ทฤษฎีบท (สูตรของจาโคบี) สำหรับฟังก์ชันอนุพันธ์ใดๆAจากจำนวนจริงไปยังเมทริกซ์n  × n 

${\displaystyle d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA).}$

บทพิสูจน์สูตรของลาปลาซสำหรับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์Aสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \det(A)=\sum _{j}A_{ij}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}.}$

โปรดสังเกตว่าการหาผลรวมนั้นกระทำกับแถวi ใดๆ ของเมทริกซ์

ดีเทอร์มิแนนต์ของAสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นฟังก์ชันขององค์ประกอบของA :

${\displaystyle \det(A)=F\,(A_{11},A_{12},\ldots ,A_{21},A_{22},\ldots ,A_{nn})}$

ดังนั้น โดยใช้กฎลูกโซ่อนุพันธ์ของมันคือ

${\displaystyle d\det(A)=\sum _{i}\sum _{j}{\partial F \over \partial A_{ij}}\,dA_{ij}.}$

การหาผลรวมนี้กระทำกับองค์ประกอบทั้งหมดขนาด n × nของเมทริกซ์

ในการหา ∂ F /∂ A ให้พิจารณาว่าทางด้านขวามือของสูตรลาปลาส ดัชนีiสามารถเลือกได้ตามต้องการ (เพื่อเพิ่มประสิทธิภาพในการคำนวณ: การเลือกแบบอื่นจะให้ผลลัพธ์เดียวกันในที่สุด แต่การคำนวณอาจยากขึ้นมาก) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สามารถเลือกให้ตรงกับดัชนีแรกของ ∂  /  ∂ A ได้:

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}={\partial \sum _{k}A_{ik}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial (A_{ik}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}) \over \partial A_{ij}}}$

ดังนั้น ตามกฎการคูณ

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}+\sum _{k}A_{ik}{\partial \operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}.}$

ทีนี้ ถ้าหากองค์ประกอบของเมทริกซ์A และโคแฟกเตอร์ adj ^T ( A ) ขององค์ประกอบA อยู่ในแถวเดียวกัน (หรือคอลัมน์เดียวกัน) โคแฟกเตอร์นั้นจะไม่ใช่ฟังก์ชันของA เพราะโคแฟกเตอร์ของA ถูกแสดงในรูปขององค์ประกอบที่ไม่ได้อยู่ในแถวเดียวกัน (หรือคอลัมน์เดียวกัน) ดังนั้น

${\displaystyle {\partial \operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=0,}$

ดังนั้น

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}.}$

องค์ประกอบทั้งหมดของAเป็นอิสระต่อกัน กล่าวคือ

${\displaystyle {\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}=\delta _{jk},}$

โดยที่δคือเดลต้าโครเนกเกอร์ดังนั้น

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}\delta _{jk}=\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}.}$

ดังนั้น,

${\displaystyle d(\det(A))=\sum _{i}\sum _{j}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}\,dA_{ij}=\sum _{j}\sum _{i}\operatorname {adj} (A)_{ji}\,dA_{ij}=\sum _{j}(\operatorname {adj} (A)\,dA)_{jj}=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA).\ \square }$

ทฤษฎีบทเสริมข้อที่ 1.${\displaystyle \det '(I)=\mathrm {tr} }$, ที่ไหน${\displaystyle \det '}$คือผลต่างของ${\displaystyle \det }$.

สมการนี้หมายความว่าอนุพันธ์ของ${\displaystyle \det }$เมื่อประเมินที่เมทริกซ์เอกลักษณ์จะมีค่าเท่ากับร่องรอย (trace) อนุพันธ์${\displaystyle \det '(I)}$เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่แปลง เมทริกซ์ขนาด n × nไปเป็นจำนวนจริง

บทพิสูจน์โดยใช้คำนิยามของอนุพันธ์ทิศทางร่วมกับคุณสมบัติพื้นฐานข้อหนึ่งของอนุพันธ์ทิศทางสำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ เราจะได้ว่า

${\displaystyle \det '(I)(T)=\nabla _{T}\det(I)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\det(I+\varepsilon T)-\det I}{\varepsilon }}}$

${\displaystyle \det(I+\varepsilon T)}$เป็นพหุนามใน${\displaystyle \varepsilon }$มีอันดับnมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับพหุนามลักษณะเฉพาะของ${\displaystyle T}$พจน์คงที่ในพหุนามนั้น (พจน์ที่มี${\displaystyle \varepsilon =0}$) คือ 1 ในขณะที่พจน์เชิงเส้นใน${\displaystyle \varepsilon }$เป็น${\displaystyle \mathrm {tr} \ T}$ดังนั้นลิมิตจึงเท่ากับ${\displaystyle \mathrm {tr} \ T}$ซึ่งเป็นข้อกล่าวอ้างนั้น

ทฤษฎีบทเสริมข้อที่ 2สำหรับเมทริกซ์ผกผันAเราจะได้ว่า:${\displaystyle \det '(A)(T)=\det A\;\mathrm {tr} (A^{-1}T)}$.

บทพิสูจน์พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้ของX :

${\displaystyle \det X=\det(AA^{-1}X)=\det(A)\ \det(A^{-1}X)}$

เราคำนวณอนุพันธ์ของ${\displaystyle \det X}$และประเมินผลที่${\displaystyle X=A}$โดยใช้ Lemma 1 สมการข้างต้น และกฎลูกโซ่:

${\displaystyle \det '(A)(T)=\det A\ \det '(I)(A^{-1}T)=\det A\ \mathrm {tr} (A^{-1}T)}$

ทฤษฎีบท (สูตรของจาโคบี) ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} \ A{\frac {dA}{dt}}\right)}$

หลักฐาน.ถ้า${\displaystyle A}$สามารถผกผันได้ โดยใช้ Lemma 2 โดยมี${\displaystyle T=dA/dt}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A=\det A\;\mathrm {tr} \left(A^{-1}{\frac {dA}{dt}}\right)=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} \ A\;{\frac {dA}{dt}}\right)}$

โดยใช้สมการที่เชื่อมโยงค่าผกผันของ${\displaystyle A}$ถึง${\displaystyle A^{-1}}$สูตรนี้ใช้ได้กับเมทริกซ์ทุกตัว เนื่องจากเซตของเมทริกซ์เชิงเส้นที่ผกผันได้นั้นมีความหนาแน่นในปริภูมิของเมทริกซ์

ทั้งสองข้างของสูตร Jacobi เป็นพหุนามในสัมประสิทธิ์เมทริกซ์ของAและA'ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะตรวจสอบเอกลักษณ์ของพหุนามบนเซตย่อยหนาแน่นซึ่งค่าลักษณะเฉพาะของAแตกต่างกันและไม่เป็นศูนย์

ถ้าAแยกตัวประกอบได้ต่างชนิดกันดังนี้${\displaystyle A=BC}$, แล้ว

${\displaystyle \mathrm {tr} (A^{-1}A')=\mathrm {tr} ((BC)^{-1}(BC)')=\mathrm {tr} (B^{-1}B')+\mathrm {tr} (C^{-1}C').}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าLเป็นอินเทอร์เฟสแล้ว${\displaystyle I=L^{-1}L}$และ

${\displaystyle 0=\mathrm {tr} (I^{-1}I')=\mathrm {tr} (L(L^{-1})')+\mathrm {tr} (L^{-1}L').}$

เนื่องจาก เมทริก ซ์ Aมีค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน จึงมีเมทริกซ์เชิงซ้อนผกผันได้L ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ซึ่งทำให้ ${\displaystyle A=L^{-1}DL}$และDเป็นแนวทแยงมุม จากนั้น

${\displaystyle \mathrm {tr} (A^{-1}A')=\mathrm {tr} (L(L^{-1})')+\mathrm {tr} (D^{-1}D')+\mathrm {tr} (L^{-1}L')=\mathrm {tr} (D^{-1}D').}$

อนุญาต${\displaystyle \lambda _{i}}$,${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ให้ค่าไอเกนของเมทริกซ์ A เป็นค่าไอเกน จากนั้น

${\displaystyle \left(\ln \det A\right)'=\left(\sum _{i=1}^{n}\ln \lambda _{i}\right)'=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}'/\lambda _{i}=\mathrm {tr} (D^{-1}D')=\mathrm {tr} (A^{-1}A'),}$

ซึ่งเป็นสูตรของจาโคบีสำหรับเมทริกซ์Aที่มีค่าไอเกนที่ไม่เป็นศูนย์และแตกต่างกัน