ในพีชคณิตนามธรรมกลุ่มที่มีลำดับบางส่วนคือกลุ่ม ( G , +) ที่มีลำดับบางส่วน "≤" ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนตำแหน่ง กล่าว อีกนัยหนึ่ง " ≤" มีคุณสมบัติว่า สำหรับทุกa , bและgในGถ้าa ≤ bแล้วa + g ≤ b + gและg + a ≤ g + b

สมาชิกxของGเรียกว่าสมาชิกบวกถ้า 0 ≤ xเซตของสมาชิก 0 ≤ xมักจะใช้สัญลักษณ์G ⁺ แทน และเรียกว่ากรวยบวกของ G

โดย อาศัยคุณสมบัติการไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อน เราจะได้ว่าa ≤ bก็ต่อเมื่อ 0 ≤ - a + b เท่านั้น ดังนั้นเราจึงสามารถลดลำดับบางส่วนให้เหลือคุณสมบัติเอกภาคได้ คือa ≤ bก็ต่อเมื่อ- a + b ∈ G ⁺

สำหรับกลุ่มทั่วไปGการมีอยู่ของกรวยบวกบ่งชี้ถึงลำดับบนGกลุ่มGเป็นกลุ่มที่มีลำดับได้บางส่วนก็ต่อเมื่อมีเซตย่อยH (ซึ่งเป็นG ⁺ ) ของGอยู่จริง โดยที่:

• 0 ∈ H
• ถ้าa ∈ Hและb ∈ Hแล้วa + b ∈ H
• ถ้าa ∈ Hแล้ว - x + a + x ∈ Hสำหรับแต่ละxของG
• ถ้าa ∈ Hและ -a ∈ H แล้ว a = 0

กลุ่มที่มีลำดับบางส่วนGที่มีกรวยบวกG ⁺เรียกว่ากลุ่มที่ไม่มีรูพรุนถ้าn · g ∈ G ⁺สำหรับจำนวนเต็มบวกn บางตัว หมายความว่าg ∈ G ⁺การที่ไม่มีรูพรุนหมายความว่าไม่มี "ช่องว่าง" ในกรวยบวก G ⁺

ถ้าลำดับบนกลุ่มเป็นลำดับเชิงเส้น กลุ่ม นั้นจะเรียกว่ากลุ่มที่มีลำดับเชิงเส้นถ้าลำดับบนกลุ่มเป็นลำดับแลตทิซ กล่าว คือ สมาชิกสองตัวใดๆ ก็ตามมีขอบเขตบนน้อยที่สุด กลุ่มนั้นจะเรียกว่ากลุ่มที่มีลำดับแลตทิซ (เรียกสั้นๆ ว่าl-groupแต่โดยปกติจะเขียนด้วยตัวพิมพ์ l: ℓ-group)

กลุ่มRiesz เป็น กลุ่มที่มีลำดับบางส่วนที่ไม่มีรูพรุน โดยมีคุณสมบัติที่อ่อนกว่ากลุ่มที่มีลำดับแบบแลตทิซเล็กน้อย กล่าวคือ กลุ่ม Riesz มีคุณสมบัติการสอดแทรกแบบ Riesz กล่าว คือ ถ้าx ₁ , x ₂ , y ₁ , y ₂ เป็น สมาชิก ของGและx _i ≤ y _jแล้วจะมีz ∈ G อยู่จริง โดยที่x _i ≤ z ≤ y _j

ถ้าGและHเป็นกลุ่มที่มีลำดับบางส่วนสองกลุ่ม ฟังก์ชันจากGไปยังHจะเป็นมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่มีลำดับบางส่วนก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้นเป็นทั้งโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มและฟังก์ชันโมโนโทนิกกลุ่มที่มีลำดับบางส่วนเหล่านี้ เมื่อรวมกับแนวคิดเรื่องมอร์ฟิซึม จะก่อให้เกิดหมวดหมู่ขึ้น

กลุ่มที่มีลำดับบางส่วนถูก นำ มาใช้ในการกำหนดค่าประเมินของฟิลด์

• จำนวนเต็มเรียงลำดับตามปกติ
• ปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับคือกลุ่มที่มีการเรียงลำดับบางส่วน
• ปริภูมิรีซ (Riesz space)คือกลุ่มที่มีการเรียงลำดับตามโครงตาข่าย (lattice-ordered group)
• ตัวอย่างทั่วไปของกลุ่มที่มีลำดับบางส่วนคือZ ⁿโดยที่การดำเนินการของกลุ่มคือการบวกแบบทีละส่วน และเราเขียน ( a ₁ ,..., a _n ) ≤ ( b ₁ ,..., b _n ) ก็ต่อเมื่อa _i ≤ b _i (ตามลำดับจำนวนเต็มปกติ) สำหรับทุกi = 1,..., n
• โดยทั่วไปแล้ว ถ้าGเป็นกลุ่มที่มีลำดับบางส่วน และXเป็นเซตใดเซตหนึ่ง เซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากXไปยังGก็จะเป็นกลุ่มที่มีลำดับบางส่วนเช่นกัน กล่าวคือ การดำเนินการทั้งหมดจะทำทีละส่วน นอกจากนี้ ทุกกลุ่มย่อยของGก็เป็นกลุ่มที่มีลำดับบางส่วนเช่นกัน กล่าวคือ มันได้รับลำดับมาจากG
• ถ้าAเป็นพีชคณิต C* ที่มีมิติจำกัดโดยประมาณหรือโดยทั่วไปแล้ว ถ้าAเป็นพีชคณิต C* ที่มีเอกลักษณ์และจำกัดอย่างเสถียรแล้วK ₀ ( A ) จะเป็นกลุ่มอาเบเลียน ที่มีลำดับบางส่วน (Elliott, 1976)

คุณสมบัติของอาร์คิมีดีสของจำนวนจริงสามารถขยายไปสู่กลุ่มที่มีลำดับบางส่วนได้

คุณสมบัติ: กลุ่มที่มีลำดับบางส่วนเรียกว่า กลุ่ม อาร์คิมีเดียนเมื่อสำหรับทุกถ้าและ สำหรับทุกแล้วหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เมื่อแล้วสำหรับทุกจะมีบางเช่นนั้น${\displaystyle G}$${\displaystyle a,b\in G}$${\displaystyle e\leq a\leq b}$${\displaystyle a^{n}\leq b}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle a=e}$${\displaystyle a\neq e}$${\displaystyle b\in G}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle b<a^{n}}$

กลุ่มG ที่มีลำดับบางส่วน เรียกว่าปิดสมบูรณ์ถ้าสำหรับสมาชิกaและb ทั้งหมด ของGถ้าa ⁿ ≤ bสำหรับจำนวนธรรมชาติn ทั้งหมด แล้วa ≤ 1 ^{[ 1 ]}

คุณสมบัตินี้ค่อนข้างแข็งแกร่งกว่าข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่มที่มีลำดับบางส่วนเป็นกลุ่มอาร์คิมีเดียนแม้ว่าสำหรับกลุ่มที่มีลำดับแลตทิซที่จะเป็นกลุ่มปิดสมบูรณ์และเป็นกลุ่มอาร์คิมีเดียนจะเทียบเท่ากันก็ตาม^{[ 2 ]} มีทฤษฎีบทหนึ่งที่กล่าวว่าทุก กลุ่ม ทิศทาง ที่ปิดสมบูรณ์เป็นกลุ่ม อาเบเลียนอยู่แล้วสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่มทิศทางสามารถฝังลงใน กลุ่มที่มีลำดับแลตทิซ ที่สมบูรณ์ได้ก็ต่อเมื่อกลุ่มนั้นปิดสมบูรณ์^{[ 1 ]}

• กลุ่มที่มีลำดับแบบวัฏจักร  – กลุ่มที่มีลำดับแบบวัฏจักรซึ่งสอดคล้องกับการดำเนินการของกลุ่ม
• กลุ่มที่มีลำดับเชิงเส้น  – กลุ่มที่มีลำดับรวมที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อน
• ฟิลด์เรียงลำดับ  – วัตถุพีชคณิตที่มีโครงสร้างเรียงลำดับ
• แหวนสั่งทำ
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบเรียงลำดับ
• ปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับ  – ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีลำดับบางส่วน
• แหวนสั่งทำบางส่วน  – แหวนที่มีส่วนประกอบที่สั่งทำบางส่วนที่เข้ากันได้
• พื้นที่ที่มีลำดับบางส่วน  – พื้นที่เชิงทอพอโลยีที่มีลำดับบางส่วน

Everett, CJ; Ulam, S. (1945). "เกี่ยวกับกลุ่มเรียงลำดับ" . ธุรกรรมของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน . 57 (2): 208– 216. doi : 10.2307/1990202 . JSTOR  1990202 .

• Kopytov, VM (2001) [1994], "กลุ่มที่มีลำดับบางส่วน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• Kopytov, VM (2001) [1994], "กลุ่มเรียงลำดับตามแลตติส" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• บทความนี้ได้นำเนื้อหาจากกลุ่มที่มีลำดับบางส่วนบนPlanetMath มา ใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License