ในคณิตศาสตร์เชิงการ จัดเรียง เส้นทางแลตติสLในแลตติสจำนวนเต็มdมิติ⁠ ⁠ที่มีความยาวk โดยมีขั้นตอน อยู่ในเซตSคือลำดับของเวกเตอร์⁠ ⁠โดยที่ผลต่างที่ต่อเนื่องกันแต่ละอันอยู่ในS ^{[ 1 ]} เส้นทางแลตติสอาจอยู่ในแลตติส ใดก็ได้ ใน⁠ ⁠ [ ^{1 ]}แต่แลตติสจำนวนเต็ม⁠ ⁠ เป็น ^ที่นิยมใช้มากที่สุด ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots ,v_{k}\in \mathbb {Z} ^{d}}$${\displaystyle v_{i}-v_{i-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$

ตัวอย่างของเส้นทางแลตติสใน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ที่มีความยาว 5 โดยมีขั้นบันไดใน คือ. ${\displaystyle S=\lbrace (2,0),(1,1),(0,-1)\rbrace }$${\displaystyle L=\lbrace (-1,-2),(0,-1),(2,-1),(2,-2),(2,-3),(4,-3)\rbrace }$

เส้นทางโครงตาข่ายทิศ ตะวันออกเฉียงเหนือ (NE)คือเส้นทางโครงตาข่ายที่มีขั้นบันได ใน ขั้นบันได เหล่านี้เรียกว่าขั้นบันไดทิศเหนือและใช้สัญลักษณ์s แทน ส่วน ขั้นบันไดเหล่านี้เรียกว่าขั้นบันไดทิศตะวันออกและใช้สัญลักษณ์s แทน${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle S=\lbrace (0,1),(1,0)\rbrace }$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle E}$

เส้นทางแลตติสของเนบิวลาสุทธิ (NE) ส่วนใหญ่มักเริ่มต้นที่จุดกำเนิด ธรรมเนียมนี้ช่วยให้สามารถเข้ารหัสข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับเส้นทางแลตติสของ NE ในคำเรียงสับเปลี่ยน เพียงคำเดียว ได้ ความยาวของคำจะบอกจำนวนขั้นตอนของเส้นทางแลตติสลำดับของs และs จะสื่อถึงลำดับของนอกจากนี้ จำนวนของs และจำนวนของs ในคำจะเป็นตัวกำหนดจุดสิ้นสุดของเส้นทาง ${\displaystyle L}$${\displaystyle k}$${\displaystyle N}$${\displaystyle E}$${\displaystyle L}$${\displaystyle N}$${\displaystyle E}$${\displaystyle L}$

ถ้าคำแสดงการเรียงสับเปลี่ยนสำหรับเส้นทางโครงข่าย NE ประกอบด้วยขั้นตอน -steps และ-steps และถ้าเส้นทางเริ่มต้นที่จุดกำเนิด เส้นทางนั้นจะสิ้นสุดที่ อย่างแน่นอน เนื่องจากเส้นทาง "เดิน" ไปทางเหนือเป็นระยะ steps และ ไปทางตะวันออก เป็น ระยะ steps จาก${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle e}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (e,n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle e}$${\displaystyle (0,0)}$

เส้นทางบนโครงตาข่ายมักถูกใช้ในการนับวัตถุเชิงการจัดเรียงอื่นๆ ในทำนองเดียวกัน มีวัตถุเชิงการจัดเรียงหลายอย่างที่ใช้นับจำนวนเส้นทางบนโครงตาข่ายชนิดใดชนิดหนึ่ง ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อเส้นทางบนโครงตาข่ายมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับวัตถุที่กล่าวถึง ตัวอย่างเช่น

• เส้นทาง Dyckนับโดยใช้เลข Catalanเส้นทางDyckคือเส้นทางแลตติสในจากไปยังโดยมีขั้นในที่ไม่เคยผ่านต่ำกว่าแกน -axis ^{[ 2 ]}หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นทาง Dyck คือเส้นทางแลตติส NE จากไปยัง ที่อยู่ต่ำกว่าเส้นทแยงมุมอย่างเคร่งครัด (แต่อาจสัมผัส) ^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle n^{\text{th}}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (2n,0)}$${\displaystyle S=\lbrace (1,1),(1,-1)\rbrace }$${\displaystyle x}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (n,n)}$${\displaystyle y=x}$
• ตัวเลข ของSchröderนับจำนวนเส้นทางแลตติซจากถึงโดยมีขั้นตอนในและ ที่ไม่เคยสูงกว่า เส้นทแยงมุม^{[ 2 ]}${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (n,n)}$${\displaystyle (1,0),(0,1)}$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle y=x}$
• จำนวนเส้นทางแลตติซ NE จากถึงนับจำนวนการรวมกันของวัตถุจากเซตของวัตถุ${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a+b}$

เส้นทางโครงข่าย NE มีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับจำนวนชุดค่าผสมซึ่งนับโดยสัมประสิทธิ์ทวินามและจัดเรียงอยู่ในสามเหลี่ยมปาสคาลแผนภาพด้านล่างแสดงให้เห็นถึงความเชื่อมโยงบางส่วนเหล่านี้

จำนวนเส้นทางแลตติซจากไปยัง มีค่าเท่ากับสัมประสิทธิ์ทวินาม แผนภาพแสดงให้เห็นสิ่งนี้สำหรับถ้าหมุนแผนภาพตามเข็มนาฬิกา 135° รอบจุดกำเนิดและขยายให้ครอบคลุมทั้งหมดจะได้สามเหลี่ยมปาสคาล ผลลัพธ์นี้เป็นเพราะค่าในแถวของสามเหลี่ยมปาสคาลคือสัมประสิทธิ์ทวินาม ${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (n,k)}$${\displaystyle {\binom {n+k}{n}}}$${\displaystyle 0\leq k\leq n=4}$${\displaystyle n,k\in \mathbb {N} \cup \lbrace 0\rbrace }$${\displaystyle k^{\text{th}}}$${\displaystyle n^{\text{th}}}$${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$

การแสดงเส้นทางโครงข่าย NE ในรูปแบบกราฟิกเอื้อต่อ การพิสูจน์ แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึงหลาย รูปแบบที่เกี่ยวข้องกับการรวมกัน ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างบางส่วน

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}.}$

บทพิสูจน์ : ด้านขวามือเท่ากับจำนวนเส้นทางแลตติส NE จากไปยังแต่ละเส้นทางแลตติส NE เหล่านี้ตัดกับจุดแลตติสเพียงจุดเดียวในอาร์เรย์สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพิกัดสำหรับ ดัง แสดงในรูปด้านล่างสำหรับ: ทุกเส้นทางแลตติส NE จากไปยัง ตัดกับโหนดสีเพียงจุดเดียว ${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (n,n)}$${\displaystyle (x,nx)}$${\displaystyle x\in \lbrace 0,1,\ldots ,n\rbrace }$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (4,4)}$

ทางด้านซ้ายมือสัมประสิทธิ์ทวินามยกกำลังสอง แสดงถึงชุดเส้นทางโครงตาข่าย NE สองชุดจากไปยังจุดเริ่มต้นที่เชื่อมต่อกัน การหมุนชุดที่สอง 90° ตามเข็มนาฬิกาจะไม่เปลี่ยนแปลงคุณสมบัติการจัดเรียงของวัตถุดังนั้นจำนวนเส้นทางโครงตาข่ายทั้งหมดจึงยังคงเท่าเดิม ${\displaystyle {\binom {n}{k}}^{2}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (k,nk)}$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{nk}}}$

นำเส้นทางแลตติส NE ที่ยกกำลังสองมาซ้อนทับลงบนอาร์เรย์สี่เหลี่ยมผืนผ้าเดียวกัน ดังที่เห็นในรูปด้านล่าง เราจะเห็นว่าเส้นทางแลตติส NE ทั้งหมดจากถึงถูกนับรวมไว้แล้ว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นทางแลตติสใดๆ ที่ผ่านจุดแลตติสสีแดง (เช่น) จะถูกนับรวมในชุดเส้นทางแลตติสที่ยกกำลังสอง (แสดงด้วยสีแดงเช่นกัน)${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (n,n)}$${\displaystyle \Box }$

• ทาเดปัลลี เวนกาตา นารายานา

• Narayana, Tadepalli Venkata (15 ธันวาคม 1979). Lattice Path Combinatorics with Statistical Applications (ฉบับที่ 1). โทรอนโต: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยโทรอนโต. ISBN 978-1487587284.
• ซง ชุนเหว่ย (2024). การจัดกลุ่มเส้นทางแลตติสและลำดับการนับพิเศษ: จากมุมมองเชิงการแจงนับ (ฉบับที่ 1). โบคา ราตัน: สำนักพิมพ์ CRC. doi : 10.1201/9781003509912 . ISBN 978-1032671758.