรับลูปและควาซิกรุปได้รับการนำเสนอโดยอัลเบิร์ต( 1943 )โดยอิง จากนิยาม ไอโซโทปีสำหรับพีชคณิต ที่เขานำเสนอก่อนหน้านี้เล็กน้อย ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากงานของสตีนรอดอีกทีหนึ่ง 

แต่ละควาซิกรุ๊ปเป็นไอโซโทปิกกับลูป

ให้ Q และ P เป็นควาซิกรุป โฮโมโทปีของควาซิกรุปจากQ ไปยังPคือสามสิ่ง( α , β , γ )ของแผนที่จากQไปยังPโดยที่${\displaystyle (Q,\cdot )}$${\displaystyle (P,\circ )}$

${\displaystyle \alpha (x)\circ \beta (y)=\gamma (x\cdot y)\,}$

สำหรับทุกxและyในQโฮโมมอร์ฟิซึมของควาซิกรุปก็คือโฮโมโทปีซึ่งแผนที่ทั้งสามเท่ากัน

ไอโซโทปีคือ โฮโมโทปีที่แผนที่ทั้งสาม( α , β , γ ) แต่ละ อันเป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึง ควาซิ กรุปสองกลุ่มจะเป็นไอโซโทปีกันถ้ามีไอโซโทปีระหว่างกลุ่มทั้งสองนั้น ในแง่ของตารางละตินไอโซโทปี( α , β , γ ) จะ กำหนดโดยการเรียงสับเปลี่ยนของแถวαการเรียงสับเปลี่ยนของคอลัมน์βและการเรียงสับเปลี่ยนบนเซตขององค์ประกอบพื้นฐานγ

ออโตโทปีคือ ไอโซโทปี จากควาซิกรุปไปยังตัวมันเอง เซตของออโตโทปีทั้งหมดของควาซิกรุปนั้นรวมกันเป็นกลุ่ม โดยมีกลุ่มออโตมอร์ฟิ ซึม เป็นกลุ่มย่อย${\displaystyle (Q,\cdot )}$

ไอโซโทปีหลักคือไอโซโทปีที่γเป็นแผนที่เอกลักษณ์บนQในกรณีนี้ เซตพื้นฐานของควาซิกรุปต้องเหมือนกัน แต่การคูณอาจแตกต่างกันได้

ให้และเป็นลูป และให้ เป็นไอโซโทปี ดังนั้น ไอโซโท ปีคือผลคูณของไอโซโทปีหลักจากและและไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างและแท้จริงแล้ว ให้กำหนดและนิยามการดำเนินการโดย${\displaystyle (L,\cdot )}$${\displaystyle (K,\circ )}$${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ):L\to K}$${\displaystyle (\alpha _{0},\beta _{0},id)}$${\displaystyle (L,\cdot )}$${\displaystyle (L,*)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle (L,*)}$${\displaystyle (K,\circ )}$${\displaystyle \alpha _{0}=\gamma ^{-1}\alpha }$${\displaystyle \beta _{0}=\gamma ^{-1}\beta }$${\displaystyle *}$${\displaystyle x*y=\alpha ^{-1}\gamma (x)\cdot \beta ^{-1}\gamma (y)}$

ให้และเป็นลูป และให้eเป็นสมาชิกที่เป็นกลางของให้ไอโซโทปีหลักจากไปยัง แล้วและโดยที่และ${\displaystyle (L,\cdot )}$${\displaystyle (L,\circ )}$${\displaystyle (L,\cdot )}$${\displaystyle (\alpha ,\beta ,id)}$${\displaystyle (L,\cdot )}$${\displaystyle (L,\circ )}$${\displaystyle \alpha =R_{b}^{-1}}$${\displaystyle \beta =L_{a}^{-1}}$${\displaystyle a=\alpha (e)}$${\displaystyle b=\beta (e)}$

ลูปLจะเป็นG-loop ก็ต่อ เมื่อมันมีโครงสร้างเหมือนกับไอโซโทปของลูปทั้งหมดของมัน

ให้Lเป็นลูป และcเป็นสมาชิกของLฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งของLเรียกว่าฟังก์ชันเสมือนอัตโนมัติทางขวาของLที่มีสมาชิกคู่cถ้าสำหรับทุกx , yเอกลักษณ์ α เป็นจริง

${\displaystyle \alpha (xy)c=\alpha (x)(\alpha (y)c)}$

ถือได้ว่า เราสามารถกำหนดนิยามของซูโดออโตมอร์ฟิซึมด้านซ้ายได้ในทำนองเดียวกัน

เรากล่าวว่าคุณสมบัติของลูปPเป็นสากลก็ต่อเมื่อมันไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงไอโซโทปี นั่นคือPเป็นจริงสำหรับลูปLก็ต่อเมื่อP เป็นจริง สำหรับไอโซโทปีลูปทั้งหมดของLเห็นได้ชัดว่า การตรวจสอบว่าPเป็นจริงสำหรับไอโซโทปีหลักทั้งหมดของL ก็ เพียงพอแล้ว

ตัวอย่างเช่น เนื่องจากไอโซโทปของลูปสลับที่ไม่จำเป็นต้องสลับที่กันได้ ดังนั้นคุณสมบัติการสลับที่กันได้จึงไม่ใช่คุณสมบัติสากล อย่างไรก็ตามคุณสมบัติการจัดกลุ่มและการเป็นกลุ่มอาเบเลียนเป็นคุณสมบัติสากล อันที่จริง ทุกกลุ่มเป็น G-loop

เมื่อกำหนดลูปLแล้ว เราสามารถกำหนดโครงสร้างทางเรขาคณิตแบบเหตุการณ์ร่วม ที่เรียกว่า 3-netได้ ในทางกลับกัน หลังจากกำหนดจุดกำเนิดและลำดับของชั้นเส้นแล้ว 3-net จะก่อให้เกิดลูป การเลือกจุดกำเนิดที่แตกต่างกันหรือการสลับชั้นเส้นอาจส่งผลให้เกิดลูปพิกัดที่ไม่สมมาตรกัน อย่างไรก็ตาม ลูปพิกัดจะสมมาตรกันเสมอ กล่าวคือ ลูปสองลูปจะสมมาตรกันก็ต่อเมื่อลูปทั้งสองนั้นเทียบเท่ากันในเชิงเรขาคณิต

ความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดทางพีชคณิตและเรขาคณิตมีดังต่อไปนี้

• กลุ่มออโตโทปิซึมของลูปสอดคล้องกับกลุ่มการเรียงตัวแบบรักษาทิศทางของเน็ต 3 มิติ
• การแปลงแบบเสมือนอัตโนมัติ (Pseudo-automorphisms) สอดคล้องกับการจัดเรียงเชิงเส้นที่ตรึงแกนทั้งสองของระบบพิกัดไว้
• กลุ่มขององค์ประกอบคู่ขนานคือวงโคจรของตัวรักษาเสถียรภาพของแกนในกลุ่มการเรียงตัว
• ลูปจะเป็น G-loop ก็ต่อเมื่อกลุ่มการเรียงตัวกระทำแบบทรานซิทีฟต่อเซตของจุดในเน็ต 3 มิติเท่านั้น
• คุณสมบัติPเป็นสากลก็ต่อเมื่อมันไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดกำเนิด

• ไอโซโทปีของพีชคณิต