ตัว ประมาณค่า Kaplan –Meier ^{[ 1 ] [ 2 ]}หรือที่รู้จักกันในชื่อตัวประมาณค่าขีดจำกัดผลคูณเป็นสถิติแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ ที่ใช้ในการประมาณฟังก์ชันการอยู่รอดจากข้อมูลอายุขัย ในการวิจัยทางการแพทย์ มักใช้ในการวัดสัดส่วนของผู้ป่วยที่ยังมีชีวิตอยู่เป็นระยะเวลาหนึ่งหลังจากได้รับการรักษา ในสาขาอื่นๆ ตัวประมาณค่า Kaplan–Meier อาจใช้ในการวัดระยะเวลาที่ผู้คนยังคงว่างงานหลังจากตกงาน^{[ 3 ]}ระยะเวลาที่ชิ้นส่วนเครื่องจักรจะเสีย หรือระยะเวลาที่ผลไม้เนื้อนุ่มยังคงอยู่บนต้นก่อนที่จะถูกสัตว์ กินผลไม้กิน ตัวประมาณ ค่านี้ตั้งชื่อตามEdward L. KaplanและPaul Meierซึ่งแต่ละคนได้ส่งต้นฉบับที่คล้ายกันไปยังวารสารของสมาคมสถิติอเมริกัน^{[ 4 ]}บรรณาธิการวารสารJohn Tukeyได้โน้มน้าวให้พวกเขารวมงานของพวกเขาเข้าเป็นบทความเดียว ซึ่งได้รับการอ้างอิงมากกว่า 34,000 ครั้งนับตั้งแต่ตีพิมพ์ในปี 1958 ^{[ 5 ] [ 6 ]}

ตัวประมาณค่าของฟังก์ชันการอยู่รอด (ความน่าจะเป็นที่อายุขัยจะยาวนานกว่า) กำหนดโดย: ${\displaystyle S(t)}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\widehat {S}}(t)=\prod \limits _{i:\ t_{i}\leq t}\left(1-{\frac {d_{i}}{n_{i}}}\right),}$

โดยมีช่วงเวลาที่เกิดเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์d _i คือ จำนวนเหตุการณ์ (เช่น การเสียชีวิต) ที่เกิดขึ้น ณ เวลาและจำนวนบุคคลที่ทราบว่ารอดชีวิต (ยังไม่เกิดเหตุการณ์หรือถูกตัดออกจากระบบ) จนถึงเวลา ${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$

กราฟแสดงค่าประมาณของ Kaplan–Meier คือชุดของขั้นบันไดแนวนอนที่ลดลง ซึ่งเมื่อขนาดตัวอย่างมีขนาดใหญ่พอ จะเข้าใกล้ฟังก์ชันการอยู่รอดที่แท้จริงของประชากรนั้น โดยถือว่าค่าของฟังก์ชันการอยู่รอดระหว่างการสังเกตตัวอย่างที่แตกต่างกันต่อเนื่องกัน ("คลิก") มีค่าคงที่

ข้อดีที่สำคัญอย่างหนึ่งของเส้นโค้ง Kaplan–Meier คือ วิธีนี้สามารถพิจารณาข้อมูลที่ถูกตัดตอน บางประเภทได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการตัดตอนทางขวาซึ่งเกิดขึ้นเมื่อผู้ป่วยถอนตัวจากการศึกษาติดตามผลไม่ได้หรือยังมีชีวิตอยู่โดยไม่มีเหตุการณ์ใดเกิดขึ้นในการติดตามผลครั้งสุดท้าย บนกราฟ เครื่องหมายขีดเล็กๆ แนวตั้งจะแสดงผู้ป่วยแต่ละรายที่มีเวลาการรอดชีวิตถูกตัดตอนทางขวา เมื่อไม่มีการตัดทอนหรือการตัดตอนเกิดขึ้น เส้นโค้ง Kaplan–Meier จะเป็นส่วนเติมเต็มของ ฟังก์ชันการกระจาย เชิง ประจักษ์

ในสถิติทางการแพทย์การประยุกต์ใช้ทั่วไปอาจเกี่ยวข้องกับการจัดกลุ่มผู้ป่วยออกเป็นหมวดหมู่ เช่น ผู้ป่วยที่มีลักษณะทางพันธุกรรมแบบยีน A และผู้ป่วยที่มีลักษณะทางพันธุกรรมแบบยีน B ในกราฟ ผู้ป่วยที่มีลักษณะทางพันธุกรรมแบบยีน B เสียชีวิตเร็วกว่าผู้ป่วยที่มีลักษณะทางพันธุกรรมแบบยีน A มาก หลังจากสองปี ผู้ป่วยที่มีลักษณะทางพันธุกรรมแบบยีน A ประมาณ 80% รอดชีวิต แต่ผู้ป่วยที่มีลักษณะทางพันธุกรรมแบบยีน B รอดชีวิตน้อยกว่าครึ่งหนึ่ง

ในการสร้างตัวประมาณค่า Kaplan–Meier จำเป็นต้องมีข้อมูลอย่างน้อยสองส่วนสำหรับผู้ป่วยแต่ละราย (หรือแต่ละบุคคล) ได้แก่ สถานะในการสังเกตครั้งสุดท้าย (การเกิดเหตุการณ์หรือการถูกตัดตอนทางขวา) และเวลาที่เกิดเหตุการณ์ (หรือเวลาที่เกิดการถูกตัดตอน) หากต้องการเปรียบเทียบฟังก์ชันการอยู่รอดระหว่างสองกลุ่มขึ้นไป จำเป็นต้องมีข้อมูลส่วนที่สาม ได้แก่ การกำหนดกลุ่มของแต่ละบุคคล^{[ 7 ]}

ให้ t เป็นตัวแปรสุ่มแทนเวลาที่ผ่านไประหว่างจุดเริ่มต้นของช่วงเวลาการสัมผัสที่เป็นไปได้ t₀ และเวลาที่เหตุการณ์ที่สนใจเกิดขึ้นt₁ ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น เป้าหมายคือการประมาณฟังก์ชันการอยู่รอดที่อยู่เบื้องหลังt₀ โปรดจำไว้ว่าฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดเป็น t₁/t₂ ${\displaystyle \tau \geq 0}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle S(t)=\operatorname {Prob} (\tau >t)}$แล้วเวลาอยู่ที่ไหนล่ะ?${\displaystyle t=0,1,\dots }$

ให้และ เป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงเหมือนกัน โดยมีการแจกแจงร่วมกันคือ: คือเวลาสุ่มที่เหตุการณ์บางอย่างเกิดขึ้น ข้อมูลที่มีอยู่สำหรับการประมาณค่าไม่ใช่แต่เป็นรายการของคู่โดยที่ สำหรับ จะเป็น จำนวนเต็มคงที่ที่กำหนดได้ คือเวลาการเซ็นเซอร์ของเหตุการณ์และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อมูลที่มีอยู่เกี่ยวกับช่วงเวลาของเหตุการณ์คือ เหตุการณ์เกิดขึ้นก่อนเวลาที่กำหนดหรือไม่และถ้าใช่ เวลาจริงของเหตุการณ์ก็มีอยู่ด้วย ความท้าทายคือการประมาณค่าโดยใช้ข้อมูลเหล่านี้ ${\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{n}\geq 0}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau _{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (\tau _{j})_{j=1,\dots ,n}}$${\displaystyle (\,({\tilde {\tau }__{j},c_{j})\,)_{j=1,\dots ,n}}$${\displaystyle j\in [n]:=\{1,2,\dots ,n\}}$${\displaystyle c_{j}\geq 0}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\tilde {\tau }__{j}=\min(\tau _{j},c_{j})}$${\displaystyle j}$${\displaystyle c_{j}}$${\displaystyle S(t)}$

แสดงวิธีการหาค่าประมาณของ Kaplan–Meier สองวิธี โดยทั้งสองวิธีใช้การเขียนฟังก์ชันการอยู่รอดใหม่ในรูปของสิ่งที่บางครั้งเรียกว่าอัตราความเสี่ยงหรืออัตราการตายอย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะทำเช่นนั้น ควรพิจารณาค่าประมาณแบบง่ายๆ ก่อน

เพื่อให้เข้าใจถึงประสิทธิภาพของตัวประมาณค่าแบบ Kaplan–Meier เราควรเริ่มต้นด้วยการอธิบายตัวประมาณค่าแบบง่ายๆ ของฟังก์ชันการอยู่รอดก่อน

กำหนดค่าคงที่และปล่อยให้ค่าคงที่นั้นเป็นจริง การให้เหตุผลพื้นฐานแสดงให้เห็นว่าข้อเสนอต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle k\in [n]:=\{1,\dots ,n\}}$${\displaystyle t>0}$

ข้อเสนอที่ 1:ถ้าเวลาเซ็นเซอร์ของเหตุการณ์เกิน( ) แล้วก็ต่อเมื่อ เท่านั้น${\displaystyle c_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle t}$${\displaystyle c_{k}\geq t}$${\displaystyle {\tilde {\tau }__{k}\geq t}$${\displaystyle \tau _{k}\geq t}$

ให้เป็นเช่นนั้นจากข้อเสนอข้างต้น จะได้ว่า ${\displaystyle k}$${\displaystyle c_{k}\geq t}$

${\displaystyle \operatorname {Prob} (\tau _{k}\geq t)=\operatorname {Prob} ({\tilde {\tau }__{k}\geq t)}$

ให้และพิจารณาเฉพาะเหตุการณ์เหล่านั้นกล่าวคือ เหตุการณ์ที่ผลลัพธ์ไม่ได้ถูกตัดตอนก่อนเวลาให้เป็นจำนวนองค์ประกอบในโปรดทราบว่าเซตไม่ใช่เซตสุ่ม ดังนั้น ก็ไม่ใช่เซตสุ่มเช่นกันนอกจากนี้ เป็นลำดับของ ตัวแปรสุ่มเบอร์นูลีอิสระที่มีการแจกแจงเหมือนกันโดยมีพารามิเตอร์ร่วมกันสมมติว่าสิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าควรประมาณค่าโดยใช้ ${\displaystyle X_{k}=\mathbb {I} ({\tilde {\tau }}_{k}\geq t)}$${\displaystyle k\in C(t):=\{k\,:\,c_{k}\geq t\}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle m(t)=|C(t)|}$${\displaystyle C(t)}$${\displaystyle C(t)}$${\displaystyle m(t)}$${\displaystyle (X_{k})_{k\in C(t)}}$${\displaystyle S(t)=\operatorname {Prob} (\tau \geq t)}$${\displaystyle m(t)>0}$${\displaystyle S(t)}$

${\displaystyle {\hat {S}}_{\text{naive}}(t)={\frac {1}{m(t)}}\sum _{k:c_{k}\geq t}X_{k}={\frac {|\{1\leq k\leq n\,:\,{\tilde {\tau }}_{k}\geq t\}|}{|\{1\leq k\leq n\,:\,c_{k}\geq t\}|}}={\frac {|\{1\leq k\leq n\,:\,{\tilde {\tau }}_{k}\geq t\}|}{m(t)}},}$

โดยความเท่าเทียมกันข้อที่สองเป็นผลมาจากการที่ หมายความว่า ในขณะที่ความเท่าเทียมกันข้อสุดท้ายเป็นเพียงการเปลี่ยนสัญลักษณ์เท่านั้น ${\displaystyle {\tilde {\tau }__{k}\geq t}$${\displaystyle c_{k}\geq t}$

คุณภาพของการประมาณค่านี้ขึ้นอยู่กับขนาดของซึ่งอาจเป็นปัญหาเมื่อมีขนาดเล็ก ซึ่งเกิดขึ้นตามนิยามเมื่อเหตุการณ์จำนวนมากถูกตัดทอน คุณสมบัติที่ไม่พึงประสงค์อย่างยิ่งของตัวประมาณค่านี้ ซึ่งบ่งชี้ว่าอาจไม่ใช่ตัวประมาณค่าที่ดีที่สุด คือ มันละเลยข้อมูลทั้งหมดที่เวลาถูกตัดทอนเกิดขึ้นก่อน โดยสัญชาตญาณข้อมูลเหล่านี้ยังคงมีข้อมูลเกี่ยวกับตัวอย่างเช่น เมื่อสำหรับเหตุการณ์จำนวนมากที่มีก็เป็นจริงเช่นกัน เราสามารถอนุมานได้ว่าเหตุการณ์มักเกิดขึ้นเร็ว ซึ่งหมายความว่ามีขนาดใหญ่ ซึ่งผ่านทางหมายความว่าต้องมีขนาดเล็ก อย่างไรก็ตาม ข้อมูลนี้ถูกละเลยโดยตัวประมาณค่าแบบง่ายนี้ คำถามก็คือ มีตัวประมาณค่าใดที่ใช้ประโยชน์จากข้อมูลทั้งหมดได้ดีกว่าหรือไม่ นี่คือสิ่งที่ตัวประมาณค่า Kaplan–Meier ทำได้ โปรดทราบว่าตัวประมาณค่าแบบง่ายไม่สามารถปรับปรุงได้เมื่อไม่มีการตัดทอนเกิดขึ้น ดังนั้นความเป็นไปได้ในการปรับปรุงจึงขึ้นอยู่กับว่ามีการตัดทอนเกิดขึ้นหรือไม่ ${\displaystyle m(t)}$${\displaystyle m(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle S(t)}$${\displaystyle c_{k}<t}$${\displaystyle \tau _{k}<c_{k}}$${\displaystyle \operatorname {Prob} (\tau \leq t)}$${\displaystyle S(t)=1-\operatorname {Prob} (\tau \leq t)}$${\displaystyle S(t)}$

โดยการคำนวณอย่างง่าย

${\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=\operatorname {Prob} (\tau >t\mid \tau >t-1)\operatorname {Prob} (\tau >t-1)\\[4pt]&=(1-\operatorname {Prob} (\tau \leq t\mid \tau >t-1))\operatorname {Prob} (\tau >t-1)\\[4pt]&=(1-\operatorname {Prob} (\tau =t\mid \tau \geq t))\operatorname {Prob} (\tau >t-1)\\[4pt]&=q(t)S(t-1)\,,\end{aligned}}}$

โดยที่เครื่องหมายเท่ากับตัวรองสุดท้ายที่ใช้มีค่าเป็นจำนวนเต็ม และสำหรับบรรทัดสุดท้ายเราได้แนะนำ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle q(t)=1-\operatorname {Prob} (\tau =t\mid \tau \geq t).}$

โดยการขยายความเท่าเทียมกันแบบเวียนซ้ำเราจะได้ ${\displaystyle S(t)=q(t)S(t-1)}$

${\displaystyle S(t)=q(t)q(t-1)\cdots q(0).}$

โปรดสังเกตว่าตรงนี้ ${\displaystyle q(0)=1-\operatorname {Prob} (\tau =0\mid \tau >-1)=1-\operatorname {Prob} (\tau =0)}$

ตัวประมาณค่าแบบ Kaplan–Meier สามารถมองได้ว่าเป็น "ตัวประมาณค่าแบบเสียบค่า" โดยที่แต่ละค่าจะถูกประมาณจากข้อมูล และตัวประมาณค่าของจะได้มาจากการนำค่าประมาณเหล่านั้นมาคูณกัน ${\displaystyle q(s)}$${\displaystyle S(t)}$

ยังคงต้องระบุวิธีการประมาณค่า โดยใช้เหตุผลที่คล้ายคลึงกันกับที่นำไปสู่การสร้างตัวประมาณค่าแบบง่ายข้างต้น สำหรับค่า ใดๆ ที่และทั้งสองเงื่อนไขเป็นจริง ดังนั้น สำหรับค่าใดๆ ที่${\displaystyle q(s)=1-\operatorname {Prob} (\tau =s\mid \tau \geq s)}$${\displaystyle k\in [n]}$${\displaystyle c_{k}>s}$${\displaystyle \operatorname {Prob} (\tau =s)=\operatorname {Prob} ({\tilde {\tau }}_{k}=s)}$${\displaystyle \operatorname {Prob} (\tau \geq s)=\operatorname {Prob} ({\tilde {\tau }}_{k}\geq s)}$${\displaystyle k\in [n]}$${\displaystyle c_{k}>s}$

${\displaystyle \operatorname {Prob} (\tau =s|\tau \geq s)=\operatorname {Prob} ({\tilde {\tau }}_{k}=s)/\operatorname {Prob} ({\tilde {\tau }}_{k}\geq s).}$

ดังนั้นเราจึงได้ตัวประมาณค่า

${\displaystyle {\hat {q}}(s)=1-{\frac {|\{1\leq k\leq n\,:\,c_{k}>s,{\tilde {\tau }}_{k}=s\}|}{|\{1\leq k\leq n\,:\,c_{k}>s,{\tilde {\tau }}_{k}\geq s\}|}}}$

(ลองนึกถึงการประมาณค่าตัวเศษและตัวส่วนแยกกันในคำจำกัดความของ "อัตราความเสี่ยง" ) จากนั้นตัวประมาณค่าแบบ Kaplan–Meier จะกำหนดโดย ${\displaystyle \operatorname {Prob} (\tau =s|\tau \geq s)}$

${\displaystyle {\hat {S}}(t)=\prod _{s=0}^{t}{\hat {q}}(s).}$

รูปแบบของตัวประมาณค่าที่กล่าวไว้ในตอนต้นของบทความสามารถหาได้จากการคำนวณทางพีชคณิตเพิ่มเติม สำหรับขั้นตอนนี้ ให้เขียน โดยที่ ในศัพท์ทางคณิตศาสตร์ประกันภัย คือจำนวนผู้เสียชีวิตที่ทราบ ณ เวลาและคือจำนวนผู้ที่ยังมีชีวิตอยู่ (และไม่ถูกตัดออกจากข้อมูล) ณเวลา ${\displaystyle {\hat {q}}(s)=1-d(s)/n(s)}$${\displaystyle d(s)=|\{1\leq k\leq n\,:\,c_{k}>s,{\tilde {\tau }}_{k}=s\}|}$${\displaystyle s}$${\displaystyle n(s)=|\{1\leq k\leq n\,:\,c_{k}>s,{\tilde {\tau }}_{k}\geq s\}|}$${\displaystyle s}$

โปรดสังเกตว่าถ้า, . ซึ่งหมายความว่าเราสามารถละเว้น เงื่อนไขทั้งหมดที่. ออกจากผลคูณที่กำหนดได้ จากนั้น ให้ เป็นช่วงเวลาที่, และ, เราจะได้รูปแบบของตัวประมาณค่า Kaplan–Meier ที่ระบุไว้ในตอนต้นของบทความ: ${\displaystyle d(s)=0}$${\displaystyle {\hat {q}}(s)=1}$${\displaystyle {\hat {S}}(t)}$${\displaystyle d(s)=0}$${\displaystyle 0\leq t_{1}<t_{2}<\dots <t_{m}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle d(s)>0}$${\displaystyle d_{i}=d(t_{i})}$${\displaystyle n_{i}=n(t_{i})}$

${\displaystyle {\hat {S}}(t)=\prod _{i:t_{i}\leq t}\left(1-{\frac {d_{i}}{n_{i}}}\right).}$

เมื่อเปรียบเทียบกับตัวประมาณค่าแบบง่ายๆ ตัวประมาณค่านี้สามารถใช้ข้อมูลที่มีอยู่ได้อย่างมีประสิทธิภาพมากกว่า: ในกรณีพิเศษที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ เมื่อมีการบันทึกเหตุการณ์ในช่วงแรกจำนวนมาก ตัวประมาณค่าจะคูณพจน์หลายๆ พจน์ด้วยค่าที่ต่ำกว่าหนึ่ง และจะคำนึงถึงว่าความน่าจะเป็นของการอยู่รอดนั้นไม่น่าจะสูงมาก

ตัวประมาณค่า Kaplan–Meier สามารถหาได้จากการประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดของฟังก์ชันอัตราอันตราย แบบไม่ต่อ เนื่อง^{[ 8 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อกำหนดเป็นจำนวนเหตุการณ์และจำนวนบุคคลทั้งหมดที่มีความเสี่ยง ณ เวลา  อัตราอันตรายแบบไม่ต่อเนื่องสามารถกำหนดได้เป็นความน่าจะเป็นที่บุคคลจะมีเหตุการณ์ ณ เวลา  จากนั้นอัตราการรอดชีวิตสามารถกำหนดได้ดังนี้: ${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle h_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$

${\displaystyle S(t)=\prod \limits _{i:\ t_{i}\leq t}(1-h_{i})}$

และฟังก์ชันความน่าจะเป็นสำหรับฟังก์ชันอัตราความเสี่ยงจนถึงเวลาคือ: ${\displaystyle t_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(h_{j:j\leq i}\mid d_{j:j\leq i},n_{j:j\leq i})=\prod _{j=1}^{i}h_{j}^{d_{j}}(1-h_{j})^{n_{j}-d_{j}}{n_{j} \choose d_{j}}}$

ดังนั้นค่าลอการิทึมความน่าจะเป็นจะเป็นดังนี้:

${\displaystyle \log({\mathcal {L}})=\sum _{j=1}^{i}\left(d_{j}\log(h_{j})+(n_{j}-d_{j})\log(1-h_{j})+\log {n_{j} \choose d_{j}}\right)}$

การหาค่าสูงสุดของลอการิทึมความน่าจะเป็นโดยสัมพันธ์กับผลผลิต: ${\displaystyle h_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \log({\mathcal {L}})}{\partial h_{i}}}={\frac {d_{i}}{{\widehat {h}}_{i}}}-{\frac {n_{i}-d_{i}}{1-{\widehat {h}}_{i}}}=0\Rightarrow {\widehat {h}}_{i}={\frac {d_{i}}{n_{i}}}}$

โดยที่ hat ใช้เพื่อแสดงถึงการประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุด จากผลลัพธ์นี้ เราสามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle {\widehat {S}}(t)=\prod \limits _{i:\ t_{i}\leq t}\left(1-{\widehat {h}}_{i}\right)=\prod \limits _{i:\ t_{i}\leq t}\left(1-{\frac {d_{i}}{n_{i}}}\right)}$

โดยทั่วไป (สำหรับทั้งการแจกแจงการอยู่รอดแบบต่อเนื่องและแบบไม่ต่อเนื่อง) ตัวประมาณ Kaplan-Meier อาจตีความได้ว่าเป็นตัวประมาณความน่าจะเป็นสูงสุดแบบไม่ใช้พารามิเตอร์^{[ 9 ]}

วิธีการประมาณค่าแบบ Kaplan–Meier เป็นหนึ่งในวิธีการวิเคราะห์อัตราการรอดชีวิตที่ใช้บ่อยที่สุด การประมาณค่านี้อาจมีประโยชน์ในการตรวจสอบอัตราการฟื้นตัว ความน่าจะเป็นของการเสียชีวิต และประสิทธิภาพของการรักษา อย่างไรก็ตาม วิธีการนี้มีข้อจำกัดในการประมาณอัตราการรอดชีวิตที่ปรับค่าตามตัวแปร ควบคุม แบบจำลองการรอดชีวิตแบบพาราเมตริกและแบบจำลอง Cox proportional hazardsอาจมีประโยชน์ในการประมาณอัตราการรอดชีวิตที่ปรับค่าตามตัวแปรควบคุมได้

ตัวประมาณค่า Kaplan-Meier เกี่ยวข้องโดยตรงกับตัวประมาณค่า Nelson-Aalenและทั้งสองตัวจะเพิ่มค่าความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์ให้ สูงสุด ^{[ 10 ]}

ตัวประมาณค่า Kaplan–Meier เป็นสถิติและมีตัวประมาณค่าหลายตัวที่ใช้ในการประมาณค่าความแปรปรวนตัวประมาณค่าที่พบได้บ่อยที่สุดตัวหนึ่งคือสูตรของ Greenwood: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\widehat {\operatorname {Var} }}\left({\widehat {S}}(t)\right)={\widehat {S}}(t)^{2}\sum _{i:\ t_{i}\leq t}{\frac {d_{i}}{n_{i}(n_{i}-d_{i})}},}$

โดยที่คือจำนวนกรณี และคือจำนวนการสังเกตทั้งหมดสำหรับ ${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle t_{i}<t}$

ในบางกรณี อาจต้องการเปรียบเทียบเส้นโค้ง Kaplan–Meier ที่แตกต่างกัน ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้การทดสอบ log rankและ การ ทดสอบ Cox proportional hazards

สถิติอื่นๆ ที่อาจมีประโยชน์กับตัวประมาณค่านี้ ได้แก่ ช่วงความเชื่อมั่นแบบจุดต่อจุด^{[ 13 ]}แถบ Hall-Wellner ^{[ 14 ]}และแถบความแม่นยำเท่ากัน^{[ 15 ]}

• Mathematica : ฟังก์ชันในตัวSurvivalModelFitสร้างแบบจำลองการอยู่รอด^{[ 16 ]}
• SAS : ตัวประมาณค่า Kaplan–Meier ถูกนำมาใช้ในproc lifetestขั้นตอน^{[ 17 ]}
• R : ตัวประมาณค่า Kaplan–Meier มีให้ใช้งานเป็นส่วนหนึ่งของsurvivalแพ็คเกจ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}
• Stata : คำสั่งนี้stsจะส่งคืนค่าประมาณ Kaplan–Meier ^{[ 21 ] [ 22 ]}
• Python : แพ็กเกจlifelinesและscikit-survivalแต่ละแพ็กเกจมีตัวประมาณค่า Kaplan–Meier ^{[ 23 ] [ 24 ]}
• MATLAB : ecdfฟังก์ชันที่มี'function','survivor'อาร์กิวเมนต์สามารถคำนวณหรือพล็อตตัวประมาณค่า Kaplan–Meier ได้^{[ 25 ]}
• StatsDirect : ตัวประมาณค่า Kaplan–Meier ถูกนำมาใช้ในSurvival Analysisเมนู^{[ 26 ]}
• SPSS : ตัวประมาณค่า Kaplan–Meier ถูกนำมาใช้ในAnalyze > Survival > Kaplan-Meier...เมนู^{[ 27 ]}
• จูเลีย : Survival.jlแพ็คเกจนี้รวมถึงตัวประมาณค่า Kaplan–Meier ^{[ 28 ]}
• ข้อมูลระบาดวิทยา : เส้นโค้งการอยู่รอดของตัวประมาณ Kaplan–Meier และผลลัพธ์สำหรับการทดสอบ log rank ได้รับจากKMSURVIVALคำสั่ง^{[ 29 ]}

• การวิเคราะห์การอยู่รอด
• ความถี่ของการเกิน
• ปริมาณยาที่ทำให้เสียชีวิตครึ่งหนึ่ง
• ตัวประมาณค่าเนลสัน-อาเลน

• Aalen, Odd; Borgan, Ornulf; Gjessing, Hakon (2008). การวิเคราะห์การอยู่รอดและประวัติเหตุการณ์: มุมมองเชิงกระบวนการ . Springer. หน้า  90–104 . ISBN 978-0-387-68560-1.
• กรีน, วิลเลียม เอช. (2012). "แนวทางแบบไม่ใช้พารามิเตอร์และแบบกึ่งพารามิเตอร์"การวิเคราะห์ทางเศรษฐมิติ (ฉบับที่เจ็ด). เพรนติส-ฮอลล์. หน้า  909–912 . ISBN 978-0-273-75356-8.
• Jones, Andrew M.; Rice, Nigel; D'Uva, Teresa Bago; Balia, Silvia (2013). "ข้อมูลระยะเวลา" . เศรษฐศาสตร์สุขภาพประยุกต์ . ลอนดอน: Routledge. หน้า  139–181 . ISBN 978-0-415-67682-3.
• Singer, Judith B.; Willett, John B. (2003). การวิเคราะห์ข้อมูลระยะยาวประยุกต์: การสร้างแบบจำลองการเปลี่ยนแปลงและการเกิดเหตุการณ์ . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. หน้า  483–487 . ISBN 0-19-515296-4.

• ดันน์, สตีฟ (2002). "เส้นโค้งการรอดชีวิต: การสะสมและการประมาณค่าแบบแคปแลน-ไมเออร์"คู่มือโรคมะเร็งสถิติ
• สามกราฟแสดงการเปลี่ยนแปลงของ Kaplan–Meierบน YouTube