ในทางคณิตศาสตร์ลำดับไฮเปอร์โอเปอเรชันคือลำดับ อนันต์ ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (เรียกว่าไฮเปอร์โอเปอเรชันในบริบทนี้) ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ที่เริ่มต้นด้วยการดำเนินการเอกภาค ( ฟังก์ชันตัวสืบทอดที่มีn = 0) ลำดับจะดำเนินต่อไปด้วยการดำเนินการทวิภาคของการบวก ( n = 1 ) การคูณ ( n = 2 ) และการยกกำลัง ( n = 3) ^{[ nb 1 ]}หลังจากนั้น ลำดับจะดำเนินต่อไปด้วยการดำเนินการทวิภาคเพิ่มเติมที่ขยายออกไปนอกเหนือจากการยกกำลัง โดยใช้การเชื่อมโยงทางขวาสำหรับการดำเนินการที่นอกเหนือจากการยกกำลัง สมาชิกลำดับที่ nของลำดับนี้ได้รับการตั้งชื่อโดยReuben Goodsteinตามคำนำหน้าภาษากรีกของnที่ต่อท้ายด้วย-ation (เช่นtetration ( n = 4), pentation ( n = 5), hexation ( n = 6) เป็นต้น) ^{[ 7 ]}และสามารถเขียนได้โดยใช้ ลูกศร n − 2 ในสัญกรณ์ลูกศรขึ้นของ Knuthการดำเนินการไฮเปอร์แต่ละรายการสามารถเข้าใจได้แบบเวียนซ้ำในแง่ของรายการก่อนหน้าโดย:

${\displaystyle a[n]b=\underbrace {a[n-1](a[n-1](a[n-1](\cdots a[n-1](a[n-1](a[n-1]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a},\quad n\geq 2}$

นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดได้ตามส่วนของกฎการเรียกซ้ำในคำนิยาม เช่นเดียวกับฟังก์ชัน Ackermann เวอร์ชันลูกศรขึ้นของ Knuth :

${\displaystyle a[n]b=a[n-1]\left(a[n]\left(b-1\right)\right),\quad n\geq 1}$

สิ่งนี้สามารถใช้เพื่อแสดงตัวเลขที่ใหญ่กว่าตัวเลขที่สัญกรณ์วิทยาศาสตร์สามารถแสดงได้ง่าย เช่นตัวเลขของ Skewesและgoogolplexplex (เช่นมีขนาดใหญ่กว่าตัวเลขของ Skewes และ googolplexplex มาก) แต่ก็มีตัวเลขบางตัวที่แม้แต่สิ่งเหล่านี้ก็ไม่สามารถแสดงได้ง่าย เช่นตัวเลขของ GrahamและTREE(3 ) ^{[ 14 ]}${\displaystyle 50[50]50}$

กฎการเรียกซ้ำนี้พบได้ทั่วไปในรูปแบบต่างๆ ของไฮเปอร์โอเปอเรชัน

ลำดับไฮเปอร์โอเปอเรชันคือลำดับของการดำเนินการแบบไบนารี ที่กำหนดแบบเวียนซ้ำดังนี้: สำหรับn = 0, 1, 2, 3 นิยามนี้จะสร้างการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานของตัวสืบทอด (ซึ่งเป็นการดำเนินการแบบเอกภาค) การบวกการคูณและการยกกำลังตามลำดับ สำหรับ จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบทั้งหมดaและbไฮเปอร์โอเปอเรชันจึงสามารถมองได้ว่าเป็นคำตอบของคำถาม "อะไรต่อไป?" ในลำดับของฟังก์ชันที่เริ่มต้นด้วยตัวสืบทอด การบวก การคูณ และการยกกำลัง เช่นเดียว กับการคูณ จำนวนเต็มที่กำหนดโดยการบวกซ้ำ และการยกกำลังจำนวนเต็มที่กำหนดโดยการคูณซ้ำ ไฮเปอร์โอเปอเรชัน ถัดไปคือเททราชัน ซึ่งกำหนดโดยการยกกำลังซ้ำ ตัวอย่างเช่นคือกำลังของa สาม ตัว และ ในทำนองเดียวกัน ไฮเปอร์โอเปอเรชันที่ห้า คือเพนทาชัน ซึ่งกำหนดโดยเท ท ราชันซ้ำ ดังนั้น${\displaystyle H_{n}\colon (\mathbb {N} _{0})^{2}\rightarrow \mathbb {N} _{0}}$$${\displaystyle H_{n}(a,b)={\begin{cases}b+1&{\text{ถ้า }}n=0\\a&{\text{ถ้า }}n=1{\text{ และ }}b=0\\0&{\text{ถ้า }}n=2{\text{ และ }}b=0\\1&{\text{ถ้า }}n\geq 3{\text{ และ }}b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{ในกรณีอื่นๆ}}\end{cases}}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(a,b)&=b+1,\\H_{1}(a,b)&=a+b,\\H_{2}(a,b)&=a\times b,\\H_{3}(a,b)&=a^{b}\end{aligned}}}$$${\displaystyle H_{4}(a,3)=\operatorname {tetration} (a,3)=a^{a^{a}}}$${\displaystyle H_{4}(a,4)=\operatorname {tetration} (a,4)=a^{a^{a^{a}}}}$${\displaystyle H_{5}(a,3)=\operatorname {tetration} (a,\operatorname {tetration} (a,a))}$

บาง ครั้งพารามิเตอร์ของลำดับชั้นไฮเปอร์โอเปอเรชันจะถูกอ้างถึงโดยใช้คำศัพท์การยกกำลังที่คล้ายคลึงกัน^{[ 15 ]}ดังนั้นaคือฐาน bคือเลขชี้กำลัง(หรือไฮเปอร์เลขชี้กำลัง ) ^{[ 13 ]}และnคือลำดับ (หรือระดับ ) ^{[ 8 ]} โดยทั่วไปอาจอ่านได้ว่า " การยกกำลัง nครั้งที่bของa " ดังนั้น จึงอ่านได้ว่า "การยกกำลัง tetration ครั้งที่ 9 ของ 7" และอ่านได้ว่า "การยกกำลัง 123 ครั้งที่ 789 ของ 456" ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$${\displaystyle H_{4}(7,9)}$${\displaystyle H_{123}(456,789)}$

วิธีการเขียนไฮเปอร์โอเปอเรชันอีกวิธีหนึ่งคือสัญกรณ์แบบกระชับสำหรับในสัญกรณ์นี้ การยกกำลังจะใช้สัญลักษณ์ การคูณสี่จะใช้สัญลักษณ์(ดังนั้นการคูณห้าจะใช้สัญลักษณ์และอื่นๆ) ไฮเปอร์โอเปอเรชันยังสามารถแสดงได้โดยใช้สัญกรณ์ลูกศรขึ้นของ Knuthในสัญกรณ์นี้แทนฟังก์ชันการยกกำลัง แทนการคูณสี่หรือแทนการคูณห้าและโดยทั่วไปสำหรับ อีกทางเลือกหนึ่งคือสัญกรณ์ลูกศรแบบลูกโซ่ของ Conwayในสัญกรณ์นี้ เราจะได้ดังนั้น (ตัวอย่างเช่น) ^{[ 16 ]}${\displaystyle a[n]b}$${\displaystyle H_{n}(a,b)}$${\displaystyle a[3]b=a^{b}}$${\displaystyle a[4]b}$${\displaystyle a[4]3=a^{a^{a}}}$${\displaystyle a[5]b}$${\displaystyle a\uparrow b}$${\displaystyle a^{b}}$${\displaystyle a\uparrow \uparrow b}$${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}$${\displaystyle a\uparrow ^{3}b}$${\displaystyle a[5]b}$${\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b}$${\displaystyle n\geq 0.}$${\displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b=a\rightarrow b\rightarrow n-2}$${\displaystyle a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3}$

ด้านล่างนี้คือรายการของไฮเปอร์โอเปอเรชันเจ็ดรายการแรก (ลำดับที่ 0 ถึง 6) ( โดยกำหนดให้ 0⁰เท่ากับ 1)

n	การดำเนินการH n ( a , b )	คำนิยาม	ชื่อ	โดเมน
0	${\displaystyle b+1}$หรือ${\displaystyle a[0]b}$	${\displaystyle \underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{ สำเนาของ 1}}}+1}$	การเพิ่มขึ้น, ผู้สืบทอด , การลบ, ไฮเปอร์0	โดยพลการ
1	${\displaystyle a+b}$หรือ${\displaystyle a[1]b}$	${\displaystyle a+\underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of 1}}}}$	การบวก , ไฮเปอร์1
2	${\displaystyle a\times {b}}$หรือ${\displaystyle a[2]b}$	${\displaystyle \underbrace {a+a+a+\cdots +a+a+a} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}}$	การคูณ , ไฮเปอร์2
3	${\displaystyle a^{b}}$หรือ${\displaystyle a[3]b}$	${\displaystyle \underbrace {a\times a\times a\times \;\cdots \;\times a\times a\times a} _{\displaystyle b{\mbox{ สำเนาของ }}a}}$	การยกกำลัง , ไฮเปอร์3	bเป็นจำนวนจริง โดยมีการขยายเพิ่มเติมบางส่วนไปยังจำนวนเชิงซ้อนที่มีค่าหลาย ค่า
4	${\displaystyle ^{b}a}$หรือ${\displaystyle a[4]b}$	${\displaystyle \underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}}$	เตตระเมนต์ไฮเปอร์4	a ≥ 0 หรือจำนวนเต็ม, bจำนวนเต็ม ≥ −1 [ nb 2 ] (พร้อมส่วนขยายที่เสนอไว้บางส่วน)
5	${\displaystyle _{b}a}$หรือ${\displaystyle a[5]b}$	${\displaystyle \underbrace {a[4](a[4](a[4](\cdots [4](a[4](a[4]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ สำเนาของ }}a}}$	การเจาะทะลุ ไฮเปอร์5	a , bจำนวนเต็ม ≥ −1 [ nb 2 ]
6	${\displaystyle a[6]b}$	${\displaystyle \underbrace {a[5](a[5](a[5](\cdots [5](a[5](a[5]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ สำเนาของ }}a}}$	เฮกเซชั่น ไฮเปอร์6

H _n (0, b ) =

b + 1 เมื่อn = 0

ขเมื่อn = 1

0 เมื่อn = 2

1 เมื่อn = 3 และb = 0 ^{[ nb 3 ]}

0 เมื่อn = 3 และb > 0 ^{[ nb 3 ]}

1 เมื่อn > 3 และbเป็นจำนวนคู่ (รวมถึง 0)

0 เมื่อn > 3 และbเป็นจำนวนคี่

H _n (1, b ) =

ขเมื่อn = 2

1 เมื่อn ≥ 3

H _n ( a , 0) =

0 เมื่อn = 2

1 เมื่อn = 0 หรือn ≥ 3

กเมื่อn = 1

H _n ( a , 1) =

2 เมื่อn = 0

a + 1 เมื่อn = 1

กเมื่อn ≥ 2

H _n ( a , a ) =

H _n+1 ( a , 2) เมื่อ n ≥ 1

H _n ( a , −1) = ^{[ nb 2 ]}

0 เมื่อn = 0 หรือn ≥ 4

a − 1 เมื่อn = 1

− aเมื่อn = 2

⁠1/เอเมื่อn = 3

H _n (2, 2) =

3 เมื่อn = 0

4 เมื่อn ≥ 1 สามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆ โดยใช้การเรียกซ้ำ

หนึ่งในการอภิปรายเรื่องไฮเปอร์โอเปอเรชันครั้งแรกๆ คือของอัลเบิร์ต เบนเน็ตต์ในปี พ.ศ. 2457 ซึ่งได้พัฒนาทฤษฎีไฮเปอร์โอเปอเรชันแบบสลับที่ได้ บางส่วน (ดู§ ไฮเปอร์โอเปอเรชันแบบสลับที่ได้ด้านล่าง) ^{[ 8 ]}ประมาณ 12 ปีต่อมาวิลเฮล์ม แอคเคอร์มันน์ได้กำหนดฟังก์ชันซึ่งคล้ายกับลำดับไฮเปอร์โอเปอเรชัน^{[ 17 ]}${\displaystyle \phi (a,b,n)}$

ในบทความปี 1947 ของเขา^{[ 7 ]} Reuben Goodsteinได้แนะนำลำดับการดำเนินการเฉพาะที่ปัจจุบันเรียกว่าไฮเปอร์โอเปอเรชันและยังแนะนำชื่อภาษากรีกtetration , pentation เป็นต้น สำหรับการดำเนินการที่ขยายออกไปนอกเหนือจากการยกกำลัง (เนื่องจากสอดคล้องกับดัชนี 4, 5 เป็นต้น) ในฐานะฟังก์ชันสามอาร์กิวเมนต์ เช่นลำดับไฮเปอร์โอเปอเรชันโดยรวมถือเป็นเวอร์ชันของฟังก์ชัน Ackermann ดั้งเดิม — เรียกซ้ำแต่ไม่ใช่เรียกซ้ำแบบดั้งเดิม — ตามที่ Goodstein ปรับเปลี่ยนเพื่อรวมฟังก์ชันสืบทอด แบบดั้งเดิม เข้ากับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานอีกสามอย่าง ( การบวกการคูณการยกกำลัง ) และเพื่อให้การขยายเหล่านี้ราบรื่นยิ่งขึ้นนอกเหนือจากการยกกำลัง ${\displaystyle G(n,a,b)=H_{n}(a,b)}$${\displaystyle \phi (a,b,n)}$

ฟังก์ชัน Ackermann สามอาร์กิวเมนต์ดั้งเดิมใช้กฎการเรียกซ้ำแบบเดียวกันกับเวอร์ชันของ Goodstein (เช่น ลำดับไฮเปอร์โอเปอเรชัน) แต่แตกต่างกันในสองประการ ประการแรกกำหนดลำดับการดำเนินการโดยเริ่มจากการบวก ( n = 0) แทนที่จะเป็นฟังก์ชันตัวสืบทอดจากนั้นการคูณ ( n = 1) การยกกำลัง ( n = 2) เป็นต้น ประการที่สอง เงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับผลลัพธ์ในซึ่งแตกต่างจากไฮเปอร์โอเปอเรชันที่เกินกว่าการยกกำลัง^{[ 9 ] [ 18 ] [ 19 ]}ความสำคัญของb + 1 ในนิพจน์ก่อนหน้านี้คือ= โดยที่bนับจำนวนตัวดำเนินการ (การยกกำลัง) แทนที่จะนับจำนวนตัวถูกดำเนินการ ("a") เหมือนกับbในและอื่นๆ สำหรับการดำเนินการระดับสูงกว่า (ดู บทความ ฟังก์ชัน Ackermannสำหรับรายละเอียด) ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (a,b,n)}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (a,b,3)=G(4,a,b+1)=a[4](b+1)}$${\displaystyle \phi (a,b,3)}$${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}$${\displaystyle a[4]b}$

นี่คือรายการสัญลักษณ์ที่ใช้สำหรับการดำเนินการไฮเปอร์โอเปอเรชัน

ชื่อ	สัญลักษณ์ที่เทียบเท่ากับ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$	ความคิดเห็น
สัญกรณ์ลูกศรขึ้นของ Knuth	${\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b}$	ใช้โดยKnuth [ 20 ] (สำหรับn ≥ 3) และพบในหนังสืออ้างอิงหลายเล่ม[ 21 ] [ 22 ]
สัญกรณ์ของฮิลเบิร์ต	${\displaystyle \phi _{n}(a,b)}$	ใช้โดยเดวิด ฮิลเบิร์ต[ 23 ]
บันทึกของกูดสไตน์	${\displaystyle G(n,a,b)}$	ใช้โดยReuben Goodstein [ 7 ]
ฟังก์ชัน Ackermannดั้งเดิม	${\displaystyle {\begin{matrix}\phi (a,b,n-1)\ {\text{ for }}1\leq n\leq 3\\\phi (a,b-1,n-1)\ {\text{ for }}n\geq 4\end{matrix}}}$	ใช้โดยWilhelm Ackermann (สำหรับn ≥ 1) [ 17 ]
ฟังก์ชัน Ackermann–Péter	${\displaystyle A(n,b-3)+3\ {\text{for }}a=2}$	สิ่งนี้สอดคล้องกับการดำเนินการขั้นสูงสำหรับฐาน 2 ( a = 2)
สัญกรณ์ของนัมเบียร์	${\displaystyle a\otimes ^{n-1}b}$	ใช้โดย Nambiar (สำหรับn ≥ 1) [ 24 ]
สัญกรณ์ตัวยก	${\displaystyle a{}^{(n)}b}$	ใช้โดยRobert Munafo [ 18 ]
สัญกรณ์ตัวห้อย (สำหรับไฮเปอร์โอเปอเรชันระดับล่าง)	${\displaystyle a{}_{(n)}b}$	ใช้สำหรับการผ่าตัดใหญ่ส่วนล่างโดย Robert Munafo [ 18 ]
สัญลักษณ์ตัวดำเนินการ (สำหรับ "การดำเนินการเพิ่มเติม")	${\displaystyle aO_{n-1}b}$	ใช้สำหรับการผ่าตัดไฮเปอร์ที่ต่ำกว่าโดยJohn DonerและAlfred Tarski (สำหรับn ≥ 1) [ 25 ]
สัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยม	${\displaystyle a[n]b}$	ใช้ในฟอรัมออนไลน์หลายแห่ง สะดวกสำหรับการใช้งานกับ ASCII
สัญกรณ์ลูกศรแบบลูกโซ่ของคอนเวย์	${\displaystyle a\to b\to (n-2)}$	ใช้โดยJohn Horton Conway (สำหรับn ≥ 3)

ในปี ค.ศ. 1928 วิลเฮล์ม แอคเคอร์มันน์ได้นิยามฟังก์ชัน 3 อาร์กิวเมนต์ซึ่งต่อมาได้พัฒนาเป็นฟังก์ชัน 2 อาร์กิวเมนต์ ที่รู้จักกันในชื่อฟังก์ชันแอคเคอร์มัน น์ ฟังก์ชัน แอคเคอร์มันน์ ดั้งเดิมนั้นมีความคล้ายคลึงกับไฮเปอร์โอเปอเรชันสมัยใหม่น้อยกว่า เนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้นของเขาเริ่มต้นด้วยสำหรับทุกn > 2 นอกจากนี้ เขายังกำหนดการบวกให้กับn = 0 การคูณให้กับn = 1 และการยกกำลังให้กับn = 2 ดังนั้นเงื่อนไขเริ่มต้นจึงสร้างการดำเนินการที่แตกต่างกันมากสำหรับเททราชันและมากกว่านั้น ${\displaystyle \phi (a,b,n)}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (a,0,n)=a}$

n	การดำเนินการ	ความคิดเห็น
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=a+b}$
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a\cdot b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a^{b}}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a[4](b+1)}$	เป็นรูปแบบการชดเชยของการทำซ้ำแบบเททราชันการทำซ้ำของการดำเนินการนี้แตกต่างจากการทำซ้ำของการทำซ้ำแบบเททราชัน
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=(x\mapsto a[4](x+1))^{b}(a)}$	อย่าสับสนกับคำว่า pentation

เงื่อนไขเริ่มต้นอีกประการหนึ่งที่ถูกนำมาใช้คือ(โดยที่ฐานเป็นค่าคงที่) ซึ่งคิดค้นโดยRózsa Péterและไม่ก่อให้เกิดลำดับชั้นของการดำเนินการขั้นสูง ${\displaystyle A(0,b)=2b+1}$${\displaystyle a=2}$

ในปี พ.ศ. 2527 CW Clenshaw และ FWJ Olver ได้เริ่มการอภิปรายเกี่ยวกับการใช้ไฮเปอร์โอเปอเรชันเพื่อป้องกันการโอเวอร์โฟลว์ของจุดลอยตัว ของคอมพิวเตอร์ ^{[ 26 ]} ตั้งแต่นั้นมา ผู้เขียนคนอื่นๆ อีกมากมาย^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}ได้ให้ความสนใจอีกครั้งในการประยุกต์ใช้ไฮเปอร์โอเปอเรชันกับ การแสดง จุดลอยตัว (เนื่องจากH _n ( a , b ) ทั้งหมดถูกกำหนดไว้สำหรับb = -1) ในขณะที่อภิปรายเรื่องเททราชัน Clenshaw และคณะได้สมมติเงื่อนไขเริ่มต้นซึ่งทำให้เกิดลำดับชั้นของไฮเปอร์โอเปอเรชันอีกแบบหนึ่ง เช่นเดียวกับในรูปแบบก่อนหน้า การดำเนินการที่สี่นั้นคล้ายกับเททราชัน มาก แต่เลื่อนไปหนึ่งตำแหน่ง ${\displaystyle F_{n}(a,0)=0}$

n	การดำเนินการ	ความคิดเห็น
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=b+1}$
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}$
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=a[4](b-1)}$	เป็นรูปแบบการชดเชยของการทำซ้ำแบบเททราชันการทำซ้ำของการดำเนินการนี้แตกต่างจากการทำซ้ำของเททราชัน อย่างมาก
5	${\displaystyle F_{5}(a,b)=\left(x\mapsto a[4](x-1)\right)^{b}(0)=0{\text{ if }}a>0}$	อย่าสับสนกับคำว่า pentation

ทางเลือกอื่นสำหรับการดำเนินการขั้นสูงเหล่านี้ได้มาจากการประเมินจากซ้ายไปขวา^{[ 11 ]}เนื่องจาก

${\displaystyle {\begin{aligned}a+b&=(a+(b-1))+1\\a\cdot b&=(a\cdot (b-1))+a\\a^{b}&=\left(a^{(b-1)}\right)\cdot a\end{aligned}}}$

กำหนด (ด้วย ° หรือตัวห้อย)

${\displaystyle a_{(n)}b=\left(a_{(n)}(b-1)\right)_{(n-1)}a}$

กับ

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{(1)}b&=a+b\\a_{(2)}0&=0\\a_{(n)}1&=a&{\text{for }}n>2\\\end{aligned}}}$

Doner และ Tarski ได้ขยายสิ่งนี้ไปยังจำนวนเชิงลำดับ^{[ 30 ]}พวกเขามีดัชนี 0 แทนที่จะเป็นดัชนี 1 สำหรับการบวก พวกเขาขยายสูตรเพื่อจัดการกับจำนวนเชิงลำดับแต่ละจำนวนที่ไม่มีตัวก่อนหน้าโดยตรงด้วยการแทนที่b − 1ข้างต้นด้วยค่าสูงสุดของจำนวนเชิงลำดับทั้งหมดที่น้อยกว่าbและพวกเขาปฏิบัติต่อnในลักษณะเดียวกัน เราใช้อักษรกรีกเพื่อระบุว่าสิ่งเหล่านี้เป็นจำนวนเชิงลำดับ ไม่ใช่เพียงแค่จำนวนนับ

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha O_{0}\beta &=\alpha +\beta \\\alpha O_{\nu }\beta &=\sup \limits _{\delta <\beta ,~\mu <\nu }(\alpha O_{\nu }\delta )O_{\mu }\alpha \,.\end{aligned}}}$

ด้วยคำจำกัดความเหล่านี้⁠ ⁠${\displaystyle O_{0}}$คือการบวก⁠ ⁠${\displaystyle O_{1}}$คือการคูณ และ⁠ ⁠${\displaystyle O_{2}}$คือการยกกำลัง อย่างไรก็ตาม⁠ ⁠${\displaystyle O_{3}}$ไม่สามารถสร้าง "หอคอยพลัง" ที่ปรากฏชัดเจนด้วยไฮเปอร์โอเปอเรชันที่สอดคล้องกัน (ไม่ใช่ระดับล่าง) ^{[ 31 ] [ nb 4 ]}แต่

${\displaystyle \alpha O_{3}(1+\beta )=\alpha ^{\left(\alpha ^{\beta }\right)}.}$

n	การดำเนินการ	ความคิดเห็น
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=a+1}$	การเพิ่มขึ้น, ผู้สืบทอด, การลบ
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}$
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=a^{\left(a^{(b-1)}\right)}}$	อย่าสับสนกับ tetration
5	${\displaystyle F_{5}(a,b)=\left(x\mapsto x^{x^{(a-1)}}\right)^{b-1}(a)}$	อย่าสับสนกับเพนเทชันคล้ายกับเทเทชัน

อัลเบิร์ต เบนเน็ตต์ พิจารณาไฮเปอร์โอเปอเรชันแบบสลับที่ได้ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2457 ^{[ 8 ]}ซึ่งอาจเป็นข้อสังเกตแรกสุดเกี่ยวกับลำดับไฮเปอร์โอเปอเรชันใดๆ ไฮเปอร์โอเปอเรชันแบบสลับที่ได้ถูกกำหนดโดยกฎการเรียกซ้ำ

${\displaystyle F_{n+1}(a,b)=\exp(F_{n}(\ln(a),\ln(b)))}$

ซึ่งสมมาตรในaและbหมายความว่าไฮเปอร์โอเปอเรชันทั้งหมดสามารถสลับที่ได้ ลำดับนี้ไม่มีการยกกำลังดังนั้นจึงไม่ก่อให้เกิดลำดับชั้นของไฮเปอร์โอเปอเรชัน

n	การดำเนินการ	ความคิดเห็น
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=\ln \left(e^{a}+e^{b}\right)}$	ค่าสูงสุดที่ปรับเรียบ ( LogSumExp )
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}}$	นี่เป็นผลมาจากคุณสมบัติ ของลอการิทึม
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{\ln(b)}=e^{\ln(a)\ln(b)}}$	ในฟิลด์จำกัดนี่คือการดำเนินการ แลกเปลี่ยนกุญแจ Diffie–Hellman
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=e^{e^{\ln(\ln(a))\ln(\ln(b))}}}$	อย่าสับสนกับ tetration

RL Goodstein ^{[ 7 ]}ใช้ลำดับของไฮเปอร์โอเปอเรเตอร์เพื่อสร้างระบบการนับสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบการแสดงแทนแบบสืบทอดที่สมบูรณ์ของจำนวนเต็มnที่ระดับkและฐานbสามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้โดยใช้ ไฮเปอร์โอเปอเรเตอร์ k ตัวแรกเท่านั้น และใช้ตัวเลขเพียง 0, 1, ..., b − 1 พร้อมกับฐานbเอง:

• สำหรับ 0 ≤ n ≤ b − 1 นั้นnจะถูกแทนด้วยตัวเลขที่สอดคล้องกัน
• สำหรับn > b − 1 การหาค่าแทนของnจะทำได้โดยวิธีเวียนเกิด โดยเริ่มจากการหาค่าแทน ของ nในรูปแบบ

b [ k ] x _k [ k − 1] x _{k − 1} [ k - 2] ... [2] x ₂ [1] x ₁

โดยที่x _k , ..., x ₁คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข (ตามลำดับ)

b [ k ] x _k ≤ n

b [ k ] x _k [ k − 1] x _{k − 1} ≤ n

...

b [ k ] x _k [ k − 1] x _{k − 1} [ k - 2] ... [2] x ₂ [1] x ₁ ≤ n

ค่า x _iใดๆที่เกินb − 1 จะถูกเขียนใหม่ในลักษณะเดียวกัน และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ จนกว่ารูปแบบที่ได้จะมีเพียงตัวเลข 0, 1, ..., b − 1 พร้อมกับฐานb เท่านั้น

สามารถหลีกเลี่ยงวงเล็บที่ไม่จำเป็นได้โดยการให้ตัวดำเนินการระดับสูงกว่ามีลำดับความสำคัญในการประเมินสูงกว่า ดังนี้

การแสดงผลระดับ 1 มีรูปแบบ b [1] X โดยที่Xก็มีรูปแบบนี้เช่นกัน

การแสดงผลระดับ 2 มีรูปแบบ b [2] X [1] Y โดยที่X , Yก็มีรูปแบบนี้เช่นกัน

การแสดงผลระดับ 3 มีรูปแบบ b [3] X [2] Y [1] Z โดยที่X , Y , Zก็มีรูปแบบนี้เช่นกัน

การแสดงผลระดับ 4 มีรูปแบบ b [4] X [3] Y [2] Z [1] W โดยที่X , Y , Z , Wก็มีรูปแบบนี้เช่นกัน

และอื่นๆ

ในการแสดงแทนแบบ สืบทอด ฐาน b ประเภทนี้ฐานเองจะปรากฏในนิพจน์ เช่นเดียวกับ "ตัวเลข" จากเซต {0, 1, ..., b − 1} ซึ่งแตกต่างจาก การแสดงแทนฐาน 2 แบบธรรมดาเมื่อเขียนออกมาในรูปของฐานbเช่น ในสัญกรณ์ฐาน 2 แบบธรรมดา 6 = (110) ₂ = 2 [3] 2 [2] 1 [1] 2 [3] 1 [2] 1 [1] 2 [3] 0 [2] 0 ในขณะที่การแสดงแทนแบบสืบทอดฐาน 2 ระดับ 3 คือ 6 = 2 [3] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) [2] 1 [1] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) ตัวแทนทางพันธุกรรมสามารถย่อได้โดยการละเว้นกรณีใดๆ ของ [1] 0, [2] 1, [3] 1, [4] 1 เป็นต้น ตัวอย่างเช่น ตัวแทนฐาน 2 ระดับ 3 ข้างต้นของ 6 จะย่อเป็น 2 [3] 2 [1] 2

ตัวอย่าง: ตัวเลข266 ในระบบเลขฐาน 2 ที่ไม่ซ้ำกัน ในระดับ 1, 2, 3, 4 และ 5 มีดังนี้:

ระดับ 1: 266 = 2 [1] 2 [1] 2 [1] ... [1] 2 (โดยมี 2 จำนวน 133 ตัว)

ระดับ 2: 266 = 2 [2] (2 [2] (2 [2] (2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [1] 1)) [1] 1)

ระดับ 3: 266 = 2 [3] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2

ระดับ 4: 266 = 2 [4] (2 [1] 1) [3] 2 [1] 2 [4] 2 [2] 2 [1] 2

ระดับ 5: 266 = 2 [5] 2 [4] 2 [1] 2 [5] 2 [2] 2 [1] 2

นิยามของลำดับไฮเปอร์โอเปอเรชั่นสามารถถ่ายทอดไปยังระบบการเขียนเทอมใหม่ (TRS)ได้ อย่างเป็นธรรมชาติ

นิยามพื้นฐานของลำดับไฮเปอร์โอเปอเรชันสอดคล้องกับกฎการลดรูป

${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\text{(r1)}}&H(0,a,b)&\rightarrow &S(b)\\{\text{(r2)}}&H(S(0),a,0)&\rightarrow &a\\{\text{(r3)}}&H(S(S(0)),a,0)&\rightarrow &0\\{\text{(r4)}}&H(S(S(S(n))),a,0)&\rightarrow &S(0)\\{\text{(r5)}}&H(S(n),a,S(b))&\rightarrow &H(n,a,H(S(n),a,b))\end{array}}}$

ในการคำนวณนั้น สามารถใช้สแต็กซึ่งในตอนเริ่มต้นจะบรรจุองค์ประกอบต่างๆไว้ ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$${\displaystyle \langle n,a,b\rangle }$

จากนั้นทำซ้ำไปเรื่อยๆ จนกว่าจะทำไม่ได้อีกต่อไป โดยการนำองค์ประกอบสามอย่างออกและแทนที่ตามกฎ^{[ nb 5 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{lllllllll}{\text{(r1)}}&0&,&a&,&b&\rightarrow &(b+1)\\{\text{(r2)}}&1&,&a&,&0&\rightarrow &a\\{\text{(r3)}}&2&,&a&,&0&\rightarrow &0\\{\text{(r4)}}&(n+3)&,&a&,&0&\rightarrow &1\\{\text{(r5)}}&(n+1)&,&a&,&(b+1)&\rightarrow &n&,&a&,&(n+1)&,&a&,&b\end{array}}}$

โดยสังเขป เริ่มต้นจาก: ${\displaystyle \langle n,a,b\rangle }$

ในขณะที่ stackLength น้อยกว่าหรือเท่ากับ 1 { POP 3 องค์ประกอบ; PUSH 1 หรือ 5 องค์ประกอบตามกฎ r1, r2, r3, r4, r5; } 

ตัวอย่าง

คำนวณ^{[ 32 ]}​${\displaystyle H_{2}(2,2)\rightarrow _{*}4}$

ลำดับการลดคือ^{[ nb 5 ] [ nb 6 ]}

${\displaystyle {\underline {H(S(S(0)),S(S(0)),S(S(0)))}}}$

${\displaystyle \rightarrow _{r5}H(S(0),S(S(0)),{\underline {H(S(S(0)),S(S(0)),S(0))}})}$

${\displaystyle \rightarrow _{r5}H(S(0),S(S(0)),H(S(0),S(S(0)),{\underline {H(S(S(0)),S(S(0)),0)}}))}$

${\displaystyle \rightarrow _{r3}H(S(0),S(S(0)),{\underline {H(S(0),S(S(0)),0)}})}$

${\displaystyle \rightarrow _{r2}{\underline {H(S(0),S(S(0)),S(S(0)))}}}$

${\displaystyle \rightarrow _{r5}H(0,S(S(0)),{\underline {H(S(0),S(S(0)),S(0))}})}$

${\displaystyle \rightarrow _{r5}H(0,S(S(0)),H(0,S(S(0)),{\underline {H(S(0),S(S(0)),0)}}))}$

${\displaystyle \rightarrow _{r2}H(0,S(S(0)),{\underline {H(0,S(S(0)),S(S(0)))}})}$

${\displaystyle \rightarrow _{r1}{\underline {H(0,S(S(0)),S(S(S(0))))}}}$

${\displaystyle \rightarrow _{r1}S(S(S(S(0))))}$

เมื่อนำไปใช้โดยใช้สแต็ก ในส่วนของอินพุต${\displaystyle \langle 2,2,2\rangle }$

การกำหนดค่าสแต็ก	แสดงถึงสมการ
${\displaystyle {\underline {2,2,2}}}$	${\displaystyle H_{2}(2,2)}$
${\displaystyle \rightarrow _{r5}1,2,{\underline {2,2,1}}}$	${\displaystyle =H_{1}(2,H_{2}(2,1))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r5}1,2,1,2,{\underline {2,2,0}}}$	${\displaystyle =H_{1}(2,H_{1}(2,H_{2}(2,0)))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r3}1,2,{\underline {1,2,0}}}$	${\displaystyle =H_{1}(2,H_{1}(2,0))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r2}{\underline {1,2,2}}}$	${\displaystyle =H_{1}(2,2)}$
${\displaystyle \rightarrow _{r5}0,2,{\underline {1,2,1}}}$	${\displaystyle =H_{0}(2,H_{1}(2,1))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r5}0,2,0,2,{\underline {1,2,0}}}$	${\displaystyle =H_{0}(2,H_{0}(2,H_{1}(2,0)))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r2}0,2,{\underline {0,2,2}}}$	${\displaystyle =H_{0}(2,H_{0}(2,2))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r1}{\underline {0,2,3}}}$	${\displaystyle =H_{0}(2,3)}$
${\displaystyle \rightarrow _{r1}4}$	${\displaystyle =4}$

นิยามที่ใช้การวนซ้ำนำไปสู่ชุดกฎการลดรูปที่แตกต่างกัน

${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\text{(r6)}}&H(S(0),0,a,b)&\rightarrow &S(b)\\{\text{(r7)}}&H(S(0),S(0),a,0)&\rightarrow &a\\{\text{(r8)}}&H(S(0),S(S(0)),a,0)&\rightarrow &0\\{\text{(r9)}}&H(S(0),S(S(S(n))),a,0)&\rightarrow &S(0)\\{\text{(r10)}}&H(S(0),S(n),a,S(b))&\rightarrow &H(S(b),n,a,H(S(0),S(n),a,0))\\{\text{(r11)}}&H(S(S(x)),n,a,b)&\rightarrow &H(S(0),n,a,H(S(x),n,a,b))\end{array}}}$

เนื่องจากการวนซ้ำมีคุณสมบัติการสลับที่ดังนั้นแทนที่จะใช้กฎ r11 เราสามารถกำหนดได้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\text{(r12)}}&H(S(S(x)),n,a,b)&\rightarrow &H(S(x),n,a,H(S(0),n,a,b))\end{array}}}$

เช่นเดียวกับในหัวข้อก่อนหน้า การคำนวณสามารถดำเนินการได้โดยใช้สแต็ก ${\displaystyle H_{n}(a,b)=H_{n}^{1}(a,b)}$

ในขั้นต้น สแต็กประกอบด้วยองค์ประกอบสี่อย่าง ${\displaystyle \langle 1,n,a,b\rangle }$

จากนั้น จนกว่าจะสิ้นสุด จะมีการนำองค์ประกอบสี่รายการออกและแทนที่ตามกฎ^{[ nb 5 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{lllllllll}{\text{(r6)}}&1&,0&,a&,b&\rightarrow &(b+1)\\{\text{(r7)}}&1&,1&,a&,0&\rightarrow &a\\{\text{(r8)}}&1&,2&,a&,0&\rightarrow &0\\{\text{(r9)}}&1&,(n+3)&,a&,0&\rightarrow &1\\{\text{(r10)}}&1&,(n+1)&,a&,(b+1)&\rightarrow &(b+1)&,n&,a&,1&,(n+1)&,a&,0\\{\text{(r11)}}&(x+2)&,n&,a&,b&\rightarrow &1&,n&,a&,(x+1)&,n&,a&,b\end{array}}}$

โดยสังเขป เริ่มต้นจาก: ${\displaystyle \langle 1,n,a,b\rangle }$

ในขณะที่ stackLength น้อยกว่าหรือเท่ากับ 1 { POP 4 องค์ประกอบ; PUSH 1 หรือ 7 องค์ประกอบตามกฎ r6, r7, r8, r9, r10, r11; } 

ตัวอย่าง

คำนวณ​ ${\displaystyle H_{3}(0,3)\rightarrow _{*}0}$

เมื่อป้อนข้อมูลเข้าไปการจัดเรียงสแต็กที่ต่อเนื่องกันจะเป็นดังนี้ ${\displaystyle \langle 1,3,0,3\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underline {1,3,0,3}}\rightarrow _{r10}3,2,0,{\underline {1,3,0,0}}\rightarrow _{r9}{\underline {3,2,0,1}}\rightarrow _{r11}1,2,0,{\underline {2,2,0,1}}\rightarrow _{r11}1,2,0,1,2,0,{\underline {1,2,0,1}}\\&\rightarrow _{r10}1,2,0,1,2,0,1,1,0,{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}1,2,0,1,2,0,{\underline {1,1,0,0}}\rightarrow _{r7}1,2,0,{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}0.\end{aligned}}}$

ความเท่าเทียมกันที่สอดคล้องกันคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}&H_{3}(0,3)=H_{2}^{3}(0,H_{3}(0,0))=H_{2}^{3}(0,1)=H_{2}(0,H_{2}^{2}(0,1))=H_{2}(0,H_{2}(0,H_{2}(0,1))\\&=H_{2}(0,H_{2}(0,H_{1}(0,H_{2}(0,0))))=H_{2}(0,H_{2}(0,H_{1}(0,0)))=H_{2}(0,H_{2}(0,0))=H_{2}(0,0)=0.\end{aligned}}}$

เมื่อกฎการลดรูป r11 ถูกแทนที่ด้วยกฎ r12 สแต็กจะถูกแปลงตาม

${\displaystyle {\begin{array}{lllllllll}{\text{(r12)}}&(x+2)&,n&,a&,b&\rightarrow &(x+1)&,n&,a&,1&,n&,a&,b\end{array}}}$

จากนั้นการจัดเรียงซ้อนในลำดับถัดไปจะเป็นดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underline {1,3,0,3}}\rightarrow _{r10}3,2,0,{\underline {1,3,0,0}}\rightarrow _{r9}{\underline {3,2,0,1}}\rightarrow _{r12}2,2,0,{\underline {1,2,0,1}}\rightarrow _{r10}2,2,0,1,1,0,{\underline {1,2,0,0}}\\&\rightarrow _{r8}2,2,0,{\underline {1,1,0,0}}\rightarrow _{r7}{\underline {2,2,0,0}}\rightarrow _{r12}1,2,0,{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}0\end{aligned}}}$

ความเท่าเทียมกันที่สอดคล้องกันคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}&H_{3}(0,3)=H_{2}^{3}(0,H_{3}(0,0))=H_{2}^{3}(0,1)=H_{2}^{2}(0,H_{2}(0,1))=H_{2}^{2}(0,H_{1}(0,H_{2}(0,0)))\\&=H_{2}^{2}(0,H_{1}(0,0))=H_{2}^{2}(0,0)=H_{2}(0,H_{2}(0,0))=H_{2}(0,0)=0\end{aligned}}}$

หมายเหตุ

• ${\displaystyle H_{3}(0,3)=0}$เป็นกรณีพิเศษ ดู§ กรณีพิเศษด้านบน^{[ nb 3 ]}
• การคำนวณตามกฎ {r6 - r10, r11} เป็นการเรียกซ้ำอย่างมาก สาเหตุมาจากลำดับการดำเนินการวนซ้ำ: ตัวแรกจะหายไปก็ต่อเมื่อลำดับทั้งหมดถูกคลี่ออกแล้ว ตัวอย่างเช่นลู่เข้าสู่ 65536 ใน 2863311767 ขั้นตอน ความลึกสูงสุดของการเรียกซ้ำ^{[ nb 7 ]}คือ 65534${\displaystyle H_{n}(a,b)}$${\displaystyle H^{n}(a,b)=H(a,H^{n-1}(a,b))}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H_{4}(2,4)}$
• การคำนวณตามกฎ {r6 - r10, r12} มีประสิทธิภาพมากกว่าในแง่นั้น การนำการวนซ้ำ มาใช้เลียน แบบการดำเนินการซ้ำของขั้นตอน H ^{[ nb 8 ]}ความลึกของการเรียกซ้ำ (n+1) ตรงกับการซ้อนลูปMeyer & Ritchie (1967)ได้กำหนดรูปแบบความสอดคล้องนี้ การคำนวณตามกฎ {r6-r10, r12} ยังต้องการ 2863311767 ขั้นตอนเพื่อให้ลู่เข้าสู่ 65536 แต่ความลึกสูงสุดของการเรียกซ้ำมีเพียง 5 เท่านั้น เนื่องจาก tetration เป็นตัวดำเนินการลำดับที่ 5 ในลำดับ hyperoperation${\displaystyle H^{n}(a,b)}$${\displaystyle H^{n-1}(a,H(a,b))}$${\displaystyle H_{4}(2,4)}$
• ข้อพิจารณาข้างต้นเกี่ยวข้องกับความลึกของการเรียกซ้ำเท่านั้น ทั้งสองวิธีในการวนซ้ำจะนำไปสู่จำนวนขั้นตอนการลดที่เท่ากัน โดยใช้กฎเดียวกัน (เมื่อถือว่ากฎ r11 และ r12 "เหมือนกัน") ดังตัวอย่างที่แสดง การลดจะลู่เข้าใน 9 ขั้นตอน: 1 X r7, 3 X r8, 1 X r9, 2 X r10, 2 X r11/r12 วิธีการวนซ้ำ (modus iterandi) มีผลต่อลำดับในการใช้กฎการลดเท่านั้น${\displaystyle H_{3}(0,3)}$

Wikifunctionsมีฟังก์ชันไฮเปอร์โอเปอเรชั่นอยู่

• จำนวนมาก
• ลำดับชั้นที่เติบโตอย่างรวดเร็ว
• ฟังก์ชันเวเบลน