ในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ การคำนวณ วิธีออยเลอร์ (เรียกอีกอย่างว่าวิธีออยเลอร์แบบไปข้างหน้า ) เป็นกระบวนการ เชิงตัวเลขลำดับที่หนึ่งสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) ที่มีค่าเริ่มต้น ที่กำหนดให้ เป็น วิธีที่ชัดเจนพื้นฐานที่สุดสำหรับการอินทิเกรตเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและเป็นวิธี Runge–Kutta ที่ง่ายที่สุด วิธีออยเลอร์ตั้งชื่อตามเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ผู้เสนอวิธีนี้เป็นครั้งแรกในหนังสือInstitutionum calculi integralis ของเขา (ตีพิมพ์ระหว่างปี 1768–1770) ^{[ 1 ]}

วิธีของออยเลอร์เป็นวิธีอันดับหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าข้อผิดพลาดเฉพาะจุด (ข้อผิดพลาดต่อขั้นตอน) เป็นสัดส่วนกับกำลังสองของขนาดขั้นตอน และข้อผิดพลาดโดยรวม (ข้อผิดพลาด ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง) เป็นสัดส่วนกับขนาดขั้นตอน วิธีของออยเลอร์มักใช้เป็นพื้นฐานในการสร้างวิธีการที่ซับซ้อนกว่า เช่นวิธี ทำนาย-แก้ไข

พิจารณาปัญหาการคำนวณรูปทรงของเส้นโค้งที่ไม่ทราบค่า ซึ่งเริ่มต้นที่จุดที่กำหนดและสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดให้ ในที่นี้ สมการเชิงอนุพันธ์สามารถคิดได้ว่าเป็นสูตรที่ใช้ คำนวณ ความชันของ เส้นสัมผัสกับ เส้นโค้งณ จุดใดๆ บนเส้นโค้งได้ เมื่อทราบตำแหน่งของจุดนั้นแล้ว

แนวคิดก็คือ แม้ว่าเส้นโค้งจะยังไม่ทราบแน่ชัดในตอนแรก แต่จุดเริ่มต้นของเส้นโค้ง ซึ่งเรากำหนดให้เป็น นั้นเป็นที่ทราบแล้ว (ดูรูปที่ 1) จากนั้น จากสมการเชิงอนุพันธ์ เราสามารถคำนวณความชันของเส้นโค้งที่ ได้และด้วยเหตุนี้จึงสามารถคำนวณเส้นสัมผัสได้ ${\displaystyle A_{0},}$${\displaystyle A_{0}}$

ก้าวเล็กๆ ไปตามเส้นสัมผัสจนถึงจุดหนึ่งตามก้าวเล็กๆ นี้ ความชันจะไม่เปลี่ยนแปลงมากนัก ดังนั้นจะอยู่ใกล้กับเส้นโค้ง หากเราสมมติว่า ยังคงอยู่บนเส้นโค้ง ก็สามารถใช้เหตุผลเดียวกันกับจุด ข้างต้นได้ หลังจากก้าวไปหลายก้าว จะได้ เส้นโค้งรูปหลายเหลี่ยม ( ) โดยทั่วไป เส้นโค้งนี้จะไม่เบี่ยงเบนไปจากเส้นโค้งที่ไม่ทราบค่าเดิมมากนัก และข้อผิดพลาดระหว่างเส้นโค้งทั้งสองสามารถทำให้มีขนาดเล็กได้หากขนาดขั้นตอนเล็กพอและช่วงเวลาของการคำนวณมีจำกัด^{[ 2 ]}${\displaystyle A_{1}.}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$

เมื่อกำหนดค่าสำหรับและและอนุพันธ์ของเป็นฟังก์ชันที่กำหนดของและแสดงเป็นเริ่มกระบวนการโดยการตั้งค่า ต่อไป เลือกค่าสำหรับขนาดของแต่ละขั้นตอนตามแกน t และตั้งค่า(หรือเทียบเท่า) ตอนนี้ใช้วิธีออยเลอร์เพื่อหาจากและ: ^{[ 3 ]}${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle y(t_{0})}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y'(t)=f\left(t,y(t)\right)}$${\displaystyle y_{0}=y(t_{0})}$${\displaystyle h}$${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh}$${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$${\displaystyle y_{n+1}}$${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle t_{n}}$

$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).}$$

ค่าของเป็นค่าประมาณของคำตอบ ณ เวลา t นั่นคือวิธีของออยเลอร์นั้นชัดเจน กล่าวคือ คำตอบเป็นฟังก์ชันที่ชัดเจนของ สำหรับ${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle y_{n}\approx y(t_{n})}$${\displaystyle y_{n+1}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle i\leq n}$

ในขณะที่วิธีของออยเลอร์ใช้ในการอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง สมการเชิงอนุพันธ์ใดๆ ที่มีอันดับสามารถแสดงได้ในรูปของระบบสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง เมื่อกำหนดสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอันดับที่กำหนดดังนี้ ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

$${\displaystyle y^{(N+1)}(t)=f\left(t,y(t),y'(t),\ldots ,y^{(N)}(t)\right),}$$

นอกจาก, , และแล้ว เรายังใช้สูตรต่อไปนี้จนกว่าจะได้ค่าประมาณของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ณ เวลาที่ต้องการ: ${\displaystyle h}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle y_{0},y'_{0},\dots ,y_{0}^{(N)}}$

$${\displaystyle {\vec {y}}_{i+1}={\begin{pmatrix}y_{i+1}\\y'_{i+1}\\\vdots \\y_{i+1}^{(N-1)}\\y_{i+1}^{(N)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{i}+h\cdot y'_{i}\\y'_{i}+h\cdot y''_{i}\\\vdots \\y_{i}^{(N-1)}+h\cdot y_{i}^{(N)}\\y_{i}^{(N)}+h\cdot f\left(t_{i},y_{i},y'_{i},\ldots ,y_{i}^{(N)}\right)\end{pmatrix}}}$$

ระบบลำดับแรกเหล่านี้สามารถจัดการได้ด้วยวิธีของออยเลอร์ หรือในความเป็นจริงแล้วด้วยแผนการอื่นใดสำหรับระบบลำดับแรก^{[ 4 ]}

พิจารณาปัญหาค่าเริ่มต้น

$${\displaystyle y'=y,\quad y(0)=1,}$$

เราต้องการใช้วิธีออยเลอร์เพื่อประมาณค่า^{[ 5 ]}${\displaystyle y(4)}$

วิธีออยเลอร์คือ

$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).}$$

ดังนั้น ขั้นแรกเราต้องคำนวณในสมการเชิงอนุพันธ์อย่างง่ายนี้ ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยเรามี ${\displaystyle f(t_{0},y_{0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(t,y)=y}$

$${\displaystyle f(t_{0},y_{0})=f(0,1)=1.}$$

โดยทำตามขั้นตอนข้างต้น เราได้หาความชันของเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้งคำตอบ ณ จุดนั้นแล้วโปรด จำไว้ว่า ความชันถูกกำหนดให้เป็นการเปลี่ยนแปลงของหารด้วยการเปลี่ยนแปลงของหรือ${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta t}}}$

ขั้นตอนต่อไปคือการคูณค่าข้างต้นด้วยขนาดขั้นตอนซึ่งในที่นี้เรากำหนดให้เท่ากับหนึ่ง: ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle h\cdot f(y_{0})=1\cdot 1=1.}$$

เนื่องจากขนาดของขั้นคือการเปลี่ยนแปลงของค่าเมื่อเราคูณขนาดของขั้นกับความชันของเส้นสัมผัส เราจะได้การเปลี่ยนแปลงของค่า จากนั้นจึงนำค่านี้ไปบวกกับค่าเริ่มต้นเพื่อหาค่าถัดไปที่จะใช้ในการคำนวณ ${\displaystyle t}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

$${\displaystyle y_{0}+hf(y_{0})=y_{1}=1+1\cdot 1=2.}$$

ควรทำซ้ำขั้นตอนข้างต้นเพื่อหาค่า, และ. ${\displaystyle y_{2}}$${\displaystyle y_{3}}$${\displaystyle y_{4}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{2}&=y_{1}+hf(y_{1})=2+1\cdot 2=4,\\y_{3}&=y_{2}+hf(y_{2})=4+1\cdot 4=8,\\y_{4}&=y_{3}+hf(y_{3})=8+1\cdot 8=16.\end{aligned}}}$$

เนื่องจากอัลกอริทึมนี้มีลักษณะการทำงานซ้ำๆ การจัดระเบียบการคำนวณในรูปแบบแผนภูมิ ดังที่แสดงด้านล่าง อาจช่วยป้องกันข้อผิดพลาดได้

${\displaystyle n}$	${\displaystyle y_{n}}$	${\displaystyle t_{n}}$	${\displaystyle f(t_{n},y_{n})}$	${\displaystyle h}$	${\displaystyle \Delta y}$	${\displaystyle y_{n+1}}$
0	1	0	1	1	1	2
1	2	1	2	1	2	4
2	4	2	4	1	4	8
3	8	3	8	1	8	16

ผลสรุปจากการคำนวณนี้คือ. คำตอบที่แท้จริงของสมการเชิงอนุพันธ์คือดังนั้น. แม้ว่าการประมาณค่าด้วยวิธีของออยเลอร์จะไม่แม่นยำมากนักในกรณีนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากขนาดขั้นตอนค่าที่ใหญ่แต่พฤติกรรมของมันก็ถูกต้องในเชิงคุณภาพดังที่แสดงในรูป ${\displaystyle y_{4}=16}$${\displaystyle y(t)=e^{t}}$${\displaystyle y(4)=e^{4}\approx 54.598}$${\displaystyle h}$

ดังที่ได้กล่าวไว้ในบทนำ วิธีของออยเลอร์จะมีความแม่นยำมากขึ้นหากขนาดขั้นตอนเล็กลง ตารางด้านล่างแสดงผลลัพธ์ที่ได้จากขนาดขั้นตอนที่แตกต่างกัน แถวบนสุดตรงกับตัวอย่างในส่วนก่อนหน้า และแถวที่สองแสดงอยู่ในรูปภาพ ${\displaystyle h}$

ค่าความคลาดเคลื่อนที่บันทึกไว้ในคอลัมน์สุดท้ายของตารางคือผลต่างระหว่างคำตอบที่ถูกต้องและค่าประมาณของออยเลอร์ ที่ด้านล่างของตาราง ขนาดขั้นตอนจะเป็นครึ่งหนึ่งของขนาดขั้นตอนในแถวก่อนหน้า และค่าความคลาดเคลื่อนก็มีค่าประมาณครึ่งหนึ่งของค่าความคลาดเคลื่อนในแถวก่อนหน้าเช่นกัน นี่แสดงให้เห็นว่าค่าความคลาดเคลื่อนเป็นสัดส่วนโดยประมาณกับขนาดขั้นตอน อย่างน้อยก็สำหรับค่าขนาดขั้นตอนที่ค่อนข้างเล็ก โดยทั่วไปแล้วสิ่งนี้ก็เป็นจริงสำหรับสมการอื่นๆ ด้วยเช่นกัน ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ ในหัวข้อ "ค่าความคลาดเคลื่อนจากการตัดทอนโดยรวม"${\displaystyle t=4}$

วิธีการอื่นๆ เช่นวิธีจุดกึ่งกลางซึ่งแสดงไว้ในรูปภาพด้วยนั้น มีพฤติกรรมที่ดีกว่า กล่าวคือ ข้อผิดพลาดโดยรวมของวิธีจุดกึ่งกลางจะแปรผันตรงกับกำลังสองของขนาดขั้นตอนโดยประมาณ ด้วยเหตุนี้ วิธีของออยเลอร์จึงถูกเรียกว่าเป็นวิธีอันดับหนึ่ง ในขณะที่วิธีจุดกึ่งกลางเป็นวิธีอันดับสอง

จากตารางข้างต้น เราสามารถอนุมานได้ว่าขนาดขั้นตอนที่จำเป็นเพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้องถึงทศนิยมสามตำแหน่งนั้นมีค่าประมาณ 0.00001 ซึ่งหมายความว่าเราต้องใช้ขั้นตอนถึง 400,000 ขั้นตอน จำนวนขั้นตอนจำนวนมากนี้ส่งผลให้ต้นทุนการคำนวณสูงขึ้น ด้วยเหตุนี้ จึงมีการใช้วิธีการลำดับสูงกว่า เช่นวิธี Runge–Kuttaหรือวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งหากต้องการความแม่นยำสูง^{[ 6 ]}

สำหรับตัวอย่างลำดับที่สามนี้ สมมติว่ามีข้อมูลดังต่อไปนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&y'''+4ty''-t^{2}y'-(\cos {t})y=\sin {t}\\&t_{0}=0\\&y_{0}=y(t_{0})=2\\&y'_{0}=y'(t_{0})=-1\\&y''_{0}=y''(t_{0})=3\\&h=0.5\end{aligned}}}$$

จากตรงนี้เราสามารถแยกตัวแปรy ''' ออกมาเพื่อให้ได้สมการ:

$${\displaystyle y'''=f{\left(t,y,y',y''\right)}=\sin {t}+\left(\cos {t}\right)y+t^{2}y'-4ty''}$$

เมื่อใช้สิ่งนั้น เราจะได้คำตอบสำหรับ: และเมื่อใช้คำตอบสำหรับเราจะได้คำตอบสำหรับ: เราสามารถดำเนินการตามกระบวนการนี้ต่อไปโดยใช้สูตรเดียวกันได้ตราบเท่าที่จำเป็นจนกว่าจะพบคำตอบที่ต้องการ ${\displaystyle {\vec {y}}_{1}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {y}}_{1}&={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{1}'\\y_{1}''\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{0}\\y'_{0}\\y''_{0}\end{pmatrix}}+h{\begin{pmatrix}y'_{0}\\y''_{0}\\f{\left(t_{0},y_{0},y'_{0},y''_{0}\right)}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}+0.5\cdot {\begin{pmatrix}-1\\3\\\sin {0}+(\cos {0})\cdot 2+0^{2}\cdot (-1)-4\cdot 0\cdot 3\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}1.5\\0.5\\4\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\vec {y}}_{1}}$${\displaystyle {\vec {y}}_{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {y}}_{2}&={\begin{pmatrix}y_{2}\\y_{2}'\\y_{2}''\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y'_{1}\\y''_{1}\end{pmatrix}}+h{\begin{pmatrix}y'_{1}\\y''_{1}\\f{\left(t_{1},y_{1},y'_{1},y''_{1}\right)}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}1.5\\0.5\\4\end{pmatrix}}+0.5\cdot {\begin{pmatrix}0.5\\4\\\sin {0.5}+(\cos {0.5})\cdot 1.5+0.5^{2}\cdot 0.5-4\cdot 0.5\cdot 4\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}1.75\\2.5\\0.9604...\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\vec {y}}_{i}}$

วิธีการของออยเลอร์สามารถหาได้หลายวิธี

แนวคิดนี้สามารถนำไปต่อยอดเพื่อหาแนวทางวิธีการเชิงเส้นหลายขั้นตอน ต่างๆ ได้

ข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่ของวิธีออยเลอร์คือข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในขั้นตอนเดียว ซึ่งก็คือความแตกต่างระหว่างผลลัพธ์เชิงตัวเลขหลังจากขั้นตอนแรกและผลลัพธ์ที่ถูกต้อง ณ เวลา โดยผลลัพธ์เชิงตัวเลขจะกำหนดโดย ${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle t_{1}=t_{0}+h}$

$${\displaystyle y_{1}=y_{0}+hf(t_{0},y_{0}).}$$

สำหรับการหาคำตอบที่ถูกต้อง เราใช้การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ที่กล่าวถึงในส่วน"การพิสูจน์"ด้านบน:

$${\displaystyle y(t_{0}+h)=y(t_{0})+hy'(t_{0})+{\tfrac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+{\mathcal {O}}{\left(h^{3}\right)}.}$$

ข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่ (LTE) ที่เกิดจากวิธีของออยเลอร์นั้นหาได้จากผลต่างระหว่างสมการเหล่านี้:

$${\displaystyle \mathrm {LTE} =y(t_{0}+h)-y_{1}={\tfrac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+{\mathcal {O}}{\left(h^{3}\right)}.}$$

ผลลัพธ์นี้ใช้ได้หากมีอนุพันธ์อันดับสามที่มีขอบเขต^{[ 10 ]}${\displaystyle y}$

ผลการวิจัยนี้แสดงให้เห็นว่า สำหรับค่า ที่มีขนาดเล็กข้อผิดพลาดในการตัดทอนเฉพาะที่นั้นแปรผันโดยประมาณกับ ซึ่งทำให้วิธีการของออยเลอร์มีความแม่นยำน้อยกว่าเทคนิคที่มีลำดับสูงกว่า เช่นวิธีการรันเก-คุตตาและวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นซึ่งข้อผิดพลาดในการตัดทอนเฉพาะที่นั้นแปรผันตามกำลังที่สูงกว่าของขนาดขั้นตอน ${\displaystyle h}$${\displaystyle h^{2}}$

สามารถกำหนดสูตรที่แตกต่างกันเล็กน้อยสำหรับข้อผิดพลาดการตัดทอนในท้องถิ่นได้โดยใช้รูปแบบลากรางจ์สำหรับพจน์ที่เหลือในทฤษฎีบทของเทย์เลอร์หากมีอนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่อง จะมีอยู่เช่นนั้น^{[ 11 ]}${\displaystyle y}$${\displaystyle \xi \in [t_{0},t_{0}+h]}$

$${\displaystyle \mathrm {LTE} =y(t_{0}+h)-y_{1}={\tfrac {1}{2}}h^{2}y''(\xi ).}$$

ในนิพจน์ข้างต้นสำหรับข้อผิดพลาด อนุพันธ์อันดับสองของคำตอบที่แน่นอนที่ไม่ทราบค่าสามารถแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับด้านขวามือของสมการเชิงอนุพันธ์ อันที่จริง จากสมการจะสรุปได้ว่า^{[ 12 ]}${\displaystyle y}$${\displaystyle y'=f(t,y)}$

$${\displaystyle y''(t_{0})={\frac {\partial f}{\partial t}}\left(t_{0},y(t_{0})\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(t_{0},y(t_{0})\right)\,f\left(t_{0},y(t_{0})\right).}$$

ข้อผิดพลาดการตัดทอนทั่วโลกคือข้อผิดพลาด ณ เวลาที่กำหนดหลังจากจำนวนขั้นตอนที่วิธีการต้องใช้เพื่อให้ถึงเวลานั้นจากเวลาเริ่มต้น ข้อผิดพลาดการตัดทอนทั่วโลกเป็นผลรวมของข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่ที่เกิดขึ้นในแต่ละขั้นตอน^{[ 13 ]}จำนวนขั้นตอนสามารถกำหนดได้ง่ายว่าเป็นซึ่งเป็นสัดส่วนกับและข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในแต่ละขั้นตอนเป็นสัดส่วนกับ(ดูส่วนก่อนหน้า) ดังนั้นจึงคาดได้ว่าข้อผิดพลาดการตัดทอนทั่วโลกจะเป็นสัดส่วนกับ^{[ 14 ]}${\displaystyle t_{i}}$${\textstyle {\frac {t_{i}-t_{0}}{h}}}$${\textstyle {\frac {1}{h}}}$${\displaystyle h^{2}}$${\displaystyle h}$

การให้เหตุผลโดยสัญชาตญาณนี้สามารถทำให้แม่นยำยิ่งขึ้นได้ หากคำตอบมีอนุพันธ์อันดับสองที่มีขอบเขตและมีความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ในตัวแปรที่สองแล้ว ข้อผิดพลาดในการตัดทอนโดยรวม (แทนด้วย) จะมีขอบเขตโดย ${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |y(t_{i})-y_{i}|}$

$${\displaystyle \left|y(t_{i})-y_{i}\right|\leq {\frac {hM}{2L}}\left(e^{L(t_{i}-t_{0})}-1\right)}$$

โดยที่เป็นขอบเขตบนของอนุพันธ์อันดับสองของบนช่วงที่กำหนด และเป็นค่าคงที่ลิปชิตซ์ของ[ ^{15 ] หรือ}พูดให้ง่ายกว่านั้น เมื่อค่า(โดยที่ถือเป็นค่าคงที่) ในทางตรงกันข้ามโดยที่ ฟังก์ชันเป็นคำตอบที่แน่นอนซึ่งมีเฉพาะตัวแปร ${\displaystyle M}$${\displaystyle y}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y'(t)=f(t,y)}$${\textstyle L={\text{max}}\left(|{\frac {d}{dy}}\left[f(t,y)\right]|\right)}$${\displaystyle t}$${\textstyle M=\max \left(\left|{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\left[y(t)\right]\right|\right)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle t}$

รูปแบบที่แน่นอนของขอบเขตนี้มีความสำคัญในทางปฏิบัติเพียงเล็กน้อย เนื่องจากในกรณีส่วนใหญ่ขอบเขตนี้ประเมินค่าความผิดพลาดที่เกิดขึ้นจริงจากวิธีออยเลอร์สูงเกินไปมาก^{[ 16 ]}สิ่งสำคัญคือแสดงให้เห็นว่าข้อผิดพลาดการตัดทอนโดยรวมเป็นสัดส่วน (โดยประมาณ) กับ ด้วยเหตุนี้ วิธีออยเลอร์จึงถูกเรียกว่าเป็นอันดับแรก^{[ 17 ]}${\displaystyle h}$

ถ้าเรามีสมการเชิงอนุพันธ์และคำตอบที่แน่นอนและเราต้องการหาค่าและสำหรับเมื่อดังนั้น เราสามารถหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนที่t = 2.5 และh = 0.5 ได้: ${\displaystyle y'=1+(t-y)^{2}}$${\displaystyle y=t+{\frac {1}{t-1}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle 2\leq t\leq 3}$$${\displaystyle {\begin{aligned}L&=\max \left|{\frac {d}{dy}}f(t,y)\right|=\max _{2\leq t\leq 3}\left|{\frac {d}{dy}}\left[1+\left(t-y\right)^{2}\right]\right|\\[1ex]&=\max _{2\leq t\leq 3}\left|2\left(t-y\right)\right|=\max _{2\leq t\leq 3}\left|2\left(t-\left[t+{\frac {1}{t-1}}\right]\right)\right|\\[1ex]&=\max _{2\leq t\leq 3}\left|-{\frac {2}{t-1}}\right|=2\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}M&=\max \left|{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\left[y(t)\right]\right|\\&=\max _{2\leq t\leq 3}\left|{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\left(t+{\frac {1}{1-t}}\right)\right|\\&=\max _{2\leq t\leq 3}\left|{\frac {2}{\left(-t+1\right)^{3}}}\right|=2\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{error bound}}&={\frac {hM}{2L}}\left(e^{L(t_{i}-t_{0})}-1\right)\\[1ex]&={\frac {0.5\cdot 2}{2\cdot 2}}\left(e^{2(2.5-2)}-1\right)=0.42957\end{aligned}}}$$ โปรดสังเกตว่าt ₀เท่ากับ 2 เนื่องจากเป็นขอบล่างของ t ใน ${\displaystyle 2\leq t\leq 3}$

วิธีของออยเลอร์อาจไม่เสถียร ในเชิงตัวเลข โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสมการที่แข็งทื่อหมายความว่าคำตอบเชิงตัวเลขจะเพิ่มขึ้นอย่างมากสำหรับสมการที่คำตอบที่แท้จริงไม่เป็นเช่นนั้น สามารถแสดงให้เห็นได้โดยใช้สมการเชิงเส้น คำตอบที่แท้จริงคือซึ่งลดลงเป็นศูนย์เมื่ออย่างไรก็ตาม หากใช้วิธีของออยเลอร์กับสมการนี้ด้วยขนาดขั้นตอนคำตอบเชิงตัวเลขจะผิดพลาดในเชิงคุณภาพ: มันจะแกว่งและเพิ่มขึ้น (ดูรูป) นี่คือความหมายของการไม่เสถียร หากใช้ขนาดขั้นตอนที่เล็กกว่า เช่นคำตอบเชิงตัวเลขจะลดลงเป็นศูนย์ $${\displaystyle y'=-2.3y,\qquad y(0)=1.}$$${\displaystyle y(t)=e^{-2.3t}}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle h=1}$${\displaystyle h=0.7}$

หากใช้วิธีออยเลอร์กับสมการเชิงเส้นแล้วผลเฉลยเชิงตัวเลขจะไม่เสถียรหากผลคูณอยู่นอกบริเวณ ที่แสดงทางด้านขวา บริเวณนี้เรียกว่าบริเวณเสถียรภาพ (เชิงเส้น) [ 18 ^{]ในตัวอย่าง}ดังนั้นถ้าแล้วซึ่งอยู่นอกบริเวณเสถียรภาพ ดังนั้นผลเฉลยเชิงตัวเลขจึงไม่เสถียร ${\displaystyle y'=ky}$${\displaystyle hk}$$${\displaystyle \left\{z\in \mathbf {C} \,{\big |}\,|z+1|\leq 1\right\},}$$${\displaystyle k=-2.3}$${\displaystyle h=1}$${\displaystyle hk=-2.3}$

ข้อจำกัดนี้—รวมถึงการลู่เข้าของข้อผิดพลาดที่ช้า—หมายความว่าวิธีการของออยเลอร์ไม่ค่อยถูกนำมาใช้ ยกเว้นในฐานะตัวอย่างง่ายๆ ของการอินทิเกรตเชิงตัวเลข บ่อยครั้งที่แบบจำลองของระบบทางกายภาพมีเทอมที่แสดงถึงองค์ประกอบที่ลดลงอย่างรวดเร็ว (เช่น มีอาร์กิวเมนต์เลขชี้กำลังลบขนาดใหญ่) แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะไม่เป็นที่สนใจในคำตอบโดยรวม แต่ความไม่เสถียรที่พวกมันสามารถก่อให้เกิดได้หมายความว่าจะต้องใช้ช่วงเวลาที่เล็กมากเป็นพิเศษหากใช้วิธีของออยเลอร์ ${\displaystyle h}$

ในขั้นตอนของวิธีออยเลอร์ข้อผิดพลาดในการปัดเศษโดยประมาณจะมีขนาดเท่ากับ โดยที่คือค่าเอปไซลอนของเครื่องสมมติว่าข้อผิดพลาดในการปัดเศษเป็นตัวแปรสุ่มอิสระ ข้อผิดพลาดในการปัดเศษโดยรวมที่คาดหวังจะเป็นสัดส่วนกับ[ ^{19 ] ดังนั้น}สำหรับค่าขนาดขั้นตอนที่เล็กมาก ข้อผิดพลาดในการตัดทอนจะมีขนาดเล็ก แต่ผลกระทบของข้อผิดพลาดในการปัดเศษอาจมีขนาดใหญ่ ผลกระทบของข้อผิดพลาดในการปัดเศษส่วนใหญ่สามารถหลีกเลี่ยงได้ง่ายหากใช้การรวมแบบชดเชย ในสูตรสำหรับวิธีออยเลอร์ ^{[ 20 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle \varepsilon y_{n}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\textstyle {\frac {\varepsilon }{\sqrt {h}}}}$

วิธีการปรับปรุงง่ายๆ ของวิธีออยเลอร์ที่ช่วยขจัดปัญหาเสถียรภาพที่กล่าวถึงข้างต้นคือวิธีออยเลอร์ย้อน กลับ : วิธีนี้แตกต่างจากวิธีออยเลอร์ (แบบมาตรฐาน หรือแบบไปข้างหน้า) ตรงที่ฟังก์ชันจะถูกประเมินที่จุดสิ้นสุดของขั้นตอน แทนที่จะเป็นจุดเริ่มต้น วิธีออยเลอร์ย้อนกลับเป็นวิธีแบบปริยายหมายความว่าสูตรสำหรับวิธีออยเลอร์ย้อนกลับมีตัวแปรแฝงอยู่ทั้งสองข้าง ดังนั้นเมื่อใช้วิธีออยเลอร์ย้อนกลับ เราจึงต้องแก้สมการ ซึ่งทำให้การใช้งานมีต้นทุนสูงขึ้น $${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n+1},y_{n+1}).}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle y_{n+1}}$

การปรับเปลี่ยนวิธีออยเลอร์แบบอื่นที่ช่วยเพิ่มเสถียรภาพ ได้แก่วิธีออยเลอร์แบบเอกซ์โพเนนเชียลหรือวิธีออยเลอร์แบบกึ่งชัดแจ้ง

วิธีการที่ซับซ้อนกว่าสามารถให้ผลลัพธ์ที่มีลำดับสูงกว่า (และมีความแม่นยำมากกว่า) หนึ่งในความเป็นไปได้คือการใช้การประเมินฟังก์ชันมากขึ้น ซึ่งแสดงให้เห็นได้จากวิธีการจุดกึ่งกลางที่ได้กล่าวถึงไปแล้วในบทความนี้ ซึ่งนำไปสู่ตระกูลของวิธีการรันเก-คุตตา $${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n})\right).}$$

ความเป็นไปได้อีกประการหนึ่งคือการใช้ค่าในอดีตเพิ่มเติม ดังที่แสดงโดยวิธีการ Adams–Bashforth สองขั้นตอน ซึ่งนำไปสู่ตระกูลของวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้น นอกจากนี้ ยังมีการปรับเปลี่ยนอื่นๆ ที่ใช้เทคนิคจากการตรวจจับแบบบีบอัดเพื่อลดการใช้หน่วยความจำ^{[ 21 ]}$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{n},y_{n})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n-1},y_{n-1}).}$$

ในภาพยนตร์เรื่องHidden Figures แคทเธอรี นจอห์นสันใช้วิธีออยเลอร์ในการคำนวณการกลับเข้าสู่ชั้นบรรยากาศโลกของนักบินอวกาศจอห์น เกล็นน์จากวงโคจรของโลก^{[ 22 ]}

• วิธี Crank–Nicolson
• วิธีการลดระดับความชัน (Gradient descent)ก็ใช้ขั้นตอนที่จำกัดเช่นกัน โดยในที่นี้ใช้เพื่อค้นหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน
• รายชื่อวิธีการรันเก-คุตตะ
• วิธีการเชิงเส้นหลายขั้นตอน
• การอินทิเกรตเชิงตัวเลข (สำหรับการคำนวณอินทิกรัลจำกัด)
• วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

เว็บไซต์ Wikibook Calculusมีหน้าเว็บที่กล่าวถึงหัวข้อ: วิธีของออยเลอร์

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับวิธีออยเลอร์ในวิกิมีเดียคอมมอนส์
• การนำวิธีออยเลอร์ไปใช้ในภาษาโปรแกรมต่างๆโดยRosetta Code
• "วิธีของออยเลอร์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]