ในทางคณิตศาสตร์สัญกรณ์ลูกศรขึ้นของ Knuthเป็นวิธีการเขียนสัญกรณ์สำหรับจำนวนเต็มขนาดใหญ่มาก ซึ่ง Donald Knuthนำเสนอในปี 1976 ^{[ 1 ]}

ในบทความปี 1947 ของเขา^{[ 2 ]} RL Goodsteinได้แนะนำลำดับการดำเนินการเฉพาะที่ปัจจุบันเรียกว่าไฮเปอร์โอเปอเรชัน Goodstein ยังแนะนำชื่อภาษากรีก เช่นtetration , pentation เป็นต้น สำหรับการดำเนินการที่ขยายออกไปนอกเหนือจากการยกกำลังลำดับเริ่มต้นด้วยการดำเนินการเอกภาค ( ฟังก์ชันตัวสืบทอดที่มีn = 0) และดำเนินต่อไปด้วยการดำเนินการทวิภาคของการบวก ( n = 1), การคูณ ( n = 2), การยกกำลัง ( n = 3), tetration ( n = 4) เป็นต้น มีการใช้ สัญกรณ์ต่างๆเพื่อแสดงไฮเปอร์โอเปอเรชัน สัญกรณ์หนึ่งดังกล่าวคือ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$สัญกรณ์ลูกศรขึ้นของ Knuth${\displaystyle \uparrow }$เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง เช่น:

• ลูกศรเดี่ยว${\displaystyle \uparrow }$แสดงถึงการยกกำลัง (การคูณซ้ำๆ)$${\displaystyle 2\uparrow 4=H_{3}(2,4)=2\times (2\times (2\times 2))=2^{4}=16}$$
• ลูกศรคู่${\displaystyle \uparrow \uparrow }$แสดงถึง การยกกำลังซ้ำ ( tetration )$${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 4=H_{4}(2,4)=2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow 2))=2^{2^{2^{2}}}=2^{16}=65,536}$$
• ลูกศรสามอัน${\displaystyle \uparrow \uparrow \uparrow }$แสดงถึงการวนซ้ำ (การวนซ้ำแบบเทตรา)$${\displaystyle {\begin{aligned}2\uparrow \uparrow \uparrow 4&=H_{5}(2,4)\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 4)\\&=\underbrace {2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow \cdots ))} \;=\;\underbrace {\;2^{2^{\cdots ^{2}}}} \\&\;\;\;\;\;2\uparrow \uparrow 4{\text{ copies of }}2\;\;\;\;\;{\text{65,536 2's}}\\\end{aligned}}}$$

นิยามทั่วไปของสัญลักษณ์ลูกศรชี้ขึ้นมีดังนี้ (สำหรับ${\displaystyle a\geq 0,n\geq 1,b\geq 0}$): $${\displaystyle a\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(a,b)=a[n+2]b.}$$ ที่นี่,${\displaystyle \uparrow ^{n}}$หมายถึง ลูกศรจำนวน nตัว ตัวอย่างเช่น $${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=2\uparrow ^{4}3,}$$ และวงเล็บเหลี่ยมที่ใช้ในนิพจน์ด้านขวาสุดนั้นเป็นสัญลักษณ์อีกแบบหนึ่งสำหรับการดำเนินการขั้นสูง (hyperoperations)

การดำเนิน การขั้นสูง (Hyperoperations)เป็นการ ต่อยอดการดำเนินการ ทางคณิตศาสตร์ของการบวกและการคูณอย่างเป็นธรรมชาติดังต่อไปนี้

การบวกด้วยจำนวนธรรมชาติเรียกว่า การเพิ่มค่าแบบวนซ้ำ:

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{1}(a,b)=a+b=&a+\underbrace {1+1+\dots +1} \\&b{\mbox{ copies of }}1\end{matrix}}}$

การคูณด้วยจำนวนธรรมชาติถูกนิยามว่าเป็นการบวกซ้ำๆ:

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{2}(a,b)=a\times b=&\underbrace {a+a+\dots +a} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}$

ตัวอย่างเช่น,

${\displaystyle {\begin{matrix}4\times 3&=&\underbrace {4+4+4} &=&12\\&&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}$

การยกกำลังสำหรับพลังงานธรรมชาติ${\displaystyle b}$นิยามว่าเป็นการคูณซ้ำ ซึ่ง Knuth ใช้สัญลักษณ์ลูกศรชี้ขึ้นเพียงอันเดียว:

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow b=H_{3}(a,b)=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b{\mbox{ สำเนาของ }}a\end{matrix}}}$

ตัวอย่างเช่น,

${\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow 3=4^{3}=&\underbrace {4\times 4\times 4} &=&64\\&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}$

Tetrationถูกนิยามว่าเป็นการยกกำลังซ้ำๆ ซึ่ง Knuth ใช้สัญลักษณ์ "ลูกศรคู่" แทน:

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b=H_{4}(a,b)=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\cdots \uparrow a))} \\&b{\mbox{ สำเนาของ }}a&&b{\mbox{ สำเนาของ }}a\end{matrix}}}$

ตัวอย่างเช่น,

${\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow \uparrow 3=&\underbrace {4^{4^{4}}} &=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} &=&4^{256}&&\\&3{\mbox{ สำเนาของ }}4&&3{\mbox{ สำเนาของ }}4\end{matrix}}}$

นิพจน์จะถูกประเมินจากขวาไปซ้าย เนื่องจากตัวดำเนินการถูกกำหนดให้เป็นแบบเชื่อมโยงทางขวา

ตามคำจำกัดความนี้

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987}}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{3^{27}}}=3^{3^{7625597484987}}}$

เป็นต้น

สิ่งนี้ทำให้ได้ตัวเลขที่ค่อนข้างใหญ่แล้ว แต่ลำดับของไฮเปอร์โอเปอเรเตอร์ยังไม่จบเพียงเท่านี้ เพนเทชัน ซึ่งนิยามว่าเป็นเทเทชันแบบวนซ้ำ จะถูกแทนด้วย "ลูกศรสามหัว":

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=H_{5}(a,b)=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (\cdots \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}$

การคูณแบบเฮกเซชัน ซึ่งนิยามว่าเป็นการคูณแบบเพนเทชันซ้ำๆ นั้น แสดงด้วย "ลูกศรสี่แฉก":

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=H_{6}(a,b)=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (\cdots \uparrow \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}$

และอื่นๆ โดยทั่วไปแล้วกฎก็คือว่า${\displaystyle n}$ตัวดำเนินการลูกศรขยายออกเป็นอนุกรมแบบเชื่อมโยงทางขวาของ (${\displaystyle n-1}$ตัวดำเนินการลูกศร () ในเชิงสัญลักษณ์

${\displaystyle {\begin{matrix}a\ \underbrace {\uparrow _{}\uparrow \!\!\cdots \!\!\uparrow } _{n}\ b=\underbrace {a\ \underbrace {\uparrow \!\!\cdots \!\!\uparrow } _{n-1}\ (a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\cdots \!\!\uparrow } _{n-1}\ (\cdots \ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\cdots \!\!\uparrow } _{n-1}\ a))} _{b{\text{ copies of }}a}\end{matrix}}}$

ตัวอย่าง:

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}$

${\displaystyle {\begin{aligned}3\uparrow \uparrow \uparrow 3&=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)\\&=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)\\&={\begin{matrix}\underbrace {3\uparrow 3\uparrow \cdots \uparrow 3} \\3\uparrow 3\uparrow 3{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}\\&={\begin{matrix}\underbrace {3\uparrow 3\uparrow \cdots \uparrow 3} \\{\mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}\end{matrix}}\\&={\begin{matrix}\underbrace {3^{3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}}}} \\{\mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}\end{matrix}}\end{aligned}}}$

ในการแสดงออกเช่น${\displaystyle a^{b}}$โดยทั่วไป สัญลักษณ์สำหรับการยกกำลังคือการเขียนเลขชี้กำลัง${\displaystyle b}$เป็นตัวยกของเลขฐาน${\displaystyle a}$แต่สภาพแวดล้อมหลายอย่างเช่นภาษาโปรแกรม และ อีเมลข้อความธรรมดาไม่รองรับ การจัดพิมพ์ แบบตัวยกผู้คนจึงหันมาใช้การเขียนแบบตัวอักษรปกติแทน${\displaystyle a\uparrow b}$สำหรับสภาพแวดล้อมดังกล่าว เครื่องหมายลูกศรชี้ขึ้นหมายถึง 'ยกกำลังด้วย' หากชุดอักขระไม่มีเครื่องหมายลูกศรชี้ขึ้นจะใช้ เครื่องหมาย แคเร็ต (^) แทน

สัญกรณ์ตัวยก${\displaystyle a^{b}}$ไม่เอื้อต่อการสรุปโดยทั่วไป ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไม Knuth จึงเลือกใช้สัญกรณ์แบบอินไลน์${\displaystyle a\uparrow b}$แทน.

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b}$เป็นสัญลักษณ์ทางเลือกที่สั้นกว่าสำหรับลูกศรชี้ขึ้น n อัน ดังนั้น${\displaystyle a\uparrow ^{4}b=a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}$.

บางตัวเลขมีขนาดใหญ่มากจนการใช้ลูกศรหลายตัวในสัญกรณ์ลูกศรขึ้นของ Knuth กลายเป็นเรื่องยุ่งยากเกินไป ดังนั้นจึงต้องใช้ตัวดำเนินการลูกศร n ตัว${\displaystyle \uparrow ^{n}}$มีประโยชน์ (และยังใช้สำหรับการอธิบายที่มีจำนวนลูกศรแปรผันได้) หรือเทียบเท่ากับตัวดำเนินการไฮเปอร์

Some numbers are so large that even that notation is not sufficient. The Conway chained arrow notation can then be used: a chain of three elements is equivalent with the other notations, but a chain of four or more is even more powerful.

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&a[n+2]b&=&a\to b\to n\\{\text{(Knuth)}}&&{\text{(hyperoperation)}}&&{\text{(Conway)}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle 6\uparrow \uparrow 4=\underbrace {6^{6^{.^{.^{.^{6}}}}}} _{4}}$, Since ${\displaystyle 6\uparrow \uparrow 4=6^{6^{6^{6}}}=6^{6^{46,656}}}$, Thus the result comes out with ${\displaystyle \underbrace {6^{6^{.^{.^{.^{6}}}}}} _{4}}$

${\displaystyle 10\uparrow (3\times 10\uparrow (3\times 10\uparrow 15)+3)=\underbrace {100000\ldots 000} _{\underbrace {300000\ldots 003} _{\underbrace {300000\ldots 000} _{15}}}}$ or ${\displaystyle 10^{3\times 10^{3\times 10^{15}}+3}}$

Even faster-growing functions can be categorized using an ordinal analysis called the fast-growing hierarchy. The fast-growing hierarchy uses successive function iteration and diagonalization to systematically create faster-growing functions from some base function ${\displaystyle f(x)}$. For the standard fast-growing hierarchy using ${\displaystyle f_{0}(x)=x+1}$, ${\displaystyle f_{2}(x)}$ already exhibits exponential growth, ${\displaystyle f_{3}(x)}$ is comparable to tetrational growth and is upper-bounded by a function involving the first four hyperoperators;. Then, ${\displaystyle f_{\omega }(x)}$ is comparable to the Ackermann function, ${\displaystyle f_{\omega +1}(x)}$ is already beyond the reach of indexed arrows but can be used to approximate Graham's number, and ${\displaystyle f_{\omega ^{2}}(x)}$ is comparable to arbitrarily-long Conway chained arrow notation.

These functions are all computable. Even faster computable functions, such as the Goodstein sequence and the TREE sequence require the usage of large ordinals, may occur in certain combinatorical and proof-theoretic contexts. There exist functions which grow uncomputably fast, such as the Busy Beaver, which by their very nature will be completely out of reach from any up-arrow, or even any ordinal-based analysis.

Without reference to hyperoperation the up-arrow operators can be formally defined by

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a^{b},&{\text{if }}n=1;\\1,&{\text{if }}n>1{\text{ and }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$

for all integers ${\displaystyle a,b,n}$ with ${\displaystyle a\geq 0,n\geq 1,b\geq 0}$.^{[nb 1]}

This definition uses exponentiation${\displaystyle (a\uparrow ^{1}b=a\uparrow b=a^{b})}$ as the base case, and tetration${\displaystyle (a\uparrow ^{2}b=a\uparrow \uparrow b)}$ as repeated exponentiation. This is equivalent to the hyperoperation sequence except it omits the three more basic operations of succession, addition and multiplication.

One can alternatively choose multiplication${\displaystyle (a\uparrow ^{0}b=a\times b)}$ as the base case and iterate from there. Then exponentiation becomes repeated multiplication. The formal definition would be

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a\times b,&{\text{if }}n=0;\\1,&{\text{if }}n>0{\text{ and }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$

for all integers ${\displaystyle a,b,n}$ with ${\displaystyle a\geq 0,n\geq 0,b\geq 0}$.

Note, however, that Knuth did not define the "nil-arrow" (${\displaystyle \uparrow ^{0}}$). One could extend the notation to negative indices (n ≥ -2) in such a way as to agree with the entire hyperoperation sequence, except for the lag in the indexing:

${\displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 0.}$

The up-arrow operation is a right-associative operation, that is, ${\displaystyle a\uparrow b\uparrow c}$ is understood to be ${\displaystyle a\uparrow (b\uparrow c)}$, instead of ${\displaystyle (a\uparrow b)\uparrow c}$. If ambiguity is not an issue parentheses are sometimes dropped.

• การเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม
• สัญกรณ์บาร์ของคัตเลอร์
• สัญกรณ์สไตน์เฮาส์-โมเซอร์

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "สัญกรณ์ลูกศรขึ้นของคนุธ" . MathWorld .
• โรเบิร์ต มูนาโฟ, ตัวเลขขนาดใหญ่: ตัวดำเนินการไฮเปอร์ระดับสูง