ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขการอินทิเกรตแบบลีปฟร็อกเป็นวิธีการอินทิเกรตเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ หรือเทียบเท่ากับรูปแบบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีของระบบพลวัตของกลศาสตร์คลาสสิก $${\displaystyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=A(x),}$$$${\displaystyle {\dot {v}}={\frac {dv}{dt}}=A(x),\qquad {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}=v,}$$

วิธีการนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อต่างๆ ในสาขาวิชาต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันคล้ายกับ วิธี การเวเลต์แบบความเร็ว (Verlet method) ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของการอินทิเกรตแบบเวเลต์ (Verlet integration ) การอินทิเกรตแบบก้าวกระโดด (Leapfrog integration) เทียบเท่ากับการปรับปรุงตำแหน่งและความเร็วณ จุดเวลาต่างๆ ที่สลับกัน โดยจัดเรียงในลักษณะที่ " ก้าวกระโดด " ข้ามกันไป ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle v(t)={\dot {x}}(t)}$

การอินทิเกรตแบบ Leapfrog เป็น วิธี การอันดับสองซึ่งแตกต่างจากการอินทิเกรตแบบ Eulerซึ่งเป็นเพียงอันดับแรก แต่ต้องใช้การประเมินฟังก์ชันจำนวนเท่ากันต่อขั้นตอน ต่างจากการอินทิเกรตแบบ Euler ตรงที่มันมีเสถียรภาพสำหรับการเคลื่อนที่แบบสั่นตราบใดที่ขั้นตอนเวลาคงที่และ^{[ 1 ]}${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t<2/\omega }$

การใช้สัมประสิทธิ์ของ Yoshida ร่วมกับการประยุกต์ใช้อินทิเกรเตอร์แบบ Leapfrog หลายครั้งด้วยช่วงเวลาที่ถูกต้อง จะสามารถสร้างอินทิเกรเตอร์ที่มีลำดับสูงกว่าได้มาก

ในการอินทิเกรตแบบลีปฟร็อก สมการสำหรับการปรับปรุงตำแหน่งและความเร็วคือ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{i}&=A(x_{i}),\\v_{i+1/2}&=v_{i-1/2}+a_{i}\,\Delta t,\\x_{i+1}&=x_{i}+v_{i+1/2}\,\Delta t,\end{aligned}}}$$

โดยที่คือตำแหน่งที่ขั้นตอนคือความเร็ว หรืออนุพันธ์อันดับแรกของที่ขั้นตอนคือความเร่ง หรืออนุพันธ์อันดับสองของที่ขั้นตอนและคือขนาดของแต่ละขั้นตอนเวลา สมการเหล่านี้สามารถแสดงในรูปแบบที่ให้ความเร็วที่ขั้นตอนจำนวนเต็มได้เช่นกัน: ^{[ 2 ]} อย่างไรก็ตาม ในรูปแบบที่ซิงโครไนซ์นี้ ขั้นตอนเวลาต้องคงที่เพื่อรักษาเสถียรภาพ^{[ 3 ]}${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i+1/2\,}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i+1/2\,}$${\displaystyle a_{i}=A(x_{i})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \Delta t}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{i+1}&=x_{i}+v_{i}\,\Delta t+{\tfrac {1}{2}}\,a_{i}\,\Delta t^{\,2},\\v_{i+1}&=v_{i}+{\tfrac {1}{2}}(a_{i}+a_{i+1})\,\Delta t.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \Delta t}$

รูปแบบที่ซิงโครไนซ์สามารถจัดเรียงใหม่เป็นรูปแบบ 'เตะ-ดริฟท์-เตะ' ซึ่งส่วนใหญ่ใช้ในกรณีที่ต้องการช่วงเวลาที่แปรผันได้ การแยกการคำนวณความเร่งไว้ที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของแต่ละขั้นตอนหมายความว่า หากความละเอียดของเวลาเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ( ) จะต้องมีการคำนวณความเร่งเพิ่มเติมเพียงครั้งเดียวเท่านั้น (ซึ่งใช้ทรัพยากรการคำนวณมาก) $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i+1/2}&=v_{i}+{\tfrac {1}{2}}a_{i}\Delta t,\\[2pt]x_{i+1}&=x_{i}+v_{i+1/2}\Delta t,\\[2pt]v_{i+1}&=v_{i+1/2}+{\tfrac {1}{2}}a_{i+1}\Delta t,\end{aligned}}}$$${\displaystyle \Delta t\rightarrow \Delta t/2}$

สมการนี้มีประโยชน์อย่างหนึ่งในการจำลองแรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน เนื่องจากในกรณีนั้น ความเร่งจะขึ้นอยู่กับตำแหน่งของมวลที่ก่อให้เกิดแรงโน้มถ่วงเท่านั้น (และไม่ขึ้นอยู่กับความเร็วของมวลเหล่านั้น)

การอินทิเกรตแบบ Leapfrog มีจุดแข็งหลักสองประการเมื่อนำไปใช้กับปัญหากลศาสตร์ ประการแรกคือความสามารถในการย้อนกลับเวลาของวิธีการ Leapfrog เราสามารถอินทิเกรตไปข้างหน้าnขั้นตอน จากนั้นกลับทิศทางการอินทิเกรตและอินทิเกรตย้อนกลับnขั้นตอนเพื่อให้ได้ตำแหน่งเริ่มต้นเดียวกัน ประการที่สองคือลักษณะเชิง ซิมเพ ล็กติกซึ่งหมายความว่ามันรักษาพลังงาน (ที่ปรับเปลี่ยนเล็กน้อย ดู ตัว อินทิเกรตเชิงซิมเพล็กติก ) ของระบบไดนามิกแฮมิลโทเนียน^{[ 4 ]}สิ่งนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อคำนวณไดนามิกวงโคจร เนื่องจากแผนการอินทิเกรตอื่นๆ จำนวนมาก เช่น วิธี Runge–Kutta (อันดับ 4) ไม่รักษาพลังงานและอนุญาตให้ระบบเคลื่อนที่อย่างมากเมื่อเวลาผ่านไป

เนื่องจากความสามารถในการย้อนกลับเวลา และเนื่องจากเป็นตัวรวมเชิงซิมเพล็กติกการบูรณาการแบบลีปฟร็อกจึงถูกนำมาใช้ในแฮมิลโทเนียนมอนเตคาร์โลซึ่งเป็นวิธีการสุ่มตัวอย่างจากการกระจายความน่าจะเป็นซึ่งการทำให้เป็นมาตรฐานโดยรวมนั้นไม่เป็นที่รู้จัก^{[ 5 ]}

ตัวรวมแบบ Leapfrog สามารถแปลงเป็นตัวรวมลำดับสูงกว่าได้โดยใช้เทคนิคของHaruo Yoshidaในแนวทางนี้ Leapfrog จะถูกนำไปใช้กับขั้นตอนเวลาที่แตกต่างกันหลายขั้นตอน ปรากฏว่าเมื่อใช้ขั้นตอนเวลาที่ถูกต้องตามลำดับ ข้อผิดพลาดจะหักล้างกัน และสามารถสร้างตัวรวมลำดับสูงกว่าได้อย่างง่ายดาย^{[ 6 ] [ 7 ]}

ขั้นตอนหนึ่งภายใต้ตัวรวมสัญญาณ Yoshida อันดับที่ 4 ต้องใช้ขั้นตอนตัวกลางสี่ขั้นตอน ตำแหน่งและความเร็วจะถูกคำนวณที่เวลาต่างกัน ต้องใช้การคำนวณความเร่งเพียงสามครั้งเท่านั้น (ซึ่งใช้ทรัพยากรการคำนวณสูง)

สมการสำหรับตัวรวมเชิงอันดับที่ 4 เพื่ออัปเดตตำแหน่งและความเร็วมีดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{1}&=x_{i}+c_{1}\,v_{i}\,\Delta t,&v_{i}^{1}&=v_{i}+d_{1}\,a(x_{i}^{1})\,\Delta t,\\x_{i}^{2}&=x_{i}^{1}+c_{2}\,v_{i}^{1}\,\Delta t,&v_{i}^{2}&=v_{i}^{1}+d_{2}\,a(x_{i}^{2})\,\Delta t,\\x_{i}^{3}&=x_{i}^{2}+c_{3}\,v_{i}^{2}\,\Delta t,&v_{i}^{3}&=v_{i}^{2}+d_{3}\,a(x_{i}^{3})\,\Delta t,\\x_{i+1}&\equiv x_{i}^{4}=x_{i}^{3}+c_{4}\,v_{i}^{3}\,\Delta t,&v_{i+1}&\equiv v_{i}^{4}=v_{i}^{3}\\\end{aligned}}}$$

โดยที่คือตำแหน่งและความเร็วเริ่มต้นคือตำแหน่งและความเร็วระหว่างกลางในแต่ละขั้นคือความเร่งที่ตำแหน่งและคือตำแหน่งและความเร็วสุดท้ายภายใต้ขั้นตอน Yoshida ลำดับที่ 4 หนึ่งขั้น ${\displaystyle x_{i},v_{i}}$${\displaystyle x_{i}^{n},v_{i}^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a(x_{i}^{n})}$${\displaystyle x_{i}^{n}}$${\displaystyle x_{i+1},v_{i+1}}$

สัมประสิทธิ์และได้มาจาก^{[ 7 ]} (ดูสมการ (4.6)) ${\displaystyle (c_{1},c_{2},c_{3},c_{4})}$${\displaystyle (d_{1},d_{2},d_{3})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}&\equiv -{\frac {\sqrt[{3}]{2}}{2-{\sqrt[{3}]{2}}}},&w_{1}&\equiv {\frac {1}{2-{\sqrt[{3}]{2}}}},\\[1ex]c_{1}&=c_{4}\equiv {\frac {w_{1}}{2}},&c_{2}=c_{3}&\equiv {\frac {w_{0}+w_{1}}{2}},\\[1ex]d_{1}&=d_{3}\equiv w_{1},&d_{2}&\equiv w_{0}\\\end{aligned}}}$$

ขั้นตอนตัวกลางทั้งหมดรวมกันเป็นขั้นตอนเดียว ซึ่งหมายความว่าผลรวมของสัมประสิทธิ์เท่ากับหนึ่ง: และโปรดทราบว่าตำแหน่งและความเร็วถูกคำนวณที่เวลาต่างกัน และขั้นตอนตัวกลางบางขั้นตอนเป็นการย้อนเวลากลับไป เพื่อให้เห็นภาพชัดเจน เราจึงให้ค่าตัวเลขของสัมประสิทธิ์: , , ,${\displaystyle \Delta t}$${\textstyle \sum _{i=1}^{4}c_{i}=1}$${\textstyle \sum _{i=1}^{3}d_{i}=1}$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle c_{1}=0.6756}$${\displaystyle c_{2}=-0.1756}$${\displaystyle c_{3}=-0.1756}$${\displaystyle c_{4}=0.6756.}$

• วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ
• การบูรณาการเชิงซิมเพล็กติก
• การอินทิเกรตแบบออยเลอร์
• การบูรณาการ Verlet
• การอินทิเกรตแบบ Runge–Kutta

• https://www.physics.drexel.edu/students/courses/Comp_Phys/Integrators/leapfrog/ (เก็บถาวรเมื่อ 17 มิถุนายน 2010 ), ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยเดร็กเซล