ในแคลคูลัสเวกเตอร์ฟิลด์เวกเตอร์ลามิลลาร์เชิงซ้อนคือฟิลด์เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับกลุ่มของพื้นผิว ในบริบทที่กว้างขึ้นของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ฟิลด์เวกเตอร์ลามิลลาร์เชิงซ้อนมักถูกเรียกว่าฟิลด์เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับไฮเปอร์เซอร์ เฟซ พวก มันสามารถอธิบายได้หลายวิธี ซึ่งหลายวิธีเกี่ยวข้องกับเคิร์ล ฟิลด์ เวก เตอร์ลามิลลา ร์เป็นกรณีพิเศษของฟิลด์เวกเตอร์ที่มีเคิร์ลเป็นศูนย์

คำคุณศัพท์ "lamellar" มาจากคำนาม "lamella" ซึ่งหมายถึงชั้นบาง ๆlamellaeที่ "lamellar vector field" อ้างถึงคือพื้นผิวที่มีศักยภาพคงที่ หรือในกรณีที่ซับซ้อน พื้นผิวที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ฟิลด์^{[ 1 ]}

ในแคลคูลัสเวกเตอร์สนามเวกเตอร์ลามิลลาร์เชิงซ้อนคือสนามเวกเตอร์ในสามมิติซึ่งตั้งฉาก กับ เคิร์ลของตัวเอง^{[ 2 ]}นั่นคือ

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$

บางครั้ง คำว่าสนามเวกเตอร์แบบแผ่นบางถูกใช้เป็นคำพ้องความหมายสำหรับกรณีพิเศษของสนามเวกเตอร์แบบไร้การหมุนซึ่งหมายความว่า^{[ 3 ]}

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0} .}$

สนามเวกเตอร์ลามิลลาร์เชิงซ้อนคือสนามที่ตั้งฉากกับตระกูลของพื้นผิว สนามเวกเตอร์ไร้การหมุนคือเกรเดียนต์ของฟังก์ชันในระดับท้องถิ่น และดังนั้นจึงตั้งฉากกับตระกูลของพื้นผิวระดับ ( พื้นผิวศักย์เท่ากัน ) ^{[ 4 ]}สนามเวกเตอร์ใดๆ ก็สามารถแยกออกเป็นผลรวมของสนามเวกเตอร์ไร้การหมุนและสนามลามิลลาร์เชิงซ้อนได้^{[ 5 ]}

โดยทั่วไปแล้ว เวกเตอร์ฟิลด์Fบนแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์เรียกว่าตั้งฉากกับไฮเปอร์เซอร์เฟซได้ถ้าผ่านจุดใดๆ มีไฮเปอร์เซอร์เฟซที่ฝังตัวอย่างราบรื่นซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ฟิลด์ที่ทุกจุด ตามทฤษฎีบทของฟรอเบนิอุสสิ่งนี้เทียบเท่ากับการกำหนดให้วงเล็บลีของเวกเตอร์ฟิลด์เรียบใดๆ ที่ตั้งฉากกับFยังคงตั้งฉากกับFอยู่^{[ 6 ]}

เงื่อนไขของไฮเปอร์เซอร์เฟซ-ออร์โธโกนอลสามารถเขียนใหม่ได้โดยใช้รูปแบบ 1-ฟอร์มเชิงอนุพันธ์ωซึ่งเป็นคู่ของFเงื่อนไขวงเล็บ Lie ที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้สามารถปรับปรุงใหม่ได้เพื่อให้ต้องมีอนุพันธ์ภายนอกd ωเมื่อประเมินบนเวกเตอร์สัมผัสสองตัวใดๆ ที่ตั้งฉากกับFจะเป็นศูนย์^{[ 6 ]}สิ่งนี้อาจเขียนได้อีกอย่างว่าต้องมีรูปแบบ 1-ฟอร์มเรียบที่มีผลคูณเวด^จ์กับωเท่ากับd ω ^{[ 7} ]

อีกทางเลือกหนึ่ง อาจเขียนเงื่อนไขนี้ได้ว่า3-ฟอร์มเชิงอนุพันธ์ω ∧ d ωเป็นศูนย์ นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดได้โดยใช้การเชื่อมต่อ Levi-Civitaที่กำหนดโดยเมตริก ว่าต้องกำหนดให้ส่วนที่ไม่สมมาตรโดยสมบูรณ์ของฟิลด์เทนเซอร์ 3 ω ∇ ω เป็นศูนย์^{[ 8 ]}การใช้สูตรที่แตกต่างกันของทฤษฎีบท Frobenius ยังเทียบเท่ากับการกำหนดให้ω สามารถแสดงได้ ^ในระดับท้องถิ่นเป็นλ d uสำหรับฟังก์ชันλและu บางฟังก์ชัน ^{[ 9} ]

ในกรณีพิเศษของสนามเวกเตอร์บนปริภูมิยูคลิดสามมิติเงื่อนไขไฮเปอร์เซอร์เฟซ-ออร์โธโกนอลเทียบเท่ากับเงื่อนไขลามิลลาร์เชิงซ้อน ดังที่เห็นได้จากการเขียนω ∧ d ω ใหม่ ในรูปของตัวดำเนินการดาว Hodgeเป็น∗⟨ ω , ∗d ω ⟩โดยที่∗d ωเป็นฟอร์มคู่ 1 ของสนามเวกเตอร์เคิร์ล^{[ 10 ]}

เวกเตอร์ฟิลด์ที่ตั้งฉากกับไฮเปอร์เซอร์เฟซมีความสำคัญอย่างยิ่งในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปโดย (ในบรรดาเหตุผลอื่นๆ) การมีอยู่ของเวกเตอร์ฟิลด์ Killingที่ตั้งฉากกับไฮเปอร์เซอร์เฟซเป็นหนึ่งในข้อกำหนดของปริภูมิเวลาคงที่ [ ^{11 ] ใน}บริบทนี้ ความเป็นตั้งฉากกับไฮเปอร์เซอร์เฟซบางครั้งเรียกว่าความเป็นไร้การหมุนแม้ว่าสิ่งนี้จะขัดแย้งกับการใช้งานมาตรฐานในสามมิติก็ตาม^{[ 12 ]}อีกชื่อหนึ่งคือความเป็นไร้การหมุน^{[ 13 ]}

แนวคิดทั่วไปยิ่งกว่านั้น ในภาษาของระบบ Pfaffianคือ1-ฟอร์มω ที่สามารถบูรณาการได้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งเทียบเท่ากับเงื่อนไขω ∧ d ω = 0ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น^{[ 14 ]}ในบริบทนี้ ไม่มีเมตริก ดังนั้นจึงไม่มีแนวคิดเรื่อง "ความเป็นตั้งฉาก"

• สนามเวกเตอร์เบลตรามิ
• สนามเวกเตอร์อนุรักษ์