ในคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีวงแหวนทฤษฎีบทของ Krullซึ่งตั้งชื่อตามWolfgang Krullยืนยันว่าวงแหวนที่ไม่เป็นศูนย์^{[ 1 ]} มี อุดมคติสูงสุดอย่างน้อยหนึ่งรายการ ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์ในปี 1929 โดย Krull ซึ่งใช้การเหนี่ยวนำแบบอนันต์ทฤษฎีบทนี้ยอมรับการพิสูจน์อย่างง่ายโดยใช้เลมมาของ Zornและในความเป็นจริงเทียบเท่ากับ เลมมา ของZorn ^{[ 2 ]}ซึ่งเทียบเท่ากับสัจพจน์ของการเลือก

• สำหรับวงแหวนที่ไม่สลับที่กันได้หลักการที่คล้ายคลึงกันสำหรับอุดมคติซ้ายสูงสุดและอุดมคติขวาสูงสุดก็ยังคงใช้ได้อยู่
• สำหรับวงแหวนเทียมทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับอุดมคติปกติ
• ผลลัพธ์ที่ดูเหมือนจะแข็งแกร่งกว่าเล็กน้อย (แต่เทียบเท่ากัน) ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกัน มีดังนี้:

ให้Rเป็นริง และให้Iเป็นไอเดียลแท้ของRแล้วจะมีไอเดียลสูงสุดของRที่บรรจุIอยู่

ข้อความของทฤษฎีบทดั้งเดิมสามารถได้มาโดยการกำหนดให้Iเป็นไอเดียลศูนย์ (0) ในทางกลับกัน การนำทฤษฎีบทดั้งเดิมไปใช้กับR / Iจะนำไปสู่ผลลัพธ์นี้

เพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ที่ "แข็งแกร่งกว่า" โดยตรง ให้พิจารณาเซตSของไอเดียลแท้ทั้งหมดของRที่มีI อยู่ภายใน เซตSไม่ว่างเปล่าเนื่องจากI ∈ Sยิ่งไปกว่านั้น สำหรับสายโซ่T ใดๆ ของSการรวมกันของไอเดียลในTคือไอเดียลJและการรวมกันของไอเดียลที่ไม่ประกอบด้วย 1 จะไม่ประกอบด้วย 1 ดังนั้นJ ∈ Sจากทฤษฎีบทของ Zorn เซตSมีสมาชิกสูงสุดM ซึ่ง Mนี้ เป็นไอเดียลสูงสุด ที่ประกอบด้วยI