ในทฤษฎีของแมนิโฟลด์แบบลอเรนซ์ปริภูมิเวลาที่มีสมมาตรทรงกลมจะยอมรับกลุ่มของทรงกลมซ้อน กัน มีแผนภูมิพิกัด หลายประเภท ที่ปรับให้เข้ากับกลุ่มของทรงกลมซ้อนกันนี้ แผนภูมิที่รู้จักกันดีที่สุดคือแผนภูมิชวาร์ซชิลด์แต่แผนภูมิไอโซโทรปิกก็มีประโยชน์เช่นกัน คุณลักษณะเด่นของแผนภูมิไอโซโทรปิกคือ พิกัดรัศมี (ซึ่งแตกต่างจากพิกัดรัศมีของแผนภูมิชวาร์ซชิลด์) ถูกกำหนดเพื่อให้กรวยแสงปรากฏเป็นทรงกลมนั่นหมายความว่า (ยกเว้นในกรณีที่ไม่สำคัญของแมนิโฟลด์ที่แบนราบเฉพาะที่) พิกัดเชิงมุมไอโซโทรปิกไม่ได้แสดงระยะทางภายในทรงกลมซ้อนกันอย่างแม่นยำ และพิกัดรัศมีก็ไม่ได้แสดงระยะทางรัศมีอย่างแม่นยำเช่นกัน ในทางกลับกัน มุมในไฮเปอร์สไลซ์เวลาคงที่นั้นแสดงได้โดยไม่มีการบิดเบือน ดังนั้นจึงเป็นที่มาของชื่อแผนภูมินี้

แผนภูมิไอโซโทรปิกมักถูกนำไปใช้กับปริภูมิเวลาสมมาตรทรงกลมแบบคงที่ ใน ทฤษฎีแรงโน้มถ่วงเชิงเมตริกเช่นทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปแต่ก็สามารถใช้ในการจำลองลูกบอลของไหลที่สั่นไหวเป็นทรงกลมได้เช่นกัน สำหรับคำตอบสมมาตรทรงกลมแบบแยกเดี่ยวของสมการสนามของไอน์สไตน์ ที่ระยะทางไกล แผนภูมิไอโซโทรปิกและแผนภูมิชวาร์ซชิลด์จะมีความคล้ายคลึงกับแผนภูมิทรงกลมเชิงขั้วทั่วไปบน ปริภูมิเวลามิงโกวสกีมากขึ้นเรื่อยๆ

ในแผนภูมิไอโซโทรปิก (บนปริภูมิเวลาสมมาตรทรงกลมแบบคงที่) เมตริก ( หรือที่เรียกว่าองค์ประกอบเส้น ) จะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,\left(dr^{2}+r^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right)\right),}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\varphi <\pi }$

ขึ้นอยู่กับบริบท อาจเหมาะสมที่จะพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันที่ไม่แน่นอนของพิกัดรัศมี (ตัวอย่างเช่น ในการหาคำตอบที่แน่นอนแบบสมมาตรทรงกลมสถิตของสมการสนามของไอน์สไตน์ ) หรืออีกทางหนึ่ง เราสามารถแทนค่าฟังก์ชันเฉพาะ (ซึ่งอาจขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์บางอย่าง) เพื่อให้ได้แผนภูมิพิกัดแบบไอโซโทรปิกบนปริภูมิเวลาลอเรนซ์เฉพาะ ${\displaystyle a,\,b}$

พีชคณิตลีของสนามเวกเตอร์คิลลิงของปริภูมิเวลาสถิตสมมาตรทรงกลมมีรูปแบบเดียวกันในแผนภูมิไอโซโทรปิกเช่นเดียวกับในแผนภูมิชวาร์ซชิลด์ กล่าวคือ พีชคณิตนี้ถูกสร้างขึ้นโดยสนามเวกเตอร์คิลลิง แบบไร้การ หมุนเชิงเวลา

${\displaystyle \partial _{t}}$

และสนามเวกเตอร์สังหารอวกาศสามสนาม

${\displaystyle \partial _{\varphi }}$

${\displaystyle \sin(\varphi )\,\partial _{\theta }+\cot(\theta )\,\cos(\varphi )\partial _{\varphi }}$

${\displaystyle \cos(\varphi )\,\partial _{\theta }-\cot(\theta )\,\sin(\varphi )\partial _{\varphi }}$

ในที่นี้ การกล่าวว่าไม่มีการหมุนหมายความว่าเทนเซอร์ความหมุนของความสอดคล้องเชิงเวลา ที่สอดคล้องกัน เป็นศูนย์ ดังนั้นสนามเวกเตอร์คิลลิงนี้จึงตั้งฉากกับพื้นผิว ไฮเปอร์เซอร์เฟ ซ ข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิเวลาอนุญาตให้มีสนามเวกเตอร์คิลลิงเชิงเวลาที่ไม่มีการหมุนนั้น แท้จริงแล้วเป็นลักษณะเฉพาะที่กำหนดปริภูมิเวลาสถิต ผลที่ ตามมา โดยตรงประการหนึ่งคือพื้นผิวพิกัดเวลาคงที่ก่อตัวเป็นกลุ่มของไฮเปอร์สไลซ์เชิงพื้นที่ (ไอโซเมตริก) (ไฮเปอร์เซอร์เฟซเชิงพื้นที่) ${\displaystyle {\vec {X}}=\partial _{t}}$${\displaystyle t=t_{0}}$

ต่างจากแผนภูมิ Schwarzschild แผนภูมิไอโซโทรปิกไม่เหมาะสมสำหรับการสร้างแผนภาพการฝังตัวของไฮเปอร์สไลซ์เหล่านี้

พื้นผิวเหล่านี้ปรากฏเป็นทรงกลม (เมื่อเราพล็อตตำแหน่งในรูปแบบทรงกลมเชิงขั้ว) และจากรูปทรงขององค์ประกอบเส้น เราจะเห็นว่าเมตริกที่จำกัดอยู่บนพื้นผิวเหล่านี้คือ ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0}}$

${\displaystyle g|_{t=t_{0},r=r_{0}}=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}g_{\Omega }=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,-\pi <\varphi <\pi }$

โดยที่พิกัดและเมตริกแบบรีมันน์บนทรงกลม 2 มิติที่มีรัศมีหนึ่งหน่วย นั่นคือทรงกลมพิกัดที่ซ้อนกัน เหล่านี้ แสดงถึงทรงกลมทางเรขาคณิตจริง ๆ แต่การปรากฏของแทนที่จะเป็นแสดงให้เห็นว่าพิกัดรัศมีไม่ได้สอดคล้องกับพื้นที่ในลักษณะเดียวกับทรงกลมในปริภูมิยุคลิด ทั่วไป ลองเปรียบเทียบกับพิกัดชวาร์ซชิลด์ ซึ่งพิกัดรัศมีมีการตีความตามธรรมชาติในแง่ของทรงกลมที่ซ้อนกัน ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\varphi )}$${\displaystyle g_{\Omega }}$${\displaystyle b(r_{0})\,r}$${\displaystyle r}$

เส้นโลคัสแสดงขอบเขตของแผนภูมิไอโซโทรปิก และเช่นเดียวกับในแผนภูมิชวาร์ซชิลด์ เราสันนิษฐานโดยปริยายว่าเส้นโลคัสทั้งสองนี้เหมือนกัน ดังนั้นทรงกลมที่เราสมมติขึ้นจึงเป็นทรงกลมเชิงทอพอโลยีอย่างแท้จริง ${\displaystyle \varphi =-\pi ,\,\pi }$

เช่นเดียวกับแผนภูมิ Schwarzschild ช่วงของพิกัดรัศมีอาจถูกจำกัดหากเมตริกหรือค่าผกผันของมันมีค่ามากเกินไปสำหรับค่าบางค่าของพิกัดนี้

องค์ประกอบเส้นตรงที่แสดงไว้ข้างต้น โดยที่ f และ g ถือเป็นฟังก์ชันที่ไม่แน่นอนของพิกัดไอโซโทรปิก r มักถูกใช้เป็นสมมติฐาน เมตริก ในการหาคำตอบสมมาตรทรงกลมแบบสถิตในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (หรือทฤษฎีเมตริกอื่นๆ ของแรงโน้มถ่วง )

เพื่อเป็นตัวอย่าง เราจะอธิบายวิธีการคำนวณการเชื่อมต่อและความโค้งโดยใช้วิธีแคลคูลัสภายนอกของคาร์ตัน ขั้นแรก เราอ่านค่าฟิลด์ โคเฟรม ขององค์ประกอบเส้น

${\displaystyle \sigma ^{0}=-a(r)\,dt}$

${\displaystyle \sigma ^{1}=b(r)\,dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=b(r)\,r\,d\theta }$

${\displaystyle \sigma ^{3}=b(r)\,r\,\sin(\theta )\,d\varphi }$

โดยที่เราถือว่าฟังก์ชันเรียบของ เป็นฟังก์ชันที่ไม่กำหนด(ข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิเวลาของเรายอมรับกรอบที่มีรูปแบบตรีโกณมิติเฉพาะนี้ เป็นการแสดงออกที่เทียบเท่ากันอีกรูปแบบหนึ่งของแนวคิดของแผนภูมิไอโซโทรปิกในแมนิโฟลด์ลอเรนซ์แบบคงที่และสมมาตรทรงกลม) เมื่อหาอนุพันธ์ภายนอกและใช้สมการโครงสร้างคาร์ตันตัวแรก เราจะพบรูปแบบการเชื่อมต่อหนึ่ง ที่ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle a,\,b}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{1}={\frac {f'\,dt}{g}}}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,d\theta }$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{3}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,\sin(\theta )\,d\varphi }$

${\displaystyle {\omega ^{2}__{3}=-\cos(\theta )\,d\varphi }$

เมื่อนำอนุพันธ์ภายนอกมาอีกครั้งและแทนค่าลงในสมการโครงสร้างคาร์ตันที่สอง เราจะพบรูปแบบสองมิติของความโค้ง

• ปริภูมิเวลาคงที่
• ปริภูมิเวลาสมมาตรทรงกลม
• ของไหลสมบูรณ์แบบที่มีสมมาตรทรงกลมแบบคงที่
• พิกัดชวาร์ซชิลด์อีกหนึ่งแผนภูมิที่นิยมใช้สำหรับปริภูมิเวลาแบบสมมาตรทรงกลมสถิต
• สนามเฟรมในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปสำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับสนามเฟรมและสนามโคเฟรม