ให้X เป็นตระกูลของการแจกแจงความน่าจะเป็นบนเส้นจำนวนจริงที่มีดัชนีเป็นพารามิเตอร์จริง θ และเป็นไปตามเงื่อนไขความสม่ำเสมอ บางประการ แล้ว $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {D_{KL}(X_{\theta +h}\parallel X_{\theta })}{h^{2}}}\geq \lim _{h\to 0}{\frac {\Psi _{\theta }^{*}(\mu _{\theta +h})}{h^{2}}},}$$

ที่ไหน${\displaystyle \Psi _{\ทีต้า }^{*}}$คือคอนจูเกตแบบนูนของฟังก์ชันสร้างคูมูลันต์ของ${\displaystyle X_{\theta }}$และ${\displaystyle \mu _{\theta +h}}$เป็นช่วงเวลาแรกของ${\displaystyle X_{\theta +h}.}$

ด้านซ้ายของอสมการนี้สามารถลดรูปได้ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {D_{KL}(X_{\theta +h}\parallel X_{\theta })}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\log \left({\frac {\mathrm {d} X_{\theta +h}}{\mathrm {d} X_{\theta }}}\right)\mathrm {d} X_{\theta +h}\\&=-\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\log \left({\frac {\mathrm {d} X_{\theta }}{\mathrm {d} X_{\theta +h}}}\right)\mathrm {d} X_{\theta +h}\\&=-\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\log \left(1-\left(1-{\frac {\mathrm {d} X_{\theta }}{\mathrm {d} X_{\theta +h}}}\right)\right)\mathrm {d} X_{\theta +h}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[\left(1-{\frac {\mathrm {d} X_{\theta }}{\mathrm {d} X_{\theta +h}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {\mathrm {d} X_{\theta }}{\mathrm {d} X_{\theta +h}}}\right)^{2}+o\left(\left(1-{\frac {\mathrm {d} X_{\theta }}{\mathrm {d} X_{\theta +h}}}\right)^{2}\right)\right]\mathrm {d} X_{\theta +h}&&{\text{Taylor series for }}\log(1-t)\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {\mathrm {d} X_{\theta }}{\mathrm {d} X_{\theta +h}}}\right)^{2}\right]\mathrm {d} X_{\theta +h}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} X_{\theta +h}-\mathrm {d} X_{\theta }}{\mathrm {d} X_{\theta +h}}}\right)^{2}\right]\mathrm {d} X_{\theta +h}\\&={\frac {1}{2}}{\mathcal {I}}_{X}(\theta )\end{aligned}}}$$ ซึ่งก็คือครึ่งหนึ่งของข้อมูลฟิชเชอร์ของพารามิเตอร์θ

ด้านขวาของอสมการสามารถพัฒนาได้ดังนี้: $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\Psi _{\theta }^{*}(\mu _{\theta +h})}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{2}}}{\sup _{t}\{\mu _{\theta +h}t-\Psi _{\theta }(t)\}}.}$$ ค่าสูงสุดนี้เกิดขึ้นที่ค่าt = τ โดยที่อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันสร้างคุมูลันต์คือ${\displaystyle \Psi '_{\theta }(\tau )=\mu _{\theta +h},}$แต่เรามี${\displaystyle \Psi '_{\theta }(0)=\mu _{\theta },}$ดังนั้น $${\displaystyle \Psi ''_{\theta }(0)={\frac {d\mu _{\theta }}{d\theta }}\lim _{h\to 0}{\frac {h}{\tau }}.}$$ นอกจากนี้, $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\Psi _{\theta }^{*}(\mu _{\theta +h})}{h^{2}}}={\frac {1}{2\Psi ''_{\theta }(0)}}\left({\frac {d\mu _{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}={\frac {1}{2\operatorname {Var} (X_{\theta })}}\left({\frac {d\mu _{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}.}$$

เรามี: $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\mathcal {I}}_{X}(\theta )\geq {\frac {1}{2\operatorname {Var} (X_{\theta })}}\left({\frac {d\mu _{\theta }}{d\theta }}\right)^{2},}$$ ซึ่งสามารถจัดเรียงใหม่ได้ดังนี้: $${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{\theta })\geq {\frac {(d\mu _{\theta }/d\theta )^{2}}{{\mathcal {I}}_{X}(\theta )}}.}$$