ในทางคณิตศาสตร์องค์ประกอบเอกลักษณ์หรือองค์ประกอบที่เป็นกลางของการดำเนินการทวิภาคคือองค์ประกอบที่ไม่เปลี่ยนแปลงทุกองค์ประกอบเมื่อใช้การดำเนินการ^{[ 1 ] [ 2 ]}ตัวอย่างเช่น 0 เป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ของการบวกจำนวนจริงแนวคิดนี้ใช้ในโครงสร้างพีชคณิตเช่นกลุ่มและวงแหวนคำว่าองค์ประกอบเอกลักษณ์มักจะย่อเป็นเอกลักษณ์ (เช่นในกรณีของเอกลักษณ์การบวกและเอกลักษณ์การคูณ) ^{[ 3 ]}เมื่อไม่มีความเป็นไปได้ที่จะเกิดความสับสน แต่เอกลักษณ์นั้นขึ้นอยู่กับการดำเนินการทวิภาคที่เกี่ยวข้องโดยปริยาย

ให้( S , ∗)เป็นเซต  Sที่มีตัวดำเนินการทวิภาค  ∗ แล้วสมาชิก  eของ  Sเรียกว่า aเอกลักษณ์ซ้ายถ้าe∗s=sสำหรับทุก sใน Sและ aเอกลักษณ์ทางขวาถ้าs∗e=sสำหรับทุก sใน S[ ^{4 ]}ถ้าe ^{เป็นทั้ง เอกลักษณ์}ทางซ้ายและเอกลักษณ์ทางขวา เรียกว่า aอัตลักษณ์สองด้านหรือเรียกง่ายๆ ว่าเอกลักษณ์ [ ^{5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]​}

เอกลักษณ์เกี่ยวกับการบวกเรียกว่า...เอกลักษณ์การบวก (มักใช้สัญลักษณ์ 0) และเอกลักษณ์เกี่ยวกับการคูณ เรียกว่า เอกลักษณ์การบวกเอกลักษณ์การคูณ (มักใช้สัญลักษณ์ 1) ^{[ 3 ]}สิ่งเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องเป็นการบวกและการคูณธรรมดา เนื่องจากการดำเนินการพื้นฐานอาจเป็นไปโดยพลการ ในกรณีของกลุ่มตัวอย่างเช่น บางครั้งองค์ประกอบเอกลักษณ์จะถูกแทนด้วยสัญลักษณ์การแบบไบนารี เช่นวงแหวนโดเมนจำนวนเต็มและฟิลด์เอกลักษณ์การคูณมักเรียกว่า${\displaystyle e}$เอกภาพในบริบทหลัง (วงแหวนที่มีเอกภาพ) ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}สิ่งนี้ไม่ควรสับสนกับหน่วยในทฤษฎีวงแหวน ซึ่งเป็นองค์ประกอบใดๆ ที่มีตัวผกผันการคูณตามคำจำกัดความของมันเอง เอกภาพนั้นจำเป็นต้องเป็นหน่วย ^{[ 13 ] [ 14 ]}สัญลักษณ์eถูกเลือกเพราะเป็นอักษรตัวแรกในEinheitซึ่งเป็นภาษาเยอรมันสำหรับ "หน่วย" หรือ "เอกภาพ" ^{[ 15 ]}

ชุด	การดำเนินการ	ตัวตน
จำนวนจริงจำนวนเชิงซ้อน	+ ( การบวก )	0
จำนวนจริงจำนวนเชิงซ้อนยกเว้น 0	· ( การคูณ )	1
จำนวนเต็มบวก	ตัวคูณร่วมน้อย	1
จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ	ตัวหารร่วมมาก	0 (ตามคำจำกัดความส่วนใหญ่ของ GCD)
เวกเตอร์	การบวกเวกเตอร์	เวกเตอร์ศูนย์
	การคูณสเกลาร์	1
เมทริกซ์ขนาดm x n	การบวกเมทริกซ์	เมทริกซ์ศูนย์
เมทริกซ์จัตุรัสขนาดn x n	การคูณเมทริกซ์	ใน ( เมทริกซ์เอกลักษณ์ )
เมทริกซ์ขนาดm x n	○ ( ผลิตภัณฑ์ Hadamard )	J m , n (เมทริกซ์ของเลขหนึ่ง )
ฟังก์ชันทั้งหมดจากเซต  Mไปยังตัวมันเอง	∘ ( การประกอบฟังก์ชัน )	ฟังก์ชันเอกลักษณ์
การแจกแจงทั้งหมดบนกลุ่ม G	* ( การสังเคราะห์ )	δ (เดลต้าของดิแรก )
จำนวนจริงที่ขยายออกไป	ค่าต่ำสุด / infimum	+∞
	ค่าสูงสุด / supremum	−∞
เซตย่อยของเซต M	∩ ( จุดตัด )	เอ็ม
	∪ ( สหภาพ )	∅ ( เซตว่าง )
สตริง , รายการ	การต่อกัน	สตริงว่าง , รายการว่าง
พีชคณิตบูลีน	${\textstyle \land }$( คำเชื่อม )	${\textstyle \top }$( ความจริง )
	${\textstyle \leftrightarrow }$( ความเท่าเทียมกัน )	${\textstyle \top }$( ความจริง )
	${\textstyle \vee }$( การแยก )	${\textstyle \bot }$( ความเท็จ )
	${\textstyle \nleftrightarrow }$( ความไม่เท่ากัน )	${\textstyle \bot }$( ความเท็จ )
ปม	ผลรวมปม	คลายปม
พื้นผิวที่แน่น	# ( ผลรวมที่เชื่อมต่อกัน )	เอส2
กลุ่มบทคัดย่อ	ผลิตภัณฑ์โดยตรง	กลุ่มเล็กๆ
องค์ประกอบสองตัวคือ{ e , f }	* กำหนดโดย e ∗ e = f ∗ e = eและ f ∗ f = e ∗ f = f	ทั้งeและfเป็นเอกลักษณ์ทางซ้ายแต่ไม่มีเอกลักษณ์ทางขวาและไม่มีเอกลักษณ์สองด้าน
ความสัมพันธ์เอกพันธุ์บนเซตX	ผลิตภัณฑ์ที่เกี่ยวข้อง	ความสัมพันธ์เชิงอัตลักษณ์
พีชคณิตเชิงสัมพันธ์	การเชื่อมต่อแบบธรรมชาติ (⨝)	ความสัมพันธ์เฉพาะที่มีดีกรีศูนย์และจำนวนสมาชิกหนึ่ง
แมกมาหน่วย	การดำเนินงาน	องค์ประกอบเอกลักษณ์ของมัน

ในตัวอย่างS = { e,f } ที่มีสมการที่กำหนดให้Sเป็นเซมิกรุปซึ่งแสดงให้เห็นถึงความเป็นไปได้ที่( S , ∗)จะมีเอกลักษณ์ซ้ายหลายตัว อันที่จริง ทุกองค์ประกอบสามารถเป็นเอกลักษณ์ซ้ายได้ ในทำนองเดียวกัน อาจมีเอกลักษณ์ขวาหลายตัว แต่ถ้ามีทั้งเอกลักษณ์ขวาและเอกลักษณ์ซ้ายแล้ว ทั้งสองจะต้องเท่ากัน ส่งผลให้มีเอกลักษณ์สองด้านเพียงตัวเดียว

เพื่อให้เข้าใจเรื่องนี้ โปรดสังเกตว่า ถ้าlเป็นเอกลักษณ์ทางซ้ายและrเป็นเอกลักษณ์ทางขวาแล้วl = l ∗ r = r โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะมีเอกลักษณ์สองด้าน ได้ เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น: ถ้ามีสองตัว เช่นeและfแล้วe ∗ fจะต้องเท่ากับทั้งeและf

เป็นไปได้เช่นกันที่( S , ∗)จะไม่มีองค์ประกอบเอกลักษณ์^{[ 16 ]}เช่นกรณีของจำนวนเต็มคู่ภายใต้การดำเนินการคูณ^{[ 3 ]}ตัวอย่างทั่วไปอีกประการหนึ่งคือผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ซึ่งการไม่มีองค์ประกอบเอกลักษณ์เกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าทิศทางของผลคูณไขว้ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ จะตั้งฉาก กับองค์ประกอบใดๆ ที่ถูกคูณเสมอ นั่นคือ ไม่สามารถสร้างเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ในทิศทางเดียวกับเวกเตอร์เดิม ได้ อีกตัวอย่างหนึ่งของโครงสร้างที่ไม่มีองค์ประกอบเอกลักษณ์เกี่ยวข้องกับเซมิกรุป บวก ของจำนวนธรรมชาติบวก

• องค์ประกอบดูดซับ
• ตัวผกผันการบวก
• ผกผันทั่วไป
• เอกลักษณ์ (สมการ)
• ฟังก์ชันเอกลักษณ์
• องค์ประกอบผกผัน
• โมโนอิด
• วงแหวนเทียม
• กลุ่มย่อย
• ยูนิทัล (การแยกความหมาย)

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), หลักสูตรเบื้องต้นในพีชคณิตเชิงเส้น: พร้อมบทนำเพิ่มเติมเกี่ยวกับกลุ่ม วงแหวน และฟิลด์ , บอสตัน: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (ฉบับที่ 2), Reading: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Herstein, IN (1964), Topics In Algebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016{{citation}}:ปัญหาความไม่เข้ากันของหมายเลข ISBN / วันที่ ( ขอความช่วยเหลือ )
• McCoy, Neal H. (1973), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition , Boston: Allyn and Bacon , LCCN  68015225
• เมเยอร์, ​​วิลเฮล์ม ฟรานซ์ (1904), Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften , ไลพ์ซิก: BG Teubner

• M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoids, Acts and Category with Applications to Wreath Products and Graphs , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, วอลเตอร์ เดอ กรอยเตอร์, 2000, ISBN 3-11-015248-7หน้า 14–15