ฌาคส์ อองเดร ชาร์ลส์ ตูชาร์ด (1885–1968) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ในปี 1953 เขาพิสูจน์ว่าจำนวนสมบูรณ์ คี่ จะต้องอยู่ในรูปหรือในสาขาคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงและทฤษฎีความน่าจะเป็นเขาได้นำเสนอพหุนามตูชาร์ดเขายังเป็นที่รู้จักจากวิธีแก้ปัญหาเมเนจ (ménage problem)ซึ่งเป็นปัญหาการนับจำนวนที่นั่งที่ชายและหญิงนั่งสลับกันและไม่นั่งติดกับคู่สมรสของตน ${\displaystyle 12k+1}$${\displaystyle 36k+9}$

เอกลักษณ์ทางพีชคณิตต่อไปนี้เกี่ยวข้องกับจำนวนคาตาลัน

${\displaystyle C_{k}={1 \over {k+1}}{{2k} \choose {k}},\quad k\geq 0}$

เห็นได้ชัดว่าเป็นผลมาจาก Touchard (ตามที่Richard P. Stanleyกล่าวถึงในบทความภาพรวมของเขาเรื่อง " แบบฝึกหัดเกี่ยวกับตัวเลขคาตาลันและตัวเลขที่เกี่ยวข้อง " ซึ่งให้คำจำกัดความที่แตกต่างกันมากมายสำหรับตัวเลขคาตาลัน) เพราะว่ามีหนึ่งอย่างที่ว่า ${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle C_{n+1}=\sum _{k\,\leq \,n/2}2^{n-2k}{n \choose 2k}C_{k}.\,}$

โดยใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิด

${\displaystyle C(t)=\sum _{n\geq 0}C_{n}t^{n}={{1-{\sqrt {1-4t}}} \over {2t}}}$

สามารถพิสูจน์ได้โดยการจัดการทางพีชคณิตของอนุกรม ก่อกำเนิด ว่าเอกลักษณ์ของ Touchard เทียบเท่ากับสมการเชิงฟังก์ชัน

${\displaystyle {t \over {1-2t}}C\left({t^{2} \over (1-2t)^{2}}\right)=C(t)-1}$

รู้สึกพึงพอใจกับซีรีส์การผลิตของคาตาลัน ${\displaystyle C(t)}$

• วารสารคณิตศาสตร์แคนาดา ปี 1956เล่มที่ 8 ฉบับที่ 3; วารสารภาษาฝรั่งเศส

บทความเกี่ยวกับนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชิ้นนี้ยังไม่สมบูรณ์คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยการเพิ่มข้อมูลที่ขาดหายไป

• วี
• ที
• อี