ค่า Kendall's W (หรือที่รู้จักกันในชื่อสัมประสิทธิ์ความสอดคล้องของ Kendall ) เป็นสถิติแบบไม่ใช้พารามิเตอร์สำหรับการหาความสัมพันธ์เชิงลำดับเป็นค่าที่ได้จากการปรับค่าสถิติของการทดสอบ Friedmanและสามารถใช้ประเมินความสอดคล้องระหว่างผู้ประเมิน โดยเฉพาะอย่างยิ่งความน่าเชื่อถือระหว่างผู้ประเมินหลายคน ค่า Kendall's Wอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 (ไม่มีความสอดคล้อง) ถึง 1 (มีความสอดคล้องอย่างสมบูรณ์)

สมมติว่ามีคนจำนวนหนึ่งถูกขอให้จัดลำดับความสำคัญของประเด็นทางการเมืองจากสำคัญที่สุดไปจนถึงสำคัญน้อยที่สุด เรา สามารถคำนวณค่าสถิติ W ของ Kendall ได้จากข้อมูลเหล่านี้ ถ้าค่าสถิติWเท่ากับ 1 แสดงว่าผู้ตอบแบบสอบถามทุกคนมีความเห็นเป็นเอกฉันท์ และแต่ละคนได้จัดลำดับประเด็นต่างๆ ในรายการไว้ในลำดับเดียวกัน ถ้าค่า Wเท่ากับ 0 แสดงว่าไม่มีแนวโน้มความเห็นพ้องต้องกันโดยรวมในหมู่ผู้ตอบแบบสอบถาม และคำตอบของพวกเขาสามารถถือได้ว่าเป็นแบบสุ่มโดยพื้นฐาน ค่าW ระหว่างกลาง แสดงถึงระดับความเห็นพ้องต้องกันที่มากหรือน้อยกว่าในคำตอบต่างๆ

ในขณะที่การทดสอบโดยใช้สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เพียร์สัน แบบมาตรฐานนั้น ถือว่า ค่าต่างๆ มีการกระจายแบบปกติและเปรียบเทียบผลลัพธ์สองลำดับพร้อมกัน แต่สัมประสิทธิ์W ของเคนดัล ไม่ตั้งสมมติฐานใดๆ เกี่ยวกับลักษณะของการกระจายความน่าจะเป็นและสามารถจัดการกับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันได้หลายจำนวน

สมมติว่าวัตถุiได้รับลำดับr จากกรรมการหมายเลขjโดยมีวัตถุทั้งหมดnชิ้น และ กรรมการ mคน ดังนั้นลำดับรวมที่ให้กับวัตถุiคือ

${\displaystyle R_{i}=\sum _{j=1}^{m}r_{i,j},}$

และค่าเฉลี่ยของอันดับรวมเหล่านี้คือ

${\displaystyle {\bar {R}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}.}$

ผลรวมของกำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนSถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}(R_{i}-{\bar {R}})^{2},}$

จากนั้นW ของ Kendall จะถูกกำหนดเป็น^{[ 1 ]}

${\displaystyle W={\frac {12S}{m^{2}(n^{3}-n)}}.}$

หากค่าสถิติการทดสอบWเท่ากับ 1 แสดงว่ากรรมการหรือผู้ตอบแบบสอบถามทุกคนมีความเห็นเป็นเอกฉันท์ และแต่ละคนได้จัดลำดับรายการวัตถุหรือข้อกังวลต่างๆ ไว้ในลำดับเดียวกัน หากWเท่ากับ 0 แสดงว่าไม่มีแนวโน้มความเห็นพ้องต้องกันโดยรวมในหมู่ผู้ตอบแบบสอบถาม และคำตอบของพวกเขาสามารถถือได้ว่าเป็นแบบสุ่มโดยพื้นฐาน ค่าW ระหว่างกลาง แสดงถึงระดับความเห็นเป็นเอกฉันท์ที่มากหรือน้อยกว่าในหมู่กรรมการหรือผู้ตอบแบบสอบถามต่างๆ

เคนดัลและกิบบอนส์ (1990) ยังแสดงให้เห็นว่าWมีความสัมพันธ์เชิงเส้นกับค่าเฉลี่ยของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ลำดับของสเปียร์แมนระหว่างคู่การจัดอันดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดระหว่างผู้ตัดสิน ${\displaystyle m \choose {2}}$

${\displaystyle {\bar {r}}_{s}={\frac {mW-1}{m-1}}}$

เมื่อกรรมการประเมินเพียงบางส่วนย่อยของ วัตถุ nชิ้น และเมื่อการออกแบบบล็อกที่สอดคล้องกันเป็นการออกแบบ (n, m, r, p, λ) (โปรดสังเกตสัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เมื่อ

1. กรรมการแต่ละคนจัดอันดับ วัตถุจำนวนp เท่ากันสำหรับบาง กรณี${\displaystyle p<n}$
2. วัตถุทุกชิ้นจะได้รับการจัดอันดับเท่ากันทั้งหมดเป็นจำนวนครั้งrครั้ง
3. และวัตถุแต่ละคู่จะถูกนำเสนอต่อกรรมการตัดสินพร้อมกันเป็นจำนวนครั้ง λ ครั้งพอดีซึ่งเป็นค่าคงที่สำหรับทุกคู่${\displaystyle \แลมบ์ดา \geq 1}$

จากนั้น Wของ Kendall จะถูกกำหนดเป็น^{[ 2 ]}

${\displaystyle W={\frac {12\sum _{i=1}^{n}(R_{i}^{2})-3r^{2}n\left(p+1\right)^{2}}{\lambda ^{2}n(n^{2}-1)}}.}$

ถ้าและเพื่อให้กรรมการแต่ละคนจัดอันดับวัตถุทั้งnชิ้น สูตรข้างต้นจะเทียบเท่ากับสูตรเดิม ${\displaystyle p=n}$${\displaystyle \lambda =r=m}$

เมื่อมีค่าที่เท่ากันหลายค่า ค่าเหล่านั้นจะได้รับค่าเฉลี่ยของอันดับที่ควรจะได้รับหากไม่มีค่าที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ชุดข้อมูล {80,76,34,80,73,80} มีค่า 80 ที่เท่ากันในอันดับที่ 4, 5 และ 6 เนื่องจากค่าเฉลี่ยของ {4,5,6} = 5 ดังนั้นอันดับจะถูกกำหนดให้กับค่าข้อมูลดิบดังนี้: {5,3,1,5,2,5}

ผลกระทบของการมีค่าเท่ากันคือการลดค่าWลง อย่างไรก็ตาม ผลกระทบนี้จะน้อยเว้นแต่จะมีค่าเท่ากันจำนวนมาก เพื่อแก้ไขปัญหาค่าเท่ากัน ให้กำหนดลำดับให้กับค่าที่เท่ากันดังที่กล่าวมาข้างต้น และคำนวณปัจจัยการแก้ไข

${\displaystyle T_{j}=\sum _{i=1}^{g_{j}}(t_{i}^{3}-t_{i}),}$

โดยที่t คือจำนวนอันดับที่เสมอกันใน กลุ่มอันดับที่เสมอกันกลุ่มที่ i (โดยที่กลุ่มคือเซตของค่าที่มีอันดับคงที่ (เสมอกัน)) และg คือจำนวนกลุ่มของอันดับที่เสมอกันในเซตของอันดับ (ตั้งแต่ 1 ถึงn ) สำหรับผู้ตัดสินjดังนั้นT คือปัจจัยการแก้ไขที่จำเป็นสำหรับเซตของอันดับสำหรับผู้ตัดสินjนั่นคือ เซตของอันดับที่ jโปรดทราบว่าหากไม่มีอันดับที่เสมอกันสำหรับผู้ตัดสินjค่าT จะเท่ากับ 0

เมื่อปรับแก้กรณีที่มีค่าเท่ากันแล้ว สูตรสำหรับWจะกลายเป็น

${\displaystyle W={\frac {12\sum _{i=1}^{n}(R_{i}^{2})-3m^{2}n(n+1)^{2}}{m^{2}n(n^{2}-1)-m\sum _{j=1}^{m}(T_{j})}},}$

โดยที่R คือผลรวมของอันดับสำหรับวัตถุiและคือผลรวมของค่าของT เหนือเซตอันดับm ทั้งหมด ^{[ 3 ]}${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}(T_{j})}$

ในบางกรณี ความสำคัญของผู้ประเมิน (ผู้เชี่ยวชาญ) อาจไม่เท่ากัน ในกรณีนี้ควรใช้Weighted Kendall's W ^{[ 4 ]}สมมติว่าวัตถุได้รับการจัดอันดับโดยผู้ตัดสินหมายเลขโดยมีวัตถุและผู้ตัดสินทั้งหมด นอกจากนี้ น้ำหนักของผู้ตัดสินแสดงโดย(ในสถานการณ์จริง ความสำคัญของผู้ประเมินแต่ละคนอาจแตกต่างกัน) แท้จริงแล้ว น้ำหนักของผู้ตัดสินคือดังนั้น อันดับรวมที่ให้กับวัตถุคือ ${\displaystyle i}$${\displaystyle r_{ij}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \vartheta _{j}}$${\displaystyle \vartheta _{j}(j=1,2,...,m)}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle R_{i}=\sum _{j=1}^{m}\vartheta _{j}r_{ij}}$

และค่าเฉลี่ยของอันดับรวมเหล่านี้คือ

${\displaystyle {\bar {R}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}}$

ผลรวมของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}(R_{i}-{\bar {R}})^{2}}$

และค่า Weighted Kendall's Wถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle W_{w}={\frac {12S}{(n^{3}-n)}}}$

สูตรข้างต้นเหมาะสมสำหรับกรณีที่ไม่มีผู้ที่มีอันดับเท่ากัน

ในกรณีที่อันดับเท่ากัน เราต้องนำมาพิจารณาในสูตรข้างต้นด้วย เพื่อแก้ไขปัญหาอันดับเท่ากัน เราควรคำนวณปัจจัยการแก้ไข

${\displaystyle T_{j}=\sum _{i=1}^{n}(t_{ij}^{3}-t_{ij})\;\;\;\;\;\;\;\forall j}$

โดยที่แทนจำนวนลำดับที่เสมอกันในการตัดสินสำหรับวัตถุแสดงจำนวนรวมของการเสมอกันในการตัดสินเมื่อแก้ไขสำหรับการเสมอกันแล้ว สูตรสำหรับWeighted Kendall's Wจะเป็นดังนี้ ${\displaystyle t_{ij}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle T_{j}}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle W_{w}={\frac {12S}{(n^{3}-n)-\sum _{j=1}^{m}\vartheta _{j}T_{j}}}}$

หากน้ำหนักของผู้ประเมินเท่ากัน (การกระจายของน้ำหนักเป็นแบบสม่ำเสมอ) ค่าของWeighted Kendall's WและKendall's Wจะเท่ากัน^{[ 4 ]}

ในกรณีของอันดับที่สมบูรณ์ การทดสอบความสำคัญที่ใช้กันทั่วไปสำหรับWเทียบกับสมมติฐานว่างของการไม่มีข้อตกลง (เช่น การจัดอันดับแบบสุ่ม) ได้รับการนำเสนอโดย Kendall และ Gibbons (1990) ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \chi ^{2}=m(n-1)W}$

โดยที่ค่าสถิติการทดสอบมีการแจกแจงแบบไคกำลังสองที่มีระดับความเป็นอิสระ ${\displaystyle df=n-1}$

ในกรณีที่การจัดอันดับไม่สมบูรณ์ (ดูด้านบน) จะกลายเป็นเช่นนี้

${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {\lambda (n^{2}-1)}{k+1}}W}$

ซึ่งในกรณีนี้ก็มีระดับความเป็นอิสระ อยู่เช่นกัน${\displaystyle df=n-1}$

Legendre ^{[ 6 ]}เปรียบเทียบพลังของการทดสอบไคสแควร์และการทดสอบการเรียงสับเปลี่ยนในการกำหนดความสำคัญของW ของ Kendall ผ่านการจำลอง ผลลัพธ์บ่งชี้ว่าวิธีการไคสแควร์มีความอนุรักษ์นิยมมากเกินไปเมื่อเทียบกับการทดสอบการเรียงสับเปลี่ยนเมื่อMarozzi ^{[ 7 ]}ขยายสิ่งนี้โดยพิจารณา การทดสอบ F ด้วยเช่นกัน ตามที่เสนอในสิ่งพิมพ์ดั้งเดิมที่แนะนำ สถิติ Wโดย Kendall & Babington Smith (1939): ${\displaystyle m<20}$

${\displaystyle F={\frac {W(m-1)}{1-W}}}$

โดยที่ค่าสถิติการทดสอบเป็นไปตามการแจกแจงแบบ F ที่มีและองศาอิสระ มารอซซีพบว่า การทดสอบ แบบ Fมีประสิทธิภาพใกล้เคียงกับวิธีการทดสอบแบบเรียงสับเปลี่ยน และอาจเป็นที่นิยมมากกว่าเมื่อมีขนาดเล็ก เนื่องจากคำนวณได้ง่ายกว่า ${\displaystyle v_{1}=n-1-(2/m)}$${\displaystyle v_{2}=(m-1)v_{1}}$${\displaystyle m}$

^{Kendall 's} W และ Weighted Kendall's W ได้รับการนำไปใช้ในMATLAB [ ^{8 ]} SPSS , R [ ^{9 ] และ}ซอฟต์แวร์ทางสถิติอื่นๆ

• มอริซ เคนดัลล์
• เทาของเคนดัลล์
• สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ลำดับของสเปียร์แมน
• การทดสอบฟรีดแมน