ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงซ้อนทฤษฎีบทของจอร์แดนเป็นผลลัพธ์ที่ใช้ร่วมกับทฤษฎีบทเศษเหลือ บ่อยครั้ง ในการประเมินปริพันธ์ตามเส้นโค้งและปริพันธ์ไม่เหมาะสมทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อกามิลล์ จอร์แดน

พิจารณาฟังก์ชันต่อเนื่องfที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งกำหนดไว้บนเส้นโค้งครึ่งวงกลม

${\displaystyle C_{R}=\{Re^{i\theta }\mid \theta \in [0,\pi ]\}}$

มีรัศมีบวกRอยู่ในระนาบครึ่งบนโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ถ้าฟังก์ชันfอยู่ในรูปแบบ

${\displaystyle f(z)=e^{iaz}g(z),\quad z\in C,}$

เมื่อค่าพารามิเตอร์a เป็นค่าบวก ทฤษฎีบทของจอร์แดนจะระบุขอบเขตบนต่อไปนี้สำหรับปริพันธ์ตามเส้นโค้ง:

${\displaystyle \left|\int _{C_{R}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\quad {\text{โดยที่}}\quad M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|g\left(Re^{i\theta }\right)\right|.}$

โดยมีความเท่าเทียมกันเมื่อgเป็นศูนย์ทุกที่ ซึ่งในกรณีนี้ทั้งสองข้างจะเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ ข้อความที่คล้ายกันสำหรับเส้นโค้งครึ่งวงกลมในระนาบครึ่งล่างจะเป็นจริงเมื่อa < 0

หมายเหตุ

• ถ้าfต่อเนื่องบนเส้นโค้งครึ่งวงกลมC สำหรับR ที่มีค่ามากทั้งหมด และ

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }M_{R}=0}$

*

จากนั้นโดยทฤษฎีบทของจอร์แดน$${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{C_{R}}f(z)\,dz=0.}$$

• สำหรับกรณีa = 0โปรดดูทฤษฎีบทการประมาณค่า
• เมื่อเปรียบเทียบกับบทพิสูจน์การประมาณค่า ขอบเขตบนในบท พิสูจน์ของจอร์แดนไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของเส้นโค้งC

ทฤษฎีบทของจอร์แดนให้วิธีการง่ายๆ ในการคำนวณอินทิกรัลตามแกนจริงของฟังก์ชันf ( z ) = e ^{i az} g ( z ) ซึ่ง เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกระนาบครึ่งบนและต่อเนื่องบนระนาบครึ่งบนปิด ยกเว้นอาจจะมีจุดที่ไม่ใช่จำนวนจริงจำนวนจำกัดz1 , z2 …, znพิจารณาเส้นโค้งปิดซึ่งเป็นการต่อกันของเส้นทางC1และC2 ในภาพ ตามคำนิยาม

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{C_{1}}f(z)\,dz+\int _{C_{2}}f(z)\,dz\,.}$

เนื่องจากบนC ตัวแปรzเป็นจำนวนจริง ดังนั้นปริพันธ์ที่สองจึงเป็นจำนวนจริง:

${\displaystyle \int _{C_{2}}f(z)\,dz=\int _{-R}^{R}f(x)\,dx\,.}$

The left-hand side may be computed using the residue theorem to get, for all R larger than the maximum of |z|, |z|, …, |z|,

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\ชื่อผู้ดำเนินการ {Res} (f,z_{k})\,,}$

where Res(f, z) denotes the residue of f at the singularity z. Hence, if f satisfies condition (*), then taking the limit as R tends to infinity, the contour integral over C vanishes by Jordan's lemma and we get the value of the improper integral

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,.}$

The function

${\displaystyle f(z)={\frac {e^{iz}}{1+z^{2}}},\qquad z\in {\mathbb {C} }\setminus \{i,-i\},}$

satisfies the condition of Jordan's lemma with a = 1 for all R > 0 with R ≠ 1. Note that, for R > 1,

${\displaystyle M_{R}=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\frac {1}{|1+R^{2}e^{2i\theta }|}}={\frac {1}{R^{2}-1}}\,,}$

hence (*) holds. Since the only singularity of f in the upper half plane is at z = i, the above application yields

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx=2\pi i\,\operatorname {Res} (f,i)\,.}$

Since z = i is a simple pole of f and 1 + z² = (z + i)(z − i), we obtain

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,i)=\lim _{z\to i}(zi)f(z)=\lim _{z\to i}{\frac {e^{iz}}{z+i}}={\frac {e^{-1}}{2i}}}$

so that

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{1+x^{2}}}\,dx=\operatorname {Re} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{e}}\,.}$

This result exemplifies the way some integrals difficult to compute with classical methods are easily evaluated with the help of complex analysis.

This example shows that Jordan's lemma can be used instead of a much simpler estimation lemma. Indeed, estimation lemma suffices to calculate ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx}$, as well as ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{1+x^{2}}}\,dx}$, Jordan's lemma here is unnecessary.

By definition of the complex line integral,

${\displaystyle \int _{C_{R}}f(z)\,dz=\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}\,iRe^{i\theta }\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }\,d\theta \,.}$

Now the inequality

${\displaystyle {\biggl |}\int _{a}^{b}f(x)\,dx{\biggr |}\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx}$

yields

${\displaystyle I_{R}:={\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)\,dz{\biggr |}\leq R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }{\bigr |}\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta }){\bigr |}\,e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.}$

Using M as defined in (*) and the symmetry sin θ = sin(π − θ), we obtain

${\displaystyle I_{R}\leq RM_{R}\int _{0}^{\pi }e^{-aR\sin \theta }\,d\theta =2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.}$

Since the graph of sin θ is concave on the interval θ ∈ [0, π ⁄ 2], the graph of sin θ lies above the straight line connecting its endpoints, hence

${\displaystyle \sin \theta \geq {\frac {2\theta }{\pi }}\quad }$

for all θ ∈ [0, π ⁄ 2], which further implies

${\displaystyle I_{R}\leq 2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-2aR\theta /\pi }\,d\theta ={\frac {\pi }{a}}(1-e^{-aR})M_{R}\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\,.}$

• Estimation lemma