การรวมความเชื่อ^{[ 1 ]}หรือที่เรียกว่าการรวมความเสี่ยง^{[ 2 ]}การรวมความคิดเห็น^{[ 3 ]}หรือการรวมความคิดเห็นเชิงความน่าจะเป็น^{[ 4 ]}เป็นกระบวนการที่การแจกแจงความน่าจะเป็น ที่แตกต่างกัน ซึ่งสร้างขึ้นโดยผู้เชี่ยวชาญที่แตกต่างกันจะถูกรวมเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้การแจกแจงความน่าจะเป็นเดียว

ความคิดเห็นของผู้เชี่ยวชาญมักไม่แน่นอน แทนที่จะพูดว่า "พรุ่งนี้ฝนจะตก" ผู้เชี่ยวชาญด้านสภาพอากาศอาจพูดว่า "ฝนจะตกด้วยความน่าจะเป็น 70% และแดดจะออกด้วยความน่าจะเป็น 30%" คำกล่าวเช่นนี้เรียกว่าความเชื่อผู้เชี่ยวชาญแต่ละคนอาจมีความเชื่อที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น ผู้เชี่ยวชาญด้านสภาพอากาศอีกคนอาจพูดว่า "ฝนจะตกด้วยความน่าจะเป็น 60% และแดดจะออกด้วยความน่าจะเป็น 40%" กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผู้เชี่ยวชาญแต่ละคนมีมุมมองความน่าจะเป็นที่เป็นอัตวิสัยต่อผลลัพธ์ที่กำหนดไว้

กฎการรวมความเชื่อคือฟังก์ชันที่รับอินพุตเป็นฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นสองฟังก์ชันขึ้นไปสำหรับชุดผลลัพธ์เดียวกัน และส่งคืนฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นเดียวสำหรับพื้นที่เดียวกัน

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้การรวบรวมความเชื่อที่ได้รับการบันทึกไว้ ได้แก่:

• การทำนายกิจกรรมภูเขาไฟ^{[ 5 ] [ 6 ]}
• การคาด การณ์ความเป็นไปได้ของการเปลี่ยนแปลงสภาพภูมิอากาศอย่างฉับพลัน^{[ 7 ]}
• การคาดการณ์ จำนวนประชากรหมีขั้วโลกในอนาคต^{[ 8 ]}

ในช่วงการระบาดของ COVID-19 สถาบันประสาทวิทยาแห่งยุโรปได้พัฒนาระบบการลงคะแนนแบบสามรอบเฉพาะกิจเพื่อรวบรวมความคิดเห็นของผู้เชี่ยวชาญและบรรลุฉันทามติ^{[ 9 ]}

กฎการรวมความเชื่อทั่วไป ได้แก่:

• การรวมเชิงเส้น (หรือเรียกว่ากฎการลงคะแนนเฉลี่ย ) - การเลือก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนักหรือไม่ถ่วงน้ำหนักของรายงานของผู้เชี่ยวชาญ
• การรวมแบบเรขาคณิต - การเลือกค่าเฉลี่ยเรขาคณิตแบบ ถ่วงน้ำหนักหรือไม่ถ่วงน้ำหนัก ของรายงาน
• การรวมแบบคูณ - การเลือกผลคูณของความน่าจะเป็น

Dietrich และ List ^{[ 4 ]}นำเสนอการกำหนดลักษณะเชิงสัจพจน์ของกฎแต่ละประเภท พวกเขาโต้แย้งว่าการรวมเชิงเส้นสามารถพิสูจน์ได้ "ในเชิงกระบวนการ" แต่ไม่ใช่ "ในเชิงญาณวิทยา" ในขณะที่กฎอีกสองข้อสามารถพิสูจน์ได้ในเชิงญาณวิทยา การรวมเชิงเรขาคณิตได้รับการพิสูจน์เมื่อความเชื่อของผู้เชี่ยวชาญขึ้นอยู่กับข้อมูลเดียวกัน และการรวมเชิงคูณได้รับการพิสูจน์เมื่อความเชื่อของผู้เชี่ยวชาญขึ้นอยู่กับข้อมูลส่วนตัว

โดยทั่วไปแล้ว กฎการรวมความเชื่อควรมีคุณสมบัติหรือสัจพจน์ที่พึงประสงค์บางประการ:

• การรักษาศูนย์^{[ 3 ]}หมายความว่า หากผู้เชี่ยวชาญทั้งหมดเห็นพ้องกันว่าเหตุการณ์หนึ่งมีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ ก็ควรจะเป็นเช่นนั้นในการกระจายแบบรวม สัจพจน์ที่เทียบเท่ากันคือการรักษาฉันทามติ^{[ 10 ]}หรือการรักษาความแน่นอน^{[ 1 ]}ซึ่งหมายความว่า หากผู้เชี่ยวชาญทั้งหมดเห็นพ้องกันว่าเหตุการณ์หนึ่งมีความน่าจะเป็นเป็น 1 ก็ควรจะเป็นเช่นนั้นในการกระจายแบบรวม นี่เป็นสัจพจน์พื้นฐานที่สอดคล้องกับการรวมเชิงเส้น เรขาคณิต และการคูณ รวมถึงการรวมอื่นๆ อีกมากมาย
• การรักษาความน่าจะเป็นหมายความว่า หากผู้เชี่ยวชาญทุกคนเห็นพ้องต้องกันว่าเหตุการณ์หนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นเป็นบวก ผลลัพธ์ที่ได้จากการรวมข้อมูลก็ควรจะเป็นเช่นเดียวกัน หลักการนี้เป็นไปตามการรวมข้อมูลแบบเชิงเส้น
• หลักการความได้สัดส่วนหมายความว่า หากผู้เชี่ยวชาญแต่ละคนกำหนดความน่าจะเป็น 1 ให้กับผลลัพธ์เดียว การกระจายโดยรวมจะเป็นค่าเฉลี่ย (หรือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก) ของความเชื่อของผู้เชี่ยวชาญ หลักการนี้เป็นไปตามการรวมเชิงเส้น
• ความหลากหลายนั้นแข็งแกร่งกว่าสัดส่วน หมายความว่า การสนับสนุนจากผลรวมของการกระจายตัวนั้นครอบคลุมการสนับสนุนจากความเชื่อของผู้เชี่ยวชาญทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากเหตุการณ์ใดมีโอกาสเกิดขึ้นเป็นบวกอย่างน้อยหนึ่งครั้งสำหรับผู้เชี่ยวชาญหนึ่งคน เหตุการณ์นั้นก็จะมีโอกาสเกิดขึ้นเป็นบวกสำหรับสังคมโดยรวม หลักการนี้เป็นไปตามการรวมแบบเชิงเส้น

วรรณกรรมส่วนใหญ่เกี่ยวกับการรวบรวมความเชื่อถือว่าผู้เชี่ยวชาญรายงานความเชื่อของตนอย่างตรงไปตรงมา เนื่องจากเป้าหมายหลักของพวกเขาคือการช่วยให้ผู้ตัดสินใจเข้าถึงความจริง ในทางปฏิบัติ ผู้เชี่ยวชาญอาจมีแรงจูงใจเชิงกลยุทธ์ ตัวอย่างเช่นFDAใช้คณะกรรมการที่ปรึกษา และมีข้อโต้แย้งเกิดขึ้นเนื่องจากความขัดแย้งทางผลประโยชน์ภายในคณะกรรมการเหล่านี้^{[ 11 ]}ดังนั้นกลไกที่เที่ยงตรงสำหรับการรวบรวมความเชื่อจึงอาจเป็นประโยชน์

ในบางสถานการณ์ อาจสามารถจ่ายเงินจำนวนหนึ่งให้กับผู้เชี่ยวชาญได้ โดยขึ้นอยู่กับทั้งความเชื่อที่พวกเขาแสดงออกและผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นจริง การออกแบบฟังก์ชันการจ่ายเงินอย่างรอบคอบ (มักเรียกว่า " กฎการให้คะแนน ") สามารถนำไปสู่กลไกที่เที่ยงตรงได้ มีกฎการให้คะแนนที่เที่ยงตรงหลายแบบ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

ในบางสถานการณ์ การโอนเงินอาจไม่สามารถทำได้ ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์ที่คาดหวังอาจเกิดขึ้นในอนาคตอันไกล หรือการตัดสินใจที่ผิดพลาดอาจส่งผลร้ายแรง

ในการพัฒนากลไกที่เที่ยงตรง จำเป็นต้องตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับความชอบของผู้เชี่ยวชาญเหนือชุดของการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ยอมรับได้ หากพื้นที่ของความชอบที่เป็นไปได้นั้นกว้างเกินไป ผลลัพธ์ที่เป็นไปไม่ได้อย่างรุนแรงจะบ่งชี้ว่ากลไกที่เที่ยงตรงเพียงอย่างเดียวคือกลไกเผด็จการ (ดูทฤษฎีบท Gibbard–Satterthwaite )

ข้อจำกัดโดเมนที่มีประโยชน์คือผู้เชี่ยวชาญมีความชอบแบบยอดเดียวกฎการรวมเรียกว่ากลยุทธ์พิสูจน์แบบมิติเดียว(1D-SP)หากเมื่อใดก็ตามที่ผู้เชี่ยวชาญทั้งหมดมีความชอบแบบยอดเดียว และส่งยอดของพวกเขาไปยังกฎการรวม จะไม่มีผู้เชี่ยวชาญคนใดสามารถกำหนดการกระจายแบบรวมที่ดีกว่าอย่างเคร่งครัดได้โดยการรายงานยอดที่ผิดพลาด คุณสมบัติที่เทียบเท่ากันเรียกว่าความไม่ประนีประนอม: ^{[ 16 ]}กล่าวคือ หากความเชื่อของผู้เชี่ยวชาญiน้อยกว่าการกระจายแบบรวม และ i เปลี่ยนรายงานของเขา การกระจายแบบรวมจะใหญ่ขึ้นเล็กน้อย และในทางกลับกัน

Moulin ^{[ 17 ]}พิสูจน์ลักษณะเฉพาะของกฎ 1D-SP ทั้งหมด รวมถึงลักษณะเฉพาะสองประการต่อไปนี้:

• กฎจะเป็นแบบไม่ระบุตัวตนและเป็นแบบ 1 มิติ-SP สำหรับความชอบที่มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียวทั้งหมดก็ต่อเมื่อมันเทียบเท่ากับกฎการลงคะแนนแบบมัธยฐาน ที่มี "ตัวแทน" ไม่เกินn + 1 ตัว
• กฎจะเป็นแบบไม่ระบุตัวตน 1D-SP และมีประสิทธิภาพแบบพาเรโตสำหรับความชอบที่มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียวก็ต่อเมื่อมันเทียบเท่ากับกฎการลงคะแนนแบบมัธยฐาน ที่มี ภาพลวงตาไม่เกินn - 1 ตัว

Jennings, Laraki, Puppe และ Varloot ^{[ 18 ]}นำเสนอการกำหนดลักษณะใหม่ของกลไกป้องกันกลยุทธ์ที่มีความชอบแบบยอดเดียว

ข้อจำกัดเพิ่มเติมของโดเมนแบบยอดเดียวคือ ตัวแทนแต่ละคนมีรูปแบบความชอบแบบยอดเดียวโดยใช้เมตริก L1บนฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นกล่าวคือ สำหรับตัวแทนแต่ละคนiจะมีการกระจายความน่าจะเป็น "ในอุดมคติ" p _iและอรรถประโยชน์ของเขาจากการกระจายความน่าจะเป็นที่เลือกp * คือลบระยะทาง L1 ระหว่างp _iและp*กฎการรวมเรียกว่าL1-metric-strategyproof (L1-metric-SP)หากเมื่อใดก็ตามที่ผู้เชี่ยวชาญทั้งหมดมีรูปแบบความชอบแบบยอดเดียวโดยใช้เมตริก L1 และส่งค่ายอดของตนไปยังกฎการรวมแล้ว ไม่มีผู้เชี่ยวชาญคนใดสามารถกำหนดการกระจายที่รวมแล้วที่ดีกว่าอย่างเคร่งครัดได้โดยการรายงานค่ายอดที่ผิดพลาด มีการเสนอกฎการรวม L1-metric-SP หลายข้อในบริบทของการรวมข้อเสนองบประมาณ :

• Goel, Krishnaswamy และ Sakshuwong ^{[ 19 ]}พิสูจน์การมีอยู่ของกฎการรวม Pareto ที่เหมาะสมที่สุดซึ่งก็คือ L1-metric-SP
• Freeman, Pennock, Peters และ Vaughan ^{[ 20 ]}นำเสนอกฎที่เรียกว่าmoving phantoms ซึ่งเป็น L1-metric-SP และตรงตามคุณสมบัติความยุติธรรม (แต่ไม่ใช่ Pareto-optimal) พวกเขายังนำ เสนอกฎ L1-metric-SP ตระกูลหนึ่งโดยอิงตามกฎค่ามัธยฐาน

อย่างไรก็ตาม ความชอบดังกล่าวอาจไม่เหมาะสมกับการรวมความเชื่อ เนื่องจากเป็นกลาง กล่าวคือ ไม่ได้แยกแยะความแตกต่างระหว่างผลลัพธ์ต่างๆ ตัวอย่างเช่น สมมติว่ามีผลลัพธ์สามอย่าง และความเชื่อของผู้เชี่ยวชาญp _iกำหนดให้ผลลัพธ์ที่ 1 มีค่า 100% ดังนั้น ค่าเมตริก L1 ระหว่างp _iกับ "ผลลัพธ์ที่ 2 ที่มีค่า 100%" คือ 2 และค่าเมตริก L1 ระหว่างp _iกับ "ผลลัพธ์ที่ 3 ที่มีค่า 100%" ก็คือ 2 เช่นกัน หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับเมตริกที่เป็นกลางใดๆ ด้วย ซึ่งจะสมเหตุสมผลเมื่อ 1, 2, 3 เป็นรายการงบประมาณ อย่างไรก็ตาม หากผลลัพธ์เหล่านี้อธิบายถึงความรุนแรงที่อาจเกิดขึ้นของแผ่นดินไหวในมาตราริกเตอร์ ระยะห่างระหว่างp _iกับ "ผลลัพธ์ที่ 2 ที่มีค่า 100%" ควรจะน้อยกว่าระยะห่างกับ "ผลลัพธ์ที่ 3 ที่มีค่า 100%" มาก

Varloot และ Laraki ^{[ 1 ]}ศึกษาโดเมนความชอบที่แตกต่างกัน ซึ่งผลลัพธ์เรียงลำดับเชิงเส้นและความชอบมีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียวในพื้นที่ของฟังก์ชันการกระจายสะสม (cdf)นั่นคือ ตัวแทนแต่ละคนiมีฟังก์ชันการกระจายสะสมในอุดมคติc _iและอรรถประโยชน์ของเขาขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างc _iและการกระจายที่ยอมรับc* ในเชิงลบ พวกเขากำหนดแนวคิดใหม่ที่เรียกว่าระดับการป้องกันกลยุทธ์ (Level-SP)ซึ่งมีความเกี่ยวข้องเมื่อการตัดสินใจของสังคมขึ้นอยู่กับคำถามว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างอยู่เหนือหรือต่ำกว่าเกณฑ์ที่กำหนดหรือไม่ Level-SP พิสูจน์ได้ว่าบ่งชี้ถึงการป้องกันกลยุทธ์สำหรับคลาสที่หลากหลายของความชอบที่มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียวของ cdf พวกเขากำหนดลักษณะของกฎการรวมใหม่สองข้อ:

• กฎการสะสมตามลำดับเป็นกฎการรวมข้อมูลเพียงชุดเดียวที่ตรงตามเงื่อนไข Level-SP, การไม่เปิดเผยตัวตน, การรักษาความแน่นอน และการรักษาความสมเหตุสมผล กรณีพิเศษของกฎชุดนี้คือการสะสมแบบกึ่งกลาง ซึ่งเป็นการสะสมตามลำดับโดยอิงจากค่ามัธยฐาน
  • อย่างไรก็ตาม กฎเหล่านี้ไม่หลากหลายตัวอย่างเช่น หากผู้เชี่ยวชาญสามคนรายงานว่า "ผลลัพธ์ที่ 1 มีโอกาส 99%" และผู้เชี่ยวชาญหนึ่งคนรายงานว่า "ผลลัพธ์ที่ 2 มีโอกาส 99%" กฎการสะสมลำดับทุกข้อจะเลือก "ผลลัพธ์ที่ 1 มีโอกาส 99%" หรือ "ผลลัพธ์ที่ 2 มีโอกาส 99%" อย่างใดอย่างหนึ่ง ในขณะที่ผลลัพธ์เช่น "ผลลัพธ์ที่ 1 มีโอกาส 75% และผลลัพธ์ที่ 2 มีโอกาส 25%" นั้นสมเหตุสมผลกว่า
• กฎสัดส่วนสะสมเป็นกฎการรวมข้อมูลเพียงกฎเดียวที่ตรงตามเงื่อนไข Level-SP และความเป็นสัดส่วน นอกจากนี้ยังจัดการกับโปรไฟล์ที่มีการครอบงำ (โดยที่ฟังก์ชันการกระจายสะสมของตัวแทนi แต่ละตัวอยู่เหนือหรือต่ำกว่าฟังก์ชันการกระจายสะสมของตัวแทน jอื่นๆ อย่างสมบูรณ์) ได้อย่างเป็นธรรมชาติ อย่างไรก็ตาม กฎนี้ขัดแย้งกับการรักษาความน่าจะเป็น

ผลลัพธ์อื่นๆ ได้แก่:

• ไม่มีกฎการรวมข้อมูลใดที่สามารถตอบสนองความต้องการด้านความหลากหลาย ระดับ SP และฉันทามติได้พร้อมกัน
• เมื่อมีผลลัพธ์อย่างน้อย 4 อย่าง กฎเดียวที่ตรงตามเงื่อนไข Level-SP, L1-metric-SP และการรักษาความแน่นอน คือระบอบเผด็จการ (มีกฎที่ตรงตามเงื่อนไข Level-SP และ L1-metric-SP แต่ไม่ตรงตามเงื่อนไขการรักษาความแน่นอน สำหรับผลลัพธ์ 3 อย่าง กฎ Level-SP ทุกข้อก็จะตรงตามเงื่อนไข L1-metric-SP ด้วย)
• ผลลัพธ์ส่วนใหญ่สามารถนำไปปรับใช้เพื่อกำหนดค่าน้ำหนักที่แตกต่างกันให้กับผู้เชี่ยวชาญแต่ละคน (ซึ่งแสดงถึงระดับความเชี่ยวชาญของพวกเขา) ได้
• วิธีการลงคะแนนแบบใหม่: การตัดสินโดยเสียงข้างมากพร้อมความไม่แน่นอน (MJU) เป็นรูปแบบหนึ่งของการตัดสินโดยเสียงข้างมากที่อนุญาตให้ผู้ลงคะแนนแสดงความไม่แน่ใจเกี่ยวกับคุณสมบัติของผู้สมัครแต่ละคนได้

ANDURIL ^{[ 21 ]}เป็น กล่องเครื่องมือ MATLABสำหรับการรวมความเชื่อ

• การพยากรณ์แบบกลุ่ม (Ensemble forecasting ) - แทนที่จะพยากรณ์สภาพอากาศที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดเพียงครั้งเดียว จะมีการสร้างชุดการพยากรณ์ (หรือกลุ่มการพยากรณ์) ขึ้นมา โดยมีเป้าหมายเพื่อบ่งชี้ถึงช่วงของสภาวะบรรยากาศที่เป็นไปได้ในอนาคต
• โครงการประมาณการแบบมีเงื่อนไขเชิงรวม - โครงการของสำนักงานวิเคราะห์เชิงลึกที่ดำเนินการระหว่างปี 2010 ถึง 2015
• การบูรณาการข้อมูล - สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่มุ่งผสมผสานทฤษฎี (โดยปกติอยู่ในรูปของแบบจำลองเชิงตัวเลข) กับการสังเกตการณ์อย่างเหมาะสมที่สุด
• กฎการให้คะแนน - สามารถนำมาใช้เพื่อเป็นแรงจูงใจให้เกิดการรวบรวมความเชื่อที่ถูกต้องได้
• การรวมข้อมูลจากเซ็นเซอร์ - การนำข้อมูลจากเซ็นเซอร์จากแหล่งต่างๆ มาผสานรวมกัน
• การรวบรวมข้อเสนองบประมาณ - ปัญหาที่คล้ายคลึงกัน โดยที่ผู้เชี่ยวชาญแต่ละคนรายงานการจัดสรรงบประมาณในอุดมคติของตน และเป้าหมายคือการรวบรวมรายงานเหล่านั้นให้เป็นการจัดสรรงบประมาณที่เท่าเทียมกัน
• การผสานความเชื่อ - คล้ายกับการรวมความเชื่อ แต่ความเชื่อเหล่านั้นกำหนดโดยสูตรทางตรรกะแทนที่จะเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็น

มีหนังสือหลายเล่มเกี่ยวกับหัวข้อที่เกี่ยวข้อง^{[ 22 ] [ 23 ] [ 3 ]}