ในทางสถิติทฤษฎีเชิงอะซิมโทติกหรือทฤษฎีตัวอย่างขนาดใหญ่เป็นกรอบสำหรับการประเมินคุณสมบัติของตัวประมาณค่าและการทดสอบทางสถิติภายในกรอบนี้ มักจะถือว่าขนาดตัวอย่างnอาจเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีที่สิ้นสุด จากนั้นจึงประเมินคุณสมบัติของตัวประมาณค่าและการทดสอบภายใต้ขีดจำกัดของn → ∞ในทางปฏิบัติ การประเมินขีดจำกัดถือว่าใช้ได้โดยประมาณสำหรับขนาดตัวอย่างจำกัดขนาดใหญ่เช่นกัน^{[ 1 ]}

ปัญหาทางสถิติส่วนใหญ่เริ่มต้นด้วยชุดข้อมูลที่มีขนาดnทฤษฎีเชิงอะซิมโทติกดำเนินไปโดยสมมติว่าเป็นไปได้ (ในทางทฤษฎี) ที่จะเก็บรวบรวมข้อมูลเพิ่มเติมต่อไปเรื่อยๆ ดังนั้นขนาดตัวอย่างจึงเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีที่สิ้นสุด กล่าวคือn → ∞ภายใต้สมมติฐานนี้ ผลลัพธ์หลายอย่างสามารถได้มาซึ่งไม่สามารถหาได้จากตัวอย่างที่มีขนาดจำกัด ตัวอย่างเช่นกฎอ่อนของจำนวนมากกฎนี้ระบุว่าสำหรับลำดับของตัวแปรสุ่มอิสระและมีการกระจายเหมือนกัน (IID) X , X , ... , ถ้าดึงค่าหนึ่งค่าจากตัวแปรสุ่มแต่ละตัวและคำนวณค่าเฉลี่ยของ ค่า nค่าแรกเป็นX แล้วX จะลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยของประชากรE[ X ] ในความน่าจะเป็น เมื่อn → ∞ ^{[ 2 ]}

ในทฤษฎีเชิงอะซิมโทติก วิธีการมาตรฐานคือn → ∞สำหรับแบบจำลองทางสถิติ บางแบบ อาจใช้วิธีอะซิมโทติกที่แตกต่างกันเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น สำหรับข้อมูลแบบพาเนลมักจะถือว่ามิติหนึ่งในข้อมูลคงที่ ในขณะที่มิติอื่นเพิ่มขึ้น: T = ค่าคงที่และN → ∞หรือในทางกลับกัน^{[ 2 ]}

นอกเหนือจากวิธีการมาตรฐานในการหาค่าประมาณเชิงอนุกรมแล้ว ยังมีวิธีการทางเลือกอื่นๆ อีก:

• ภายใต้ กรอบแนวคิด ความปกติเชิงอะซิมโทติกเฉพาะที่นั้นถือว่าค่าของ "พารามิเตอร์ที่แท้จริง" ในแบบจำลองจะเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยตามnโดยที่ แบบจำลองที่ nจะสอดคล้องกับθ = θ + h / √ nแนวทางนี้ช่วยให้เราสามารถศึกษาความสม่ำเสมอของตัวประมาณค่าได้
• เมื่อศึกษาการทดสอบทางสถิติ เพื่อหาประสิทธิภาพในการแยกแยะความแตกต่างจากสมมติฐานทางเลือกที่ใกล้เคียงกับสมมติฐานว่าง จะทำภายใต้กรอบที่เรียกว่า "สมมติฐานทางเลือกเฉพาะที่" local alternatives) โดยสมมติฐานว่าง คือH₀ θ = θ₀และสมมติฐานทางเลือกคือH₁ : θ = θ₀ + h / √nวิธีนี้เป็นที่นิยมอย่างยิ่งสำหรับทดสอบรากหน่วย (unit tests )
• มีแบบจำลองที่มิติของปริภูมิพารามิเตอร์Θ ขยายตัวอย่างช้าๆ ตามnซึ่งสะท้อนให้เห็นว่ายิ่งมีจำนวนการสังเกตมากเท่าใด ก็ยิ่งสามารถนำผลกระทบเชิงโครงสร้างมาใส่ในแบบจำลองได้มากขึ้นเท่านั้น
• ในการประมาณความหนาแน่นเคอร์เนลและการถดถอยเคอร์เนลจะมีการกำหนดพารามิเตอร์เพิ่มเติมอีกตัวหนึ่ง คือ แบนด์วิดท์hในแบบจำลองเหล่านั้น โดยทั่วไปจะถือว่าh → 0เมื่อn → ∞อย่างไรก็ตาม อัตราการล convergence ต้องได้รับการเลือกอย่างระมัดระวัง โดยปกติh ∝ n ^−1/5

ในหลายกรณี ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำสูงสำหรับตัวอย่างที่มีขนาดจำกัดสามารถได้มาโดยวิธีการเชิงตัวเลข (เช่น คอมพิวเตอร์) อย่างไรก็ตาม แม้ในกรณีดังกล่าว การวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติกก็ยังคงมีประโยชน์ ประเด็นนี้ได้รับการกล่าวถึงโดยSmall (2010 , §1.4) ดังต่อไปนี้

เป้าหมายหลักของการวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติกคือการทำความเข้าใจเชิงคุณภาพ ที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับเครื่องมือ เชิงปริมาณข้อสรุปของการวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติกมักจะเสริมข้อสรุปที่ได้จากวิธีการเชิงตัวเลข

ต่อไปนี้จะเป็นลำดับของตัวประมาณค่าแบบสุ่ม ${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

กล่าวได้ว่าลำดับนั้น มี ความสอดคล้อง(อย่างอ่อน)หากความน่าจะเป็นของลำดับ นั้นลู่ เข้าสู่ค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์ที่กำลังประมาณค่า: ${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle {\hat {\theta }__{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ \theta _{0}.}$

ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่ค่าประมาณจะเข้าใกล้ค่าจริงมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อค่าจริงเข้าใกล้ค่าอนันต์^{[ 2 ]}ลำดับของการประมาณค่าจะเรียกว่ามีความสอดคล้องกันอย่างมากหากมันลู่ เข้า สู่ค่าพารามิเตอร์ที่แท้จริงเกือบแน่นอนความแตกต่างเล็กน้อยจากตัวประมาณค่าที่มีความสอดคล้องกันน้อยคือ ตัวประมาณค่าที่มีความสอดคล้องกันอย่างมากจะรับประกันว่าจะเข้าใกล้ค่าจริงมากขึ้นเรื่อยๆเมื่อ ค่าจริง เข้าใกล้ค่าอนันต์ในที่สุด ${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\hat {\theta }__{n}{\overset {\mathrm {as} }{\longrightarrow }}\ \theta _{0}.}$$${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle n}$

หากเป็นไปได้ที่จะหาลำดับของค่าคงที่ที่ไม่สุ่ม( ซึ่งอาจขึ้นอยู่กับค่า) และการแจกแจงที่ไม่เสื่อมสภาพโดยที่ ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle b_{n}({\hat {\theta }}_{n}-a_{n})\ \xrightarrow {d} \ \mu ,}$

ดังนั้น ลำดับของตัวประมาณค่าจึงกล่าวได้ว่ามีการกระจายแบบเชิงเส้นกำกับ (asymptotic distribution ) ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}}$${\displaystyle \mu }$

โดยส่วนใหญ่แล้ว การแจกแจงเชิงอะซิมโทติกของตัวประมาณค่าที่พบในทางปฏิบัติคือการแจกแจงปกติ สำหรับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมบางเมทริกซ์ซึ่งในกรณีนี้ ตัวประมาณค่าจะเรียกว่าเป็นแบบปกติเชิงอะซิมโทติก [ ^{3 ] ผู้}เขียนบางคนกำหนดให้และ โดยเฉพาะ แล้วจึงเรียกลำดับของตัวประมาณค่า ว่าแบบ ปกติเชิงอะซิมโทติกสำหรับ^{[ 4 ]}${\displaystyle \mu ={\คณิตศาสตร์ {N}}(0,V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle a_{n}=\theta _{0}}$${\displaystyle b_{n}={\sqrt {n}}}$${\displaystyle \theta _{0}}$

ลำดับนี้เรียกว่าไม่มีอคติในขีดจำกัดถ้า[ ^{5 ]}ตัวประมาณค่าที่มีคุณสมบัตินี้บางครั้งก็เรียกว่า^{ไม่มี}อคติโดยประมาณ^{[ 6 ]}${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {E} [{\hat {\theta }}_{n}]=\theta _{0}}$

ลำดับนี้เรียกว่าไม่มีอคติเชิงอะซิมโทติกสำหรับพารามิเตอร์หากลู่เข้าสู่การกระจายไปยังตัวแปรสุ่มที่มี สำหรับลำดับ ของจำนวนจริงบางลำดับ^{[ 7 ]}${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle \sigma _{n}({\hat {\theta }}_{n}-\theta _{0})}$${\displaystyle G\neq 0}$${\displaystyle \mathbb {E} [G]=0}$${\displaystyle (\sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

หากมีลำดับของจำนวนจริงอยู่ซึ่งแล้วเรียกว่าค่าความแปรปรวนจำกัดของโดยทั่วไปจะเลือก^{[ 8 ]}${\displaystyle (\tau _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\tau _{n}\mathrm {Var} ({{\hat {\theta }}_{n}})=\sigma ^{2}}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \tau _{n}=n}$

หากมีลำดับที่ซึ่งโดยที่เรียกว่าความแปรปรวนเชิงอะซิมโทติกของ[ ^{9 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากเป็นอคติเชิงอะซิมโท^ติกแล้ว ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$$${\displaystyle b_{n}({\hat {\theta }}_{n}-\theta _{0})\xrightarrow {d} G}$$${\displaystyle 0<\mathbb {E} [G^{2}]<\infty }$${\displaystyle V=\mathrm {Var} (G)}$${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle V=\mathbb {E} [G^{2}]}$

ลำดับดังกล่าวเรียกว่ามีประสิทธิภาพเชิงอะซิมโทติกหากเป็นปกติเชิงอะซิมโทติกสำหรับและความแปรปรวนเชิงอะซิมโทติกคือโดยมีข้อมูลของฟิชเชอร์นั่นคือ ความแปรปรวนเชิงอะซิมโทติกบรรลุขอบเขตของCramér –Rao ^{[ 10 ] [ 11 ]}${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle V=I(\theta _{0})^{-1}}$${\displaystyle I(\theta _{0})}$

ดังที่กล่าวมาข้างต้น ให้เป็นลำดับของตัวประมาณค่าใดๆ ${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

• ถ้าเป็นแบบปกติเชิงอะซิมโทติกสำหรับ แล้วมันจะสอดคล้องกัน (ตามทฤษฎีบทของสลุตสกี )${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \theta _{0}}$
• ถ้ามีความสอดคล้องกัน ก็จะไม่มีอคติเชิงอะซิมโทติก^{[ 12 ]}${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$
• ถ้าไม่มีอคติเชิงอะซิมโทติกและสามารถอินทิเกรตได้สม่ำเสมอก็จะไม่มีอคติในลิมิต^{[ 13 ]}ตัวอย่างเช่น กรณีนี้เกิดขึ้นเมื่อโมเมนต์ที่สองมีขอบเขตสม่ำเสมอ กล่าวคือ${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {E} [|{\hat {\theta }}_{n}|^{2}]<\infty }$
• ในกรณีตัวแปรเดียว ถ้าตัวประมาณค่าไม่มีอคติเชิงอะซิมโทติกจะมีค่าความแปรปรวนเชิงอะซิมโทติกและถ้าค่าความแปรปรวนจำกัดมีอยู่จริง ก็จะเป็น. ^{[ 10 ]}ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อลำดับของตัวประมาณค่าที่เป็นมาตรฐาน นั่นคือสำหรับค่าที่เหมาะสมสามารถอินทิเกรตได้สม่ำเสมอ (ซึ่งมักจะเป็นกรณีในทางปฏิบัติ) ^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle \tau ^{2}}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle \tau ^{2}\leq \sigma ^{2}}$${\displaystyle b_{n}({\hat {\theta }}_{n}-\theta _{0})}$${\displaystyle b_{n}}$

คุณสมบัติเชิงอะซิ้มโทติกของลำดับตัวประมาณค่า(สำหรับพารามิเตอร์) มักเป็นผลมาจากทฤษฎีบททั่วไปจากทฤษฎีความน่าจะเป็น ในส่วนต่อไปนี้ เราจะให้ เป็นการสังเกตการณ์ที่เป็นอิสระและมีการกระจายเหมือนกันจากการกระจาย ที่ แท้จริง${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$${\displaystyle \mathbb {P} _{\theta }}$

ถ้าตัวประมาณค่าอยู่ในรูปแบบสำหรับฟังก์ชันที่วัดได้บางฟังก์ชันโดยที่แล้วตามกฎจำนวนมากที่ เข้มงวด${\displaystyle \theta _{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {E} [|f(X_{1})|]<\infty }$

$${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}\xrightarrow {a.s.} \mathbb {E} [f(X_{1})].}$$ดังนั้น ถ้าแล้วจะมีความสอดคล้องอย่างมาก ${\displaystyle \theta =\mathbb {E} [f(X_{1})]}$${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

ถ้าตัวประมาณค่าอยู่ในรูปแบบสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชันและลำดับของตัวประมาณค่าแล้ว ตามทฤษฎีบทการแมปแบบต่อเนื่องเช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงหากการลู่เข้าเกือบแน่นอนถูกแทนที่ด้วยการลู่เข้าในความน่าจะเป็น ${\displaystyle \theta _{n}=f(\tau _{n})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \tau _{n}\xrightarrow {a.s.} \tau }$${\displaystyle \theta _{n}\xrightarrow {a.s.} f(\tau )}$

ดังนั้น ถ้าแล้ว ก็จะมีความสอดคล้อง (อย่างมาก) ${\displaystyle \theta =f(\tau )}$${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

• ทฤษฎีบทลิมิตกลาง
• ทฤษฎีบทฟิชเชอร์-ทิปเป็ต-เกเนเดนโก
• ทฤษฎีบทกลิเวนโก-คันเทลลี
• ทฤษฎีบทของสลุตสกี
• วิธีเดลต้า

• การวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติก
• สถิติที่แม่นยำ
• ทฤษฎีความเบี่ยงเบนขนาดใหญ่