ถ้า${\displaystyle n=2m+1}$แปลกจัง ไม่มีการจับคู่ใดๆ เลย${\displaystyle \{1,\ldots ,2m+1\}}$ภายใต้สมมติฐานนี้ ทฤษฎีบทของอิสเซอร์ลิสบ่งชี้ว่า$${\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}\cdots X_{2m+1}\,]=0.}$$ สิ่งนี้ยังเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า${\displaystyle -X=(-X_{1},\dots ,-X_{n})}$มีการกระจายตัวแบบเดียวกันกับ${\displaystyle X}$ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=\operatorname {E} [\,(-X_{1})\cdots (-X_{2m+1})\,]=-\operatorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=0}$.

ในบทความต้นฉบับของเขา^{[ 7 ]} Leon Isserlisพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้โดยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ โดยวาง สูตรทั่วไปสำหรับ ${\displaystyle 4^{\text{th}}}$ช่วงเวลาลำดับ^{[ 8 ]}ซึ่งปรากฏให้เห็น

${\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}\,]=\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]\,\operatorname {E} [X_{3}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{3}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{4}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{3}].}$

ถ้า${\displaystyle n=2m}$แม้แต่การมีอยู่ก็ยังมีอยู่${\displaystyle (2m)!/(2^{m}m!)=(2m-1)!!}$(ดู การทดลอง แฟกทอเรียลคู่ ) การแบ่งคู่ของ${\displaystyle \{1,\ldots ,2m\}}$: ผลลัพธ์ที่ได้${\displaystyle (2m)!/(2^{m}m!)=(2m-1)!!}$พจน์ในผลรวม ตัวอย่างเช่น สำหรับ${\displaystyle 4^{\text{th}}}$ลำดับช่วงเวลา (เช่น${\displaystyle 4}$ตัวแปรสุ่ม) มีสามพจน์ สำหรับ${\displaystyle 6^{\text{th}}}$-ช่วงเวลาสั่งซื้อมีอยู่${\displaystyle 3\times 5=15}$เงื่อนไข และสำหรับ${\displaystyle 8^{\text{th}}}$-ช่วงเวลาสั่งซื้อมีอยู่${\displaystyle 3\times 5\times 7=105}$เงื่อนไข

เราสามารถประเมินฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันเกาส์เซียนได้โดยใช้ทฤษฎีบทของอิสเซอร์ลิส:$${\displaystyle E[e^{-iX}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{k}}{k!}}E[X^{k}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{2k}}{(2k)!}}E[X^{2k}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{2k}}{(2k)!}}{\frac {(2k)!}{k!2^{k}}}E[X^{2}]^{k}=e^{-{\frac {1}{2}}E[X^{2}]}}$$

สูตรความน่าจะเป็นของ Wick ในรูปแบบที่เทียบเท่ากันคือการอินทิเกรตแบบเกาส์เซียนโดยส่วนถ้า${\displaystyle (X_{1},\dots X_{n})}$ถ้าเป็นเวกเตอร์สุ่ม ปกติหลายตัวแปรที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์แล้ว

$${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}f(X_{1},\ldots ,X_{n}))=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Cov} (X_{1},X_{i})\operatorname {E} (\partial _{X_{i}}f(X_{1},\ldots ,X_{n})).}$$นี่เป็นการสรุปทั่วไปของทฤษฎีบทของสไตน์

สูตรความน่าจะเป็นของวิกสามารถกู้คืนได้โดยการอุปมาน โดยพิจารณาจากฟังก์ชัน${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$กำหนดโดย${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{2}\ldots x_{n}}$ในบรรดาสิ่งอื่นๆ การกำหนดสูตรนี้มีความสำคัญในทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลของ Liouvilleเพื่อให้ได้ เอกลักษณ์ คอน ฟอร์มอล ของ Ward สมการBPZ ^{[ 9 ]}และเพื่อพิสูจน์สูตรFyodorov-Bouchaud ^{[ 10 ]}

สำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ใช่แบบเกาส์เซียนสูตร โมเมนต์คัม มูแลนต์^{[ 11 ]}แทนที่สูตรความน่าจะเป็นของวิก ถ้า${\displaystyle (X_{1},\dots X_{n})}$ถ้า เป็นเวกเตอร์ของตัวแปรสุ่มแล้ว$${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\ldots X_{n})=\sum _{p\in P_{n}}\prod _{b\in p}\kappa {\big (}(X_{i})_{i\in b}{\big )},}$$โดยผลรวมนั้นครอบคลุมทุกพาร์ติชันของ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ผลิตภัณฑ์อยู่เหนือบล็อกของ${\displaystyle p}$และ${\displaystyle \kappa {\big (}(X_{i})_{i\in b}{\big )}}$คือค่าสะสมร่วมของ${\displaystyle (X_{i})_{i\in b}}$.

พิจารณา${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{d})}$กระจายอย่างสม่ำเสมอทั่วทรงกลมหน่วย${\displaystyle S^{d-1}}$ดังนั้น${\displaystyle \|X\|=1}$เกือบจะแน่นอนในสถานการณ์นี้ ข้อต่อไปนี้เป็นจริง

ถ้า${\displaystyle n}$มันแปลกนะ $${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}X_{i_{1}}\,X_{i_{2}}\,\cdots \,X_{i_{n}}{\bigr ]}\;=\;0.\!}$$

ถ้า${\displaystyle n=2k}$เท่ากัน $${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}X_{i_{1}}\,\cdots \,X_{i_{2k}}{\bigr ]}\;=\;{\frac {1}{d\,{\bigl (}d+2{\bigr )}{\bigl (}d+4{\bigr )}\cdots {\bigl (}d+2k-2{\bigr )}}}\sum _{p\in P_{2k}^{2}}\prod _{\{r,s\}\in p}\delta _{\,i_{r},i_{s}},}$$ ที่ไหน${\displaystyle P_{2k}^{2}}$คือเซตของการจับคู่ทั้งหมดของ${\displaystyle \{1,\ldots ,2k\}}$,${\displaystyle \delta _{i,j}}$คือเดลต้าโครเนกเกอร์

เนื่องจากมี${\displaystyle |P_{2k}^{2}|=(2k-1)!!}$เทอมเดลต้า เราจะได้บนแนวทแยง: $${\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}^{2k}\,]\;=\;{\frac {(2k-1)!!}{d\,{\bigl (}d+2{\bigr )}{\bigl (}d+4{\bigr )}\cdots {\bigl (}d+2k-2{\bigr )}}}.}$$ ที่นี่,${\displaystyle (2k-1)!!}$หมายถึง แฟกทอเรี ยลคู่

ผลลัพธ์เหล่านี้จะถูกอภิปรายในบริบทของเวกเตอร์สุ่มและการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ในงานของ Kushkuley (2021) ^{[ 12 ]}