แคลคูลัสอิโตะซึ่งตั้งชื่อตามคิโยชิ อิโตะขยายวิธีการของแคลคูลัสไปสู่กระบวนการสุ่มเช่นการเคลื่อนที่แบบบราวน์ (ดูกระบวนการไวเนอร์ ) มีแอปพลิเคชันที่สำคัญในด้านการเงินเชิงคณิตศาสตร์ในสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มและเมื่อไม่นานมานี้ยังพบในด้านการเรียนรู้ของเครื่องจักร อีก ด้วย

แนวคิดหลักคือปริพันธ์สุ่มของอิโต (Itô stochastic integral) ซึ่งเป็นการขยายความเชิงสุ่มของปริพันธ์รีมันน์-สตีลต์เจส (Riemann–Stieltjes integral ) ในการวิเคราะห์ ตัวถูกหาปริพันธ์และตัวหาปริพันธ์ในที่นี้เป็นกระบวนการสุ่ม โดยที่Hเป็นกระบวนการที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ในระดับท้องถิ่นซึ่งปรับให้เข้ากับฟิลเทรชันที่สร้างโดยX ( Revuz & Yor 1999 , บทที่ IV) ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบบราวน์หรือโดยทั่วไปแล้วเป็นเซมิมาติงเกลผลลัพธ์ของการหาปริพันธ์จึงเป็นกระบวนการสุ่มอีกกระบวนการหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริพันธ์จาก 0 ถึงt ใดๆ ก็ตาม เป็นตัวแปรสุ่มซึ่งกำหนดเป็นลิมิตของลำดับของตัวแปรสุ่มบางลำดับ เส้นทางของการเคลื่อนที่แบบบราวน์ไม่ตรงตามข้อกำหนดในการใช้เทคนิคมาตรฐานของแคลคูลัส ดังนั้น เมื่อตัวถูกหาปริพันธ์เป็นกระบวนการสุ่ม ปริพันธ์สุ่มของอิโตจึงเท่ากับปริพันธ์เทียบกับฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดใดๆ และมีการเปลี่ยนแปลง อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ในช่วงเวลาทุกช่วง แนวคิดหลักคือ อินทิกรัลสามารถนิยามได้ตราบใดที่ตัวถูก อินทิเกรต H นั้น เหมาะสมซึ่งโดยคร่าวๆ หมายความว่า ค่าของมัน ณ เวลาtจะขึ้นอยู่กับข้อมูลที่มีอยู่จนถึงเวลานั้นเท่านั้น โดยคร่าวๆ แล้ว เราเลือกแบ่งช่วงเวลาจาก 0 ถึงt ออกเป็นลำดับ และสร้างผลรวมรีมันน์ทุกครั้งที่เราคำนวณผลรวมรีมันน์ เราจะใช้ตัวอินทิเกรเตอร์ในรูปแบบเฉพาะ สิ่งสำคัญคือ จุดในแต่ละช่วงเล็กๆ จะถูกใช้ในการคำนวณค่าของฟังก์ชัน จากนั้นจะหาลิมิตในเชิงความน่าจะเป็นเมื่อค่าของการแบ่งช่วงเข้าใกล้ศูนย์ มีรายละเอียดทางเทคนิคมากมายที่ต้องพิจารณาเพื่อแสดงให้เห็นว่าลิมิตนี้มีอยู่จริงและไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของการแบ่งช่วง โดยทั่วไปแล้ว จะใช้ปลายด้านซ้ายของช่วงเวลา $${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$$

ผลลัพธ์ที่สำคัญของแคลคูลัสของอิโตะ ได้แก่ สูตรการอินทิเกรตโดยส่วน และทฤษฎีบทของอิโตะซึ่งเป็น สูตร การเปลี่ยนตัวแปร สูตรเหล่านี้แตกต่างจากสูตรของแคลคูลัสมาตรฐาน เนื่องจาก มีพจน์ การแปรผันกำลังสองซึ่งสามารถเปรียบเทียบได้กับอินทิกรัลของสแตรโทโนวิชซึ่งเป็นรูปแบบทางเลือก โดยอินทิกรัลของสแตรโทโนวิชเป็นไปตามกฎลูกโซ่และไม่จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทของอิโตะ รูปแบบอินทิกรัลทั้งสองสามารถแปลงไปมาระหว่างกันได้ อินทิกรัลของสแตรโทโนวิชได้มาจากการหาค่าจำกัดของผลรวมรีมันน์ที่ใช้ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มในช่วงเวลาเล็กๆ แต่ละช่วง ในขณะที่อินทิกรัลของอิโตะพิจารณาเฉพาะที่จุดเริ่มต้นเท่านั้น

ในคณิตศาสตร์การเงินกลยุทธ์การประเมินค่าอินทิกรัลที่อธิบายไว้ข้างต้นนั้น มีแนวคิดว่า เราจะตัดสินใจก่อนว่าจะทำอย่างไร จากนั้นจึงสังเกตการเปลี่ยนแปลงของราคา ตัวแปรอินทิกรัลคือจำนวนหุ้นที่เราถืออยู่ ตัวอินทิกรัลแสดงถึงการเคลื่อนไหวของราคา และอินทิกรัลคือจำนวนเงินทั้งหมดที่เรามี รวมทั้งมูลค่าของหุ้นที่เราถืออยู่ ณ ช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง ราคาหุ้นและสินทรัพย์ทางการเงินอื่นๆ ที่ซื้อขายกัน สามารถจำลองได้ด้วยกระบวนการสุ่ม เช่น การเคลื่อนที่แบบบราวน์ หรือที่พบบ่อยกว่าคือการเคลื่อนที่แบบบราวน์เชิงเรขาคณิต (ดูBlack–Scholes ) ดังนั้น อินทิกรัลสุ่มของ Itô จึงแสดงถึงผลตอบแทนของกลยุทธ์การซื้อขายแบบต่อเนื่อง ซึ่งประกอบด้วยการถือ หุ้นจำนวนH ณ เวลา tในสถานการณ์นี้ เงื่อนไขที่ว่าHปรับเปลี่ยนได้นั้น สอดคล้องกับข้อจำกัดที่จำเป็นที่ว่า กลยุทธ์การซื้อขายสามารถใช้ได้เฉพาะข้อมูลที่มีอยู่ ณ เวลาใดเวลาหนึ่งเท่านั้น ซึ่งจะป้องกันความเป็นไปได้ของการได้กำไรอย่างไม่จำกัดผ่านการหยั่งรู้ ล่วงหน้า เช่น การซื้อหุ้นก่อนที่ตลาดจะขึ้นแต่ละครั้ง และขายก่อนที่ตลาดจะลงแต่ละครั้ง ในทำนองเดียวกัน เงื่อนไขที่ว่าHปรับตัวได้นั้นหมายความว่าปริพันธ์เชิงสุ่มจะไม่ล diverge เมื่อคำนวณเป็นลิมิตของผลรวมรีมันน์ ( Revuz & Yor 1999บทที่ IV)

กระบวนการYที่นิยามไว้ก่อนหน้านี้ เป็นกระบวนการสุ่มที่มีพารามิเตอร์เวลาtซึ่งบางครั้งเขียนเป็นY = H · X ( Rogers & Williams 2000 ) หรืออีกทางหนึ่ง อินทิกรัลมักเขียนในรูปแบบเชิงอนุพันธ์dY = H dXซึ่งเทียบเท่ากับY − Y = H · Xเนื่องจากแคลคูลัสของอิโตเกี่ยวข้องกับกระบวนการสุ่มแบบต่อเนื่อง จึงถือว่า มี ปริภูมิความน่าจะเป็นแบบกรอง พื้นฐาน ให้มาด้วย พีชคณิต σ แสดงถึงข้อมูลที่มีอยู่จนถึงเวลาtและกระบวนการXจะถูกปรับหากX สามารถวัดได้ การเคลื่อนที่แบบบราวน์Bเข้าใจว่าเป็น - การเคลื่อนที่แบบบราวน์ ซึ่งก็คือการเคลื่อนที่แบบบราวน์มาตรฐานที่มีคุณสมบัติว่าB สามารถวัดได้ และB − B เป็นอิสระจากสำหรับทุกs , t ≥ 0 ( Revuz & Yor 1999 ) $${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H\,dX\equiv \int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$$$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} ).}$$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$

อินทิกรัลของอิโตสามารถนิยามได้ในลักษณะที่คล้ายกับอินทิกรัลของรีมันน์-สตีลต์เจสนั่นคือเป็นลิมิตในความน่าจะเป็นของผลรวมรีมันน์ ลิมิตดังกล่าวไม่จำเป็นต้องมีอยู่ตามเส้นทาง สมมติว่าBเป็นกระบวนการเวียนเนอร์ (การเคลื่อนที่แบบบราวน์) และHเป็น กระบวนการ ต่อเนื่องทางขวา ( càdlàg ) ปรับตัวได้และมีขอบเขตเฉพาะที่ ถ้า เป็นลำดับของการแบ่งช่วง [ 0, t ]โดยที่ความกว้างของตาข่ายเข้าใกล้ศูนย์ อินทิกรัลของอิโตของHเทียบกับBจนถึงเวลาtจะเป็นตัวแปรสุ่ม${\displaystyle \{\pi _{n}\}}$$${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{[t_{i-1},t_{i}]\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}).}$$

สามารถแสดงได้ว่าลิมิตนี้ลู่เข้าสู่ค่าคงที่ความน่าจะเป็น

สำหรับการใช้งานบางอย่าง เช่นทฤษฎีบทการแสดงแทนมาร์ติงเกลและเวลาเฉพาะที่ จำเป็นต้องใช้ปริพันธ์สำหรับกระบวนการที่ไม่ต่อเนื่องกระบวนการที่คาดการณ์ได้ก่อให้เกิดชั้นที่เล็กที่สุดที่ปิดภายใต้การหาลิมิตของลำดับและประกอบด้วยกระบวนการต่อเนื่องซ้ายที่ปรับตัวได้ทั้งหมด ถ้าHเป็นกระบวนการที่คาดการณ์ได้ใดๆ ที่∫ ^t H ² ds < ∞สำหรับทุกt ≥ 0แล้วปริพันธ์ของHเทียบกับBสามารถกำหนดได้ และHเรียกว่าB-อินทิกรัลได้ กระบวนการดังกล่าวใดๆ สามารถประมาณได้ด้วยลำดับH ของกระบวนการต่อเนื่องซ้าย ปรับตัวได้ และมีขอบเขตเฉพาะที่ ในแง่ที่ว่าใน ความน่าจะเป็น จากนั้นปริพันธ์ของอิโตะคือ โดยที่สามารถแสดงได้ว่าลิมิตลู่เข้าในความน่าจะเป็น ปริพันธ์สุ่มเป็นไปตามไอโซเมตรีของอิโตะ ซึ่งเป็นจริงเมื่อHมีขอบเขต หรือโดยทั่วไปแล้ว เมื่อปริพันธ์ทางด้านขวามือมีค่าจำกัด $${\displaystyle \int _{0}^{t}(H-H_{n})^{2}\,ds\to 0}$$$${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{t}H_{n}\,dB}$$$${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]}$$

กระบวนการอิโตะ (Itô process)ถูกนิยามว่าเป็น กระบวนการสุ่ม แบบปรับตัวได้ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของปริพันธ์เทียบกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์และปริพันธ์เทียบกับเวลา $${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds.}$$

ในที่นี้Bคือการเคลื่อนที่แบบบราวน์ และจำเป็นต้องมีเงื่อนไขว่า σ เป็นกระบวนการที่สามารถทำนายได้ และสามารถหาปริพันธ์ได้แบบ Bและ μ เป็นกระบวนการที่สามารถทำนายได้และสามารถหาปริพันธ์ได้แบบเลเบส ( Lebesgue ) นั่นคือ สำหรับแต่ละtปริพันธ์เชิงสุ่มสามารถขยายไปยังกระบวนการอิโต (Itô) ดังกล่าวได้ $${\displaystyle \int _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty }$$$${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dX=\int _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.}$$

นิยามนี้ใช้ได้กับอินทิกรัลที่จำกัดขอบเขตเฉพาะที่และคาดการณ์ได้ทั้งหมด โดยทั่วไปแล้ว จำเป็นต้องให้Hσเป็น อินทิกรัล แบบ BและHμเป็นอินทิกรัลแบบเลเบส ดังนั้น กระบวนการที่คาดการณ์ได้ดังกล่าวHเรียกว่าอินทิกรัลแบบ X$${\displaystyle \int _{0}^{t}\left(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |\right)ds<\infty .}$$

ผลลัพธ์ที่สำคัญสำหรับการศึกษาเกี่ยวกับกระบวนการอิโตะคือทฤษฎีบทของอิโตะในรูปแบบที่ง่ายที่สุด สำหรับฟังก์ชันf ที่สามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างต่อเนื่อง บนจำนวนจริง และกระบวนการอิโตะXดังที่กล่าวมาข้างต้น ทฤษฎีบทนี้ระบุว่าตัวมันเองเป็นกระบวนการอิโตะที่สอดคล้องกับ ${\displaystyle Y_{t}=f(X_{t})}$$${\displaystyle dY_{t}=f^{\prime }(X_{t})\mu _{t}\,dt+{\tfrac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt+f^{\prime }(X_{t})\sigma _{t}\,dB_{t}.}$$

นี่คือสูตรการเปลี่ยนตัวแปรและกฎลูกโซ่ ในเวอร์ชันแคลคูลัสเชิงสุ่ม มันแตกต่างจากผลลัพธ์มาตรฐานเนื่องจากมีพจน์เพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์อันดับสองของfซึ่งมาจากคุณสมบัติที่ว่าการเคลื่อนที่แบบบราวน์มีการแปรผันกำลัง สองที่ไม่เป็น ศูนย์

อินทิกรัลของอิโตถูกนิยามโดยสัมพันธ์กับเซมิมาติงเกลXซึ่งเป็นกระบวนการที่สามารถแยกส่วนได้เป็นX = M + Aสำหรับมาติงเกลเฉพาะที่Mและกระบวนการ  แปรผันจำกัดAตัวอย่างที่สำคัญของกระบวนการดังกล่าว ได้แก่การเคลื่อนที่แบบบราวน์ซึ่งเป็นมาติงเกลและกระบวนการเลวี สำหรับกระบวนการ Hที่ต่อเนื่องทางซ้าย มีขอบเขตเฉพาะที่ และปรับตัวได้อินทิกรัลH · Xจะมีอยู่ และสามารถคำนวณได้เป็นลิมิตของผลรวมรีมันน์ ให้π เป็นลำดับของพาร์ติชันของ[0, t ]ที่มีเมชเข้าใกล้ศูนย์ $${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\to \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).}$$

ขีดจำกัดนี้ลู่เข้าสู่ค่าความน่าจะเป็น ปริพันธ์เชิงสุ่มของกระบวนการต่อเนื่องทางซ้ายนั้นมีความทั่วไปเพียงพอสำหรับการศึกษาแคลคูลัสเชิงสุ่มหลายเรื่อง ตัวอย่างเช่น มันเพียงพอสำหรับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของอิโต การเปลี่ยนแปลงการวัดผ่านทฤษฎีบทของกีร์ซานอฟและสำหรับการศึกษาเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มอย่างไรก็ตาม มันไม่เพียงพอสำหรับหัวข้อสำคัญอื่นๆ เช่นทฤษฎีบทการแสดงแทนมาร์ติงเกลและเวลาเฉพาะที่

อินทิกรัลนี้ขยายไปยังอินทิกรัลที่คาดการณ์ได้และมีขอบเขตเฉพาะที่ทั้งหมด ในลักษณะเฉพาะที่ไม่ซ้ำกัน โดยที่ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบครอบงำยังคงเป็นจริง กล่าวคือ ถ้าH → Hและ| H | ≤ Jสำหรับกระบวนการ  J ที่มีขอบเขตเฉพาะที่ แล้วใน ความน่าจะเป็น ความไม่ซ้ำกันของการขยายจากอินทิกรัลต่อเนื่องทางซ้ายไปยังอินทิกรัลที่คาดการณ์ได้นั้นเป็นผลมาจาก เล ม มาของ ชั้นโมโนโทน$${\displaystyle \int _{0}^{t}H_{n}\,dX\to \int _{0}^{t}H\,dX,}$$

โดยทั่วไป อินทิกรัลเชิงสุ่มH · Xสามารถนิยามได้แม้ในกรณีที่กระบวนการที่คาดการณ์ได้Hไม่ถูกจำกัดในระดับท้องถิ่น ถ้าK = 1 / (1 + | H |)แล้วKและKHจะถูกจำกัด คุณสมบัติการสลับที่ของการอินทิกรัลเชิงสุ่มบ่งชี้ว่าHสามารถ อินทิกรัลได้ ในระดับ XโดยมีอินทิกรัลH · X = Yก็ต่อเมื่อY = 0และK · Y = ( KH ) · Xเซตของ กระบวนการที่สามารถอินทิกรัลได้ใน ระดับ Xจะถูกแทนด้วยL ( X )

คุณสมบัติต่อไปนี้สามารถพบได้ในงานเขียนต่างๆ เช่น ( Revuz & Yor 1999 ) และ ( Rogers & Williams 2000 ):

• อินทิกรัลเชิงสุ่มเป็น กระบวนการ แคดแลก (càdlàg process) และยังเป็นเซมิมาติงเกล (semimartingale ) อีกด้วย
• ความไม่ต่อเนื่องของปริพันธ์เชิงสุ่มเกิดจากการกระโดดของตัวอินทิกรัลคูณด้วยตัวถูกอินทิกรัล การกระโดดของกระบวนการ càdlàg ณ เวลาtคือX − X และมักจะเขียนแทนด้วยΔ X ด้วยสัญลักษณ์นี้Δ( H · X ) = H Δ Xผลที่ตามมาอย่างหนึ่งก็คือ ปริพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการต่อเนื่องนั้นจะมีความต่อเนื่องเสมอ
• สมบัติการสลับที่ ให้ Jและ Kเป็นกระบวนการที่คาดการณ์ได้ และ Kเป็น กระบวนการที่หาปริพันธ์ได้ บน Xแล้ว Jเป็น กระบวนการที่หาปริพันธ์ได้บน K · Xก็ต่อเมื่อ JKเป็น กระบวนการที่หาปริพันธ์ได้บน Xซึ่งในกรณีนี้$${\displaystyle J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X}$$
• การลู่เข้าแบบครอบงำสมมติว่า H → Hและ | H | ≤ Jโดยที่ Jเป็น กระบวนการที่สามารถหาปริพันธ์ได้ ใน Xแล้ว H · X → H · X การลู่เข้าเกิดขึ้นในความน่าจะเป็น ณ เวลา tแต่ละเวลา ในความเป็นจริง มันลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตกระชับในความน่าจะเป็น
• อินทิกรัลเชิงสุ่มสามารถสลับตำแหน่งกับการดำเนินการหาค่าความแปรผันร่วมกำลังสองได้ ถ้าXและYเป็นเซมิมาติงเกลกระบวนการใดๆ ที่สามารถหาอินทิกรัลของ X ได้ ก็จะสามารถหาอินทิกรัลของ [ X , Y ]ได้เช่นกัน และ[ H · X , Y ] = H · [ X , Y ]ผลที่ตามมาคือ กระบวนการแปรผันกำลังสองของอินทิกรัลเชิงสุ่มจะเท่ากับอินทิกรัลของกระบวนการแปรผันกำลังสอง$${\displaystyle [H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]}$$

เช่นเดียวกับแคลคูลัสทั่วไปการอินทิเกรตโดยส่วนเป็นผลลัพธ์ที่สำคัญในแคลคูลัสเชิงสุ่ม สูตรการอินทิเกรตโดยส่วนสำหรับอินทิกรัลของอิโตะแตกต่างจากผลลัพธ์มาตรฐานเนื่องจากการรวม พจน์ ความแปรผันร่วมกำลังสองพจน์นี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าแคลคูลัสของอิโตะเกี่ยวข้องกับกระบวนการที่มีความแปรผันกำลังสองที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งเกิดขึ้นเฉพาะกับกระบวนการที่มีความแปรผันอนันต์ (เช่น การเคลื่อนที่แบบบราวน์) ถ้าXและYเป็นเซมิมาติงเกลแล้ว โดย ที่[ X , Y ]คือกระบวนการความแปรผันร่วมกำลังสอง $${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t}}$$

ผลลัพธ์ที่ได้คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทการอินทิเกรตโดยส่วนสำหรับอินทิกรัล Riemann–Stieltjesแต่มีพจน์ การแปรผันกำลังสอง เพิ่มเติมเข้ามา

ทฤษฎีบทของอิโตะเป็นรูปแบบหนึ่งของกฎลูกโซ่หรือ สูตร การเปลี่ยนตัวแปรที่ใช้กับอินทิกรัลของอิโตะ เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่ทรงพลังและใช้บ่อยที่สุดในแคลคูลัสเชิงสุ่ม สำหรับเซมิมาติงเกลต่อเนื่องnมิติX = ( X ¹ ,..., X ⁿ ) และฟังก์ชัน fที่อนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่องจากR ⁿไปยังR ทฤษฎีบท นี้กล่าวว่าf ( X )เป็นเซมิมาติงเกล และ ซึ่งแตกต่างจากกฎลูกโซ่ที่ใช้ในแคลคูลัสมาตรฐานเนื่องจากมีพจน์ที่เกี่ยวข้องกับการแปรผันร่วมกำลังสอง[ X ⁱ , X ^j ]สูตรนี้สามารถขยายให้ครอบคลุมการพึ่งพาเวลาอย่างชัดเจนในและในรูปแบบอื่นๆ ได้ (ดูทฤษฎีบทของอิโตะ ) $${\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}$$${\displaystyle f,}$

คุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของอินทิกรัลอิโตะคือการรักษา คุณสมบัติของ มาร์ติงเกลเฉพาะที่ถ้าMเป็นมาร์ติงเกลเฉพาะที่ และHเป็นกระบวนการทำนายที่มีขอบเขตเฉพาะที่แล้วH · Mก็จะเป็นมาร์ติงเกลเฉพาะที่ด้วย สำหรับตัวถูกอินทิเกรตที่ไม่มีขอบเขตเฉพาะที่ ก็มีตัวอย่างที่H · Mไม่ใช่มาร์ติงเกลเฉพาะที่ อย่างไรก็ตาม กรณีนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อMไม่ต่อเนื่องเท่านั้น ถ้าMเป็นมาร์ติงเกลเฉพาะที่ต่อเนื่องแล้ว กระบวนการทำนายH จะสามารถอินทิเกรตได้ภายใต้ Mก็ต่อเมื่อ สำหรับแต่ละtและH · Mจะเป็นมาร์ติงเกลเฉพาะที่เสมอ $${\displaystyle \int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]<\infty ,}$$

ข้อความทั่วไปที่สุดสำหรับมาร์ติงเกลท้องถิ่นที่ไม่ต่อเนื่องMคือ ถ้า( H ² · [ M ]) ^1/2สามารถหาปริพันธ์ได้ในระดับท้องถิ่นแล้วH · Mจะมีอยู่และเป็นมาร์ติงเกลท้องถิ่น

สำหรับอินทิกรัลที่มีขอบเขต อินทิกรัลเชิงสุ่มของอิโตจะรักษาพื้นที่ของ มาร์ติง เกลที่สามารถ หาปริพันธ์กำลังสองได้ ซึ่งก็คือเซตของมาร์ติงเกลcàdlàg Mที่E[ M ² ]มีค่าจำกัดสำหรับทุกtสำหรับมาร์ติงเกลที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ M ใดๆกระบวนการแปรผันกำลังสอง[ M ]สามารถหาปริพันธ์ได้ และไอโซเมตรีของอิโตระบุว่า ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงโดยทั่วไปสำหรับมาร์ติงเกลM ใดๆ ที่H ² · [ M ] สามารถหาปริพันธ์ได้ ไอโซเมตรีของอิโตมักถูกใช้เป็นขั้นตอนสำคัญในการสร้างอินทิกรัลเชิงสุ่ม โดยกำหนดให้H · Mเป็นส่วนขยายที่ไม่ซ้ำกันของไอโซเมตรีนี้จากอินทิกรัลแบบง่ายบางคลาสไปยังกระบวนการที่มีขอบเขตและคาดการณ์ได้ทั้งหมด $${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right].}$$

สำหรับp > 1 ใดๆ และอินทิกรัลที่คาดการณ์ได้และมีขอบเขต อินทิกรัลเชิงสุ่มจะรักษาพื้นที่ของ มาร์ติงเกลที่สามารถอิน ทิเกรต ได้ p ไว้ มาร์ติงเกลเหล่านี้เป็นมาร์ติงเกล càdlàg ที่E(| M | ^p )มีค่าจำกัดสำหรับทุก  tอย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่เป็นจริงเสมอไปในกรณีที่p = 1มีตัวอย่างของอินทิกรัลของกระบวนการที่คาดการณ์ได้และมีขอบเขตเทียบกับมาร์ติงเกลซึ่งตัวมันเองไม่ใช่มาร์ติงเกล

กระบวนการสูงสุดของกระบวนการ càdlàg Mเขียนได้เป็นM* = sup | M |สำหรับp ≥ 1 ใดๆ และอินทิกรัลที่คาดการณ์ได้และมีขอบเขต อินทิกรัลเชิงสุ่มจะรักษาพื้นที่ของมาร์ติงเกล càdlàg Mไว้ โดยที่E[( M* ) ^p ]มีค่าจำกัดสำหรับทุกtถ้าp > 1แล้ว พื้นที่นี้จะเหมือนกับพื้นที่ของ มาร์ติงเกลที่อินทิกรัลได้ pตัว ตามอสมการของ Doob

อสมการBurkholder–Davis–Gundyระบุว่า สำหรับp ≥ 1 ใดๆ จะมีค่าคงที่บวก  cและ  Cที่ขึ้นอยู่กับ  pแต่ไม่ขึ้น อยู่กับ Mหรือtซึ่งทำให้ สำหรับมาร์ติงเกลเฉพาะที่ càdlàg ทั้งหมดMอสมการเหล่านี้ใช้เพื่อแสดงว่า ถ้า( M* ) ^pสามารถหาปริพันธ์ได้ และHเป็นกระบวนการที่คาดการณ์ได้ และ มีขอบเขต แล้ว H · Mก็เป็น มาร์ติงเกลที่หาปริพันธ์ได้ pโดยทั่วไปแล้ว ข้อความนี้เป็นจริงเมื่อใดก็ตามที่( H² · [ M ]) ^{p /2}สามารถหาปริพันธ์ ^ได้$${\displaystyle c\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]\leq \mathbb {E} \left[(M_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]}$$$${\displaystyle \mathbb {E} \left[((H\cdot M)_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[(H^{2}\cdot [M]_{t})^{\frac {p}{2}}\right]<\infty }$$

โดยทั่วไปแล้ว การพิสูจน์ว่าอินทิกรัลของอิโตมีนิยามที่ดี จะเริ่มต้นด้วยการพิจารณาตัวอินทิกรัลที่ง่ายมาก ๆ ก่อน เช่น กระบวนการคงที่แบบเป็นช่วง ๆ ต่อเนื่องทางซ้าย และปรับตัวได้ ซึ่งสามารถเขียนอินทิกรัลได้อย่างชัดเจน กระบวนการ ที่คาดการณ์ได้ง่าย ๆ ดังกล่าว เป็นผลรวมเชิงเส้นของพจน์ในรูปแบบH = A 1 สำหรับเวลาหยุดTและตัวแปรสุ่มที่วัดได้F Aซึ่งอินทิกรัลคือ สิ่งนี้ขยายไปสู่กระบวนการที่คาดการณ์ได้ง่าย ๆ ทั้งหมดโดยความเป็นเชิงเส้นของ H · XในH$${\displaystyle H\cdot X_{t}\equiv \mathbf {1} _{\{t>T\}}A(X_{t}-X_{T}).}$$

สำหรับกระบวนการบราวน์Bคุณสมบัติที่ว่ามันมีส่วนเพิ่มที่เป็นอิสระโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนVar( B ) = tสามารถนำมาใช้พิสูจน์ไอโซเมตรีของอิโตสำหรับอินทิกรัลที่ทำนายได้ง่าย โดยการขยายเชิงเส้นต่อเนื่องอินทิกรัลจะขยายไปยังอินทิกรัลที่ทำนายได้ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข ในลักษณะที่ไอโซเมตรีของอิโตยังคงเป็นจริง จากนั้นสามารถขยายไปยังกระบวนการที่สามารถหาอินทิกรัลได้ทั้งหมดของ Bโดยการหาตำแหน่งวิธีนี้ช่วยให้สามารถกำหนดอินทิกรัลได้โดยสัมพันธ์กับกระบวนการอิโตใดๆ $${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot B_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right].}$$$${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,ds\right]<\infty ,}$$

สำหรับเซมิมาติงเกลทั่วไปXการแยกส่วนX = M + Aออกเป็นมาติงเกลเฉพาะที่MบวกกับกระบวนการแปรผันจำกัดAสามารถนำมาใช้ได้ จากนั้น สามารถแสดงให้เห็นว่าอินทิกรัลมีอยู่แยกกันโดยสัมพันธ์กับMและAและรวมกันโดยใช้ความเป็นเชิงเส้นH · X = H · M + H · Aเพื่อให้ได้อินทิกรัลโดยสัมพันธ์กับX อินทิกรัล มาตรฐานของเลเบส-สตีลเจสช่วยให้สามารถกำหนดอินทิกรัลโดยสัมพันธ์กับกระบวนการแปรผันจำกัดได้ ดังนั้นการมีอยู่ของอินทิกรัลอิโตสำหรับเซมิมาติงเกลจะตามมาจากการสร้างใดๆ สำหรับมาติงเกลเฉพาะที่

สำหรับมาร์ติงเกล Mที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้นั้นสามารถใช้รูปแบบทั่วไปของไอโซเมตรีของอิโตได้ ขั้นแรกใช้ทฤษฎีบทการแยกส่วนของดูบ-เมเยอร์ เพื่อแสดงว่ามีการแยกส่วน M ² = N + ⟨ M ⟩อยู่ โดยที่Nคือมาร์ติงเกล และ⟨ M ⟩คือกระบวนการต่อเนื่องทางขวา เพิ่มขึ้น และคาดการณ์ได้ โดยเริ่มต้นที่ศูนย์ ซึ่งกำหนด⟨ M ⟩ ได้อย่างเฉพาะเจาะจง ซึ่งเรียกว่าการแปรผันกำลังสองที่คาดการณ์ได้ของMไอโซเมตรีของอิโตสำหรับมาร์ติงเกลที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้คือ ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยตรงสำหรับปริพันธ์ที่คาดการณ์ได้แบบง่าย เช่นเดียวกับกรณีข้างต้นสำหรับการเคลื่อนที่แบบบราวน์ สามารถใช้การขยายเชิงเส้นต่อเนื่องเพื่อขยายไปยังปริพันธ์ที่คาดการณ์ได้ทั้งหมดที่สอดคล้องกับE [ H ² · ⟨ M ⟩ ] < ∞ได้ อย่างเฉพาะเจาะจง วิธีนี้สามารถขยายไปใช้กับมาร์ติงเกลที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ในระดับท้องถิ่นทั้งหมดได้โดยการหาปริพันธ์เฉพาะที่ สุดท้ายแล้ว การแยกส่วนแบบ Doob–Meyer สามารถนำมาใช้แยกมาร์ติงเกลเฉพาะที่ใดๆ ออกเป็นผลรวมของมาร์ติงเกลที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ในระดับท้องถิ่นและกระบวนการแปรผันจำกัด ซึ่งช่วยให้สามารถสร้างปริพันธ์ Itô โดยสัมพันธ์กับเซมิมาร์ติงเกลใดๆ ได้ $${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,d\langle M\rangle _{s}\right],}$$

ยังมีบทพิสูจน์อื่นๆ อีกมากมายที่ใช้วิธีการคล้ายกัน แต่หลีกเลี่ยงความจำเป็นในการใช้ทฤษฎีบทการแยกส่วนของ Doob–Meyer เช่น การใช้การแปรผันกำลังสอง [ M ] ในไอโซเมตรีของ Itô การใช้มาตรวัด Doléansสำหรับซับมาร์ติงเกลหรือการใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Burkholder–Davis–Gundyแทนไอโซเมตรีของ Itô ซึ่งวิธีหลังนี้ใช้ได้กับมาร์ติงเกลเฉพาะที่โดยตรงโดยไม่ต้องจัดการกับกรณีของมาร์ติงเกลที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ก่อน

มีบทพิสูจน์ทางเลือกอื่นที่ใช้เพียงข้อเท็จจริงที่ว่าXเป็น càdlàg, adapted และเซต { H · X : | H | ≤ 1 เป็น simple previsible} มีขอบเขตในความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละเวลาtซึ่งเป็นนิยามทางเลือกสำหรับXที่จะเป็น semimartingale การขยายเชิงเส้นต่อเนื่องสามารถใช้สร้างอินทิกรัลสำหรับ integrand ที่ต่อเนื่องทางซ้ายและ adapted ทั้งหมดที่มีลิมิตทางขวาทุกที่ (caglad หรือ L-processes) ซึ่งมีความเป็นทั่วไปมากพอที่จะสามารถใช้เทคนิคต่างๆ เช่น lemma ของ Itô ( Protter 2004 ) นอกจากนี้อสมการ Khintchineสามารถใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบครอบงำและขยายอินทิกรัลไปยัง integrand ที่คาดการณ์ได้ทั่วไป ( Bichteler 2002 )

แคลคูลัสของอิโตะถูกนิยามไว้เป็นแคลคูลัสเชิงปริพันธ์เป็นหลัก ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น อย่างไรก็ตาม ยังมีแนวคิดที่แตกต่างกันเกี่ยวกับ "อนุพันธ์" ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์อีกด้วย:

แคลคูลัสของ Malliavinนำเสนอทฤษฎีการหาอนุพันธ์สำหรับตัวแปรสุ่มที่กำหนดไว้บนปริภูมิ Wienerซึ่งรวมถึงสูตรการอินทิเกรตโดยส่วน ( Nualart 2006 )

ผลลัพธ์ต่อไปนี้ช่วยให้สามารถแสดงมาร์ติงเกลในรูปอินทิกรัลของอิโตได้: ถ้าMเป็นมาร์ติงเกลที่หาค่ากำลังสองได้ในช่วงเวลา[0, T ]โดยสัมพันธ์กับฟิลเทรชันที่สร้างขึ้นโดยการเคลื่อนที่แบบบราวน์Bแล้วจะมีกระบวนการที่หาค่ากำลังสองได้แบบปรับ ตัวได้ที่ไม่ซ้ำกัน บน[0, T ]เช่นนั้น เกือบแน่นอน และสำหรับทุกt ∈ [0, T ] ( Rogers & Williams 2000 , ทฤษฎีบท 36.5) ทฤษฎีบทการแสดงแทนนี้สามารถตีความในเชิงรูปแบบได้ว่า α คือ "อนุพันธ์เทียบกับเวลา" ของMเทียบกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์Bเนื่องจาก α คือกระบวนการที่ต้องหาค่าอินทิกรัลจนถึงเวลาtเพื่อให้ได้M − M เช่นเดียวกับในแคลคูลัสเชิงกำหนด ${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle M_{t}=M_{0}+\int _{0}^{t}\alpha _{s}\,\mathrm {d} B_{s}}$$

ในวิชาฟิสิกส์ โดยทั่วไป จะใช้สม การเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่ม (SDE) เช่นสมการ Langevinมากกว่าปริพันธ์เชิงสุ่ม ในที่นี้ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มของ Itô มักถูกกำหนดสูตรโดยใช้ โดย ที่เป็นสัญญาณรบกวนสีขาวแบบเกาส์เซียนที่มี และใช้ หลักการรวมผลของ Einstein$${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l},}$$${\displaystyle \xi _{j}}$$${\displaystyle \langle \xi _{k}(t_{1})\,\xi _{l}(t_{2})\rangle =\delta _{kl}\delta (t_{1}-t_{2})}$$

ถ้าเป็นฟังก์ชันของx แล้วจะต้องใช้ ทฤษฎีบทของ Itô :${\displaystyle y=y(x_{k})}$$${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\partial y}{\partial x_{j}}}{\dot {x}}_{j}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{k}\,\partial x_{l}}}g_{km}g_{ml}.}$$

SDE ของ Itô ดังที่กล่าวมาข้างต้นนั้น สอดคล้องกับSDE ของ Stratonovichซึ่งมีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{kl}}{\partial {x_{m}}}}g_{ml}.}$$

สมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (SDE) มักปรากฏในฟิสิกส์ในรูปแบบของ Stratonovich ซึ่งเป็นขีดจำกัดของสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มที่ขับเคลื่อนด้วยสัญญาณรบกวนสีหากเวลาสหสัมพันธ์ของพจน์สัญญาณรบกวนเข้าใกล้ศูนย์ สำหรับการศึกษาล่าสุดเกี่ยวกับการตีความที่แตกต่างกันของสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม โปรดดูตัวอย่างเช่น ( Lau & Lubensky 2007 )