พหุนามคราฟชุกหรือพหุนามคราฟชุก (เขียนโดยใช้การถอดเสียงนามสกุลยูเครนКравчу́к ในรูปแบบอื่นๆ ด้วย ) เป็นพหุนามเชิงตั้งฉากแบบไม่ต่อเนื่อง ที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงทวินามซึ่งแนะนำโดย มิคาอิล คราฟชุก  ( 1929 ) พหุนามแรกๆ (สำหรับq = 2) มีดังนี้:

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{0}(x;n)=1,}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{1}(x;n)=-2x+n,}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{2}(x;n)=2x^{2}-2nx+{\binom {n}{2}},}$

${\displaystyle {\mathcal {K}__{3}(x;n)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2nx^{2}-(n^{2}-n+{\frac {2}{3}})x+{\binom {n}{3}}.}$

พหุนามคราฟชุกเป็นกรณีพิเศษของพหุนามไมซ์เนอร์ชนิดแรก

สำหรับกำลังของจำนวนเฉพาะq ใดๆ และจำนวนเต็มบวกn ใดๆ ให้กำหนดพหุนาม Kravchuk สำหรับ q = q + n ...$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {K}__{k}(x;n,q)={\mathcal {K}__{k}(x)={}&\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}(q-1)^{kj}{\binom {x}{j}}{\binom {nx}{kj}}\\={}&\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}(q-1)^{kj}{\frac {x^{\ขีดเส้นใต้ {j}}}{j!}}{\frac {(nx)^{\ขีดเส้นใต้ {kj}}}{(kj)!}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle k=0,1,\ldots ,n}$${\displaystyle x}$

พหุนามคราฟชุกมีรูปแบบการแสดงออกทางเลือกดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\mathcal {K}__{k}(x;n,q)=\sum _{j=0}^{k}(-q)^{j}(q-1)^{kj}{\binom {nj}{kj}}{\binom {x}{j}}.}$

${\displaystyle {\mathcal {K}__{k}(x;n,q)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}q^{kj}{\binom {n-k+j}{j}}{\binom {nx}{kj}}.}$

โปรดสังเกตว่ามีมากกว่าแค่การนำวัสดุจากสัมประสิทธิ์ทวินามสองตัวมารวมกันใหม่ซึ่งทำให้สูตรเหล่านี้แตกต่างจากคำจำกัดความข้างต้น ในสูตรเหล่านี้ มีเพียงพจน์เดียวของผลรวมที่มีดีกรีในขณะที่ในคำจำกัดความ พจน์ทั้งหมดมีดีกรี ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

สำหรับจำนวนเต็มเรามีว่า ${\displaystyle i,k\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(q-1)^{i}{n \choose i}{\mathcal {K}}_{k}(i;n,q)=(q-1)^{k}{n \choose k}{\mathcal {K}}_{i}(k;n,q).\end{aligned}}}$

สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบr , s ,

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}(q-1)^{i}{\mathcal {K}}_{r}(i;n,q){\mathcal {K}}_{s}(i;n,q)=q^{n}(q-1)^{r}{\binom {n}{r}}\delta _{r,s}.}$

ลำดับการก่อกำเนิดของพหุนามคราฟชุกแสดงไว้ดังต่อไปนี้ โดยมีตัวแปรเชิงรูปธรรมอยู่ ด้วย${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+(q-1)z)^{nx}(1-z)^{x}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\mathcal {K}__{k}(x;n,q){z^{k}}.\end{aligned}}}$

พหุนามคราฟชุกสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดสามพจน์

${\displaystyle {\begin{aligned}x{\mathcal {K}__{k}(x;n,q)=-q(nk){\mathcal {K}__{k+1}(x;n,q)+(q(nk)+k(1-q)){\mathcal {K}__{k}(x;n,q)-k(1-q){\mathcal {K}__{k-1}(x;n,q).\end{aligned}}}$

• เมทริกซ์ Krawtchouk
• พหุนามเฮอร์ไมต์

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับพหุนามคราฟชุก

• หน้าหลักของพหุนาม Krawtchouk
• "พหุนาม Krawtchouk"ที่MathWorld