วิกิพีเดียภาษาไทย
กลับไปหน้าบทความ

อ่าน 3 นาที

ไม่มีชื่อบทความ

ใน ทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งใน การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ทฤษฎีบทของเจมส์ ซึ่งตั้งชื่อตาม โรเบิร์ต ซี.

ทฤษฎีบทของเจมส์

ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันทฤษฎีบทของเจมส์ซึ่งตั้งชื่อตามโรเบิร์ต ซี. เจมส์กล่าวว่าปริภูมิบานาคX{\displaystyle X}จะเป็นสมบัติสะท้อนกลับก็ต่อเมื่อฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่อง ทุกตัว มีค่าบรรทัดฐานบนX{\displaystyle X}บรรลุค่าสูงสุดบนลูกบอลหน่วย ปิด ในX.{\displaystyle X.}

ทฤษฎีบทฉบับที่แข็งแกร่งกว่าระบุว่าเซตย่อยที่ปิดอย่างอ่อนซี{\displaystyle C}ของปริภูมิบานาคX{\displaystyle X}จะเป็นเซตกระชับแบบอ่อนก็ต่อเมื่อบรรทัดฐานคู่ ของ ฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องแต่ละตัวบนX{\displaystyle X}บรรลุค่าสูงสุดบนซี.{\displaystyle C.}

สมมติฐานเรื่องความสมบูรณ์ในทฤษฎีบทไม่สามารถละทิ้งได้[ 1 ]

แถลงการณ์

พื้นที่X{\displaystyle X}ปริภูมิบานาคที่พิจารณาอาจเป็น ปริภูมิบานาคจริงหรือเชิงซ้อนก็ได้ปริภูมิคู่ต่อเนื่องของมันจะถูกแทนด้วยX′.{\displaystyle X^{\prime }.}คู่ทางทอพอโลยีของอาร์{\displaystyle \mathbb {R} }-ปริภูมิบานาคที่อนุมานจากX{\displaystyle X}ภายใต้ข้อจำกัดใดๆ ค่าสเกลาร์จะถูกกำหนดโดยXอาร์′.{\displaystyle X_{\mathbb {R} }^{\prime }.}(จะน่าสนใจก็ต่อเมื่อ...)X{\displaystyle X}เป็นพื้นที่ที่ซับซ้อนเพราะว่า ถ้าX{\displaystyle X}เป็นอาร์{\displaystyle \mathbb {R} }-เว้นวรรคก่อนXอาร์′=X′.{\displaystyle X_{\mathbb {R} }^{\prime }=X^{\prime }.})

เกณฑ์ความกะทัดรัดของเจมส์—ให้X{\displaystyle X}เป็นพื้นที่แบบบานาคและเอ{\displaystyle A}เซตย่อยที่ไม่ว่างและปิดอย่างอ่อนของX.{\displaystyle X.}เงื่อนไขต่อไปนี้ถือว่าเทียบเท่ากัน:

  • เอ{\displaystyle A}เป็นเซตกระชับแบบอ่อน
  • สำหรับทุกๆเอฟ∈X′,{\displaystyle f\in X^{\prime },}มีองค์ประกอบอยู่เอ0∈เอ{\displaystyle a_{0}\in A}โดยที่|เอฟ(เอ0)|=จีบเอ∈เอ|เอฟ(เอ)|.{\displaystyle \left|f\left(a_{0}\right)\right|=\sup _{a\in A}|f(a)|.}
  • สำหรับใดๆเอฟ∈Xอาร์′,{\displaystyle f\in X_{\mathbb {R} }^{\prime },}มีองค์ประกอบอยู่เอ0∈เอ{\displaystyle a_{0}\in A}โดยที่เอฟ(เอ0)=จีบเอ∈เอ|เอฟ(เอ)|.{\displaystyle f\left(a_{0}\right)=\sup _{a\in A}|f(a)|.}
  • สำหรับใดๆเอฟ∈Xอาร์′,{\displaystyle f\in X_{\mathbb {R} }^{\prime },}มีองค์ประกอบอยู่เอ0∈เอ{\displaystyle a_{0}\in A}โดยที่เอฟ(เอ0)=จีบเอ∈เอเอฟ(เอ).{\displaystyle f\left(a_{0}\right)=\sup _{a\in A}f(a).}

ปริภูมิบานาคจะเป็นปริภูมิสะท้อนกลับได้ก็ต่อเมื่อลูกบอลหน่วยปิดของมันเป็นปริภูมิกระชับอ่อน ซึ่งสามารถอนุมานได้จากสิ่งนี้ เนื่องจากค่าบรรทัดฐานของรูปแบบเชิงเส้นต่อเนื่องเป็นขอบเขตบนของค่าสัมบูรณ์บนลูกบอลนี้:

ทฤษฎีบทของเจมส์—ปริภูมิบานาคX{\displaystyle X}เป็นการสะท้อนกลับก็ต่อเมื่อสำหรับทุกสิ่งเอฟ∈X′,{\displaystyle f\in X^{\prime },}มีองค์ประกอบอยู่เอ∈X{\displaystyle a\in X}ของบรรทัดฐาน‖เอ‖≤1{\displaystyle \|a\|\leq 1}โดยที่เอฟ(เอ)=‖เอฟ‖.{\displaystyle f(a)=\|f\|.}

ประวัติศาสตร์

ในอดีต ประโยคเหล่านี้ได้รับการพิสูจน์ในลำดับย้อนกลับ ในปี 1957 เจมส์ได้พิสูจน์เกณฑ์การสะท้อนกลับสำหรับปริภูมิบานาคที่แยกได้[ 2 ]และในปี 1964 สำหรับปริภูมิบานาคทั่วไป[ 3 ]เนื่องจากเกณฑ์การสะท้อนกลับเทียบเท่ากับความกะทัดรัดแบบอ่อนของทรงกลมหน่วย วิคเตอร์ แอล. คลี จึงได้ปรับปรุงเกณฑ์นี้ใหม่เป็นเกณฑ์ความกะทัดรัดสำหรับทรงกลมหน่วยในปี 1962 และถือว่าเกณฑ์นี้แสดงลักษณะของปริมาณที่กะทัดรัดแบบอ่อนใดๆ[ 4 ]จากนั้นเจมส์ก็ได้พิสูจน์สิ่งนี้จริงในปี 1964 [ 5 ]

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

สรุปเนื้อหา

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ ไม่มีชื่อบทความ

ใน ทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งใน การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ทฤษฎีบทของเจมส์ ซึ่งตั้งชื่อตาม โรเบิร์ต ซี.

แถลงการณ์

พื้นที่ X {\displaystyle X} ปริภูมิบานาคที่พิจารณาอาจเป็น ปริภูมิ บานาคจริงหรือเชิงซ้อนก็ได้ ปริภูมิคู่ต่อเนื่อง ของมันจะถูกแทนด้วย X ′ . {\displaystyle X^{\prime }.

ประวัติศาสตร์

ในอดีต ประโยคเหล่านี้ได้รับการพิสูจน์ในลำดับย้อนกลับ ในปี 1957 เจมส์ได้พิสูจน์เกณฑ์การสะท้อนกลับสำหรับปริภูมิบานาคที่แยกได้ [ 2 ] และในปี 1964 สำหรับปริภูมิบานาคทั่วไป [ 3 ] เนื่องจากเกณฑ์การสะท้อนกลับเทียบเท่ากับความกะทัดรัดแบบอ่อนของทรงกลมหน่วย วิคเตอร์ แอล.

ดูเพิ่มเติม

ทฤษฎีบทบานาค-อะลาโอกลู – ทฤษฎีบทในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ทฤษฎีบทบิชอป-เฟลป์ส บรรทัดฐานคู่ – การวัดบนปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน ทฤษฎีบทเอเบอร์ไลน์-ชมูเลียน – อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างความกะทัดรัดแบบอ่อนสามประเภทที่แตกต่างกันในปริภูมิบานาค...