ในทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในโทโพโลยีโครงสร้างคุรานิชิเป็นอนาล็อกที่เรียบเนียนของ โครงสร้าง สกีมหากปริภูมิโทโพโลยีมีโครงสร้างคุรานิชิแล้ว ในระดับท้องถิ่น ปริภูมินั้นสามารถระบุได้ว่าเป็นเซตศูนย์ของแผนที่เรียบ${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{k})\colon \mathbb {R} ^{n+k}\to \mathbb {R} ^{k}}$หรือผลหารของเซตศูนย์ดังกล่าวโดยกลุ่มจำกัด โครงสร้างคุรานิชิได้รับการแนะนำโดยนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นเคนจิ ฟุกายะและคาโอรุ โอโนะ ในการศึกษาอินวาเรียนต์ของโกรโมฟ-วิตเทนและโฮโมโลยีฟลอร์ในเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติกและตั้งชื่อตามมาซาตาเกะ คุรานิชิ^{[ 1 ]}

อนุญาต${\displaystyle X}$เป็น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี แบบเมตริกซ์ขนาดกะทัดรัด ให้${\displaystyle p\in X}$เป็นจุดหนึ่งย่านคุรานิชิแห่งหนึ่ง${\displaystyle p}$(ของมิติ)${\displaystyle k}$) เป็นทูเพิล 5 ตัว

${\displaystyle K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle U_{p}}$เป็น ออร์บิโฟลด์เรียบ;
• ${\displaystyle E_{p}\to U_{p}}$เป็นมัดเวกเตอร์ออ ร์บิโฟล ด์ เรียบ
• ${\displaystyle S_{p}\colon U_{p}\to E_{p}}$เป็นส่วนที่เรียบ
• ${\displaystyle F_{p}}$เป็นย่านเปิดโล่งของ${\displaystyle p}$;
• ${\displaystyle \psi _{p}\colon S_{p}^{-1}(0)\to F_{p}}$เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึม

พวกเขาควรทำให้สิ่งนั้นพึงพอใจ${\displaystyle \dim U_{p}-\operatorname {rank} E_{p}=k}$.

ถ้า${\displaystyle p,q\in X}$และ${\displaystyle K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})}$,${\displaystyle K_{q}=(U_{q},E_{q},S_{q},F_{q},\psi _{q})}$คือย่านคุรานิชิของพวกเขาตามลำดับ จากนั้นจึงเปลี่ยนพิกัดจาก${\displaystyle K_{q}}$ถึง${\displaystyle K_{p}}$เป็นสามเท่า

${\displaystyle T_{pq}=(U_{pq},\phi _{pq},{\hat {\phi }__{pq}),}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle U_{pq}\subset U_{q}}$เป็นซับออร์บิโฟลด์แบบเปิด
• ${\displaystyle \phi _{pq}\colon U_{pq}\to U_{p}}$เป็นการฝังตัวแบบออร์บิโฟลด์
• ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{pq}\colon E_{q}|_{U_{pq}}\to E_{p}}$เป็นการฝังเวกเตอร์บันเดิลออร์บิโฟลด์ซึ่งครอบคลุม${\displaystyle \phi _{pq}}$.

นอกจากนี้ ข้อมูลเหล่านี้ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขความเข้ากันได้ต่อไปนี้:

• ${\displaystyle S_{p}\circ \phi _{pq}={\hat {\phi }}_{pq}\circ S_{q}|_{U_{pq}}}$;
• ${\displaystyle \psi _{p}\circ \phi _{pq}|_{S_{q}^{-1}(0)\cap U_{pq}}=\psi _{q}|_{S_{q}^{-1}(0)\cap U_{pq}}}$.

โครงสร้างคุรานิชิบน${\displaystyle X}$ของมิติ${\displaystyle k}$เป็นคอลเล็กชัน

${\displaystyle {\Big (}\{K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})\ |\ p\in X\},\ \{T_{pq}=(U_{pq},\phi _{pq},{\hat {\phi }}_{pq})\ |\ p\in X,\ q\in F_{p}\}{\Big )},}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle K_{p}}$เป็นย่านคุรานิชิแห่งหนึ่งของ...${\displaystyle p}$ของมิติ${\displaystyle k}$;
• ${\displaystyle T_{pq}}$เป็นการเปลี่ยนพิกัดจาก${\displaystyle K_{q}}$ถึง${\displaystyle K_{p}}$.

นอกจากนี้ การเปลี่ยนแปลงพิกัดจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขโคไซเคิลกล่าวคือ เมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle q\in F_{p},\ r\in F_{q}}$เราต้องการสิ่งนั้น

${\displaystyle \phi _{pq}\circ \phi _{qr}=\phi _{pr},\ {\hat {\phi }}_{pq}\circ {\hat {\phi }}_{qr}={\hat {\phi }}_{pr}}$

ในบริเวณที่ทั้งสองฝ่ายมีการกำหนดขอบเขตไว้

ในทฤษฎี Gromov–Wittenจำเป็นต้องกำหนดการอินทิเกรตเหนือปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้งซูโดโฮโลมอร์ฟิก${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$[ ^{2 ] พื้นที่โม ดู}ลัสนี้โดยประมาณคือการรวบรวมแผนที่${\displaystyle u}$จากพื้นผิวรีมันน์ แบบปมที่ มีจีนัส${\displaystyle g}$และ${\displaystyle n}$จุดที่ทำเครื่องหมายไว้ในแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก${\displaystyle X}$โดยที่แต่ละส่วนประกอบเป็นไปตามสมการโคชี-รีมันน์

${\displaystyle {\overline {\partial }}_{J}u=0}$.

ถ้าปริภูมิโมดูลัสเป็นแมนิโฟลด์หรือออร์บิโฟลด์ที่เรียบ กระชับ และมีทิศทาง การอินทิเกรต (หรือคลาสพื้นฐาน ) ก็สามารถกำหนดได้ เมื่อแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก${\displaystyle X}$เป็นค่ากึ่งบวกซึ่งเป็นเช่นนั้นจริง ๆ (ยกเว้นขอบเขตโคไดเมนชัน 2 ของปริภูมิโมดูลัส) หากโครงสร้างเกือบซับซ้อน${\displaystyle J}$โดยทั่วไปแล้วจะถูกรบกวน อย่างไรก็ตาม เมื่อ${\displaystyle X}$หากไม่ใช่กึ่งบวก (ตัวอย่างเช่น วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟ เรียบ ที่มีชั้นเชิร์นแรกเป็นลบ) ปริภูมิโมดูลัสอาจมีโครงสร้างที่ส่วนประกอบหนึ่งเป็นมัลติคัฟเวอร์ของทรงกลมโฮโลมอร์ฟิก${\displaystyle u\colon S^{2}\to X}$ซึ่งจุดตัดกับ ชั้นเชิร์นแรกของ${\displaystyle X}$เป็นค่าลบ การจัดเรียงแบบนี้ทำให้ปริภูมิโมดูลัสมีความเป็นเอกลักษณ์มาก ดังนั้นจึงไม่สามารถกำหนดคลาสพื้นฐานได้ด้วยวิธีปกติ

แนวคิดของโครงสร้าง Kuranishi เป็นวิธีการกำหนดวงจรพื้นฐานเสมือน ซึ่งทำหน้าที่เหมือนกับวงจรพื้นฐานเมื่อพื้นที่โมดูลัสถูกตัดออกในแนวขวาง แนวคิดนี้ถูกใช้ครั้งแรกโดย Fukaya และ Ono ในการกำหนดตัวแปร Gromov–Witten และ Floer homology และได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมเมื่อ Fukaya, Yong-Geun Oh , Hiroshi Ohta และ Ono ศึกษาทฤษฎี Floer ของการตัดกันของ Lagrangian ^{[ 3 ]}