วิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นใช้สำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญด้วยวิธีเชิงตัวเลข ในเชิงแนวคิด วิธีการเชิงตัวเลขจะเริ่มต้นจากจุดเริ่มต้น จากนั้นจึงก้าวไปข้างหน้าในเวลาเล็กน้อยเพื่อหาจุดคำตอบถัดไป กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปด้วยขั้นตอนต่อๆ ไปเพื่อหาคำตอบ วิธีการขั้นตอนเดียว (เช่นวิธีของออยเลอร์ ) จะอ้างอิงถึงเพียงจุดก่อนหน้าจุดเดียวและอนุพันธ์ของจุดนั้นเพื่อกำหนดค่าปัจจุบัน วิธีการเช่นรันเก-คุตตาจะใช้ขั้นตอนกลางบางขั้นตอน (เช่น ครึ่งขั้นตอน) เพื่อให้ได้วิธีการที่มีลำดับสูงกว่า แต่จะทิ้งข้อมูลก่อนหน้าทั้งหมดก่อนที่จะก้าวไปในขั้นตอนที่สอง วิธีการหลายขั้นตอนพยายามเพิ่มประสิทธิภาพโดยการเก็บและใช้ข้อมูลจากขั้นตอนก่อนหน้าแทนที่จะทิ้งไป ดังนั้น วิธีการหลายขั้นตอนจึงอ้างอิงถึงจุดก่อนหน้าและค่าอนุพันธ์หลายค่า ในกรณีของวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้น จะใช้ การรวมกันเชิงเส้นของจุดก่อนหน้าและค่าอนุพันธ์

วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญจะประมาณคำตอบของปัญหาค่าเริ่มต้นในรูปแบบ $${\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$$

ผลลัพธ์ที่ได้คือค่าประมาณของที่เวลาแบบไม่ต่อเนื่องโดย ที่คือ ช่วงเวลา (บางครั้งเรียกว่า) และคือจำนวนเต็ม${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle t_{i}}$$${\displaystyle y_{i}\approx y(t_{i})\quad {\text{โดยที่}}\quad t_{i}=t_{0}+ih,}$$${\displaystyle h}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle i}$

วิธีการแบบหลายขั้นตอนใช้ข้อมูลจากขั้นตอนก่อนหน้าเพื่อคำนวณค่าถัดไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วิธีการแบบหลายขั้นตอน เชิงเส้นจะใช้การรวมเชิงเส้นของและเพื่อคำนวณค่าของสำหรับขั้นตอนปัจจุบันที่ต้องการ ดังนั้น วิธีการแบบหลายขั้นตอนเชิงเส้นจึงเป็นวิธีการในรูปแบบ โดยที่สัมประสิทธิ์และกำหนดวิธีการ ผู้คิดค้นวิธีการจะเลือกสัมประสิทธิ์ โดยคำนึงถึงความต้องการที่จะได้ค่าประมาณที่ดีของคำตอบที่แท้จริง ควบคู่ไปกับความต้องการที่จะได้วิธีการที่ง่ายต่อการใช้งาน บ่อยครั้งที่สัมประสิทธิ์หลายตัวเป็นศูนย์เพื่อทำให้วิธีการง่ายขึ้น ${\displaystyle s}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle f(t_{i},y_{i})}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&y_{n+s}+a_{s-1}\cdot y_{n+s-1}+a_{s-2}\cdot y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}\cdot y_{n}\\&\qquad {}=h\cdot \left(b_{s}\cdot f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}\cdot f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}\cdot f(t_{n},y_{n})\right)\\&\Leftrightarrow \sum _{j=0}^{s}a_{j}y_{n+j}=h\sum _{j=0}^{s}b_{j}f(t_{n+j},y_{n+j}),\end{aligned}}}$$${\displaystyle a_{s}=1}$${\displaystyle a_{0},\dotsc ,a_{s-1}}$${\displaystyle b_{0},\dotsc ,b_{s}}$

เราสามารถแยกแยะระหว่างวิธีการแบบชัดแจ้งและวิธีการแบบไม่ชัดแจ้งได้ถ้าวิธีการนั้นเรียกว่า "แบบชัดแจ้ง" เนื่องจากสูตรสามารถคำนวณ ได้โดยตรงถ้าวิธีการนั้นเรียกว่า "แบบไม่ชัดแจ้ง" เนื่องจากค่าของขึ้นอยู่กับค่าของและต้องแก้สมการเพื่อหา ค่า วิธีการวนซ้ำเช่นวิธีของนิวตันมักใช้ในการแก้สูตรแบบไม่ชัดแจ้ง ${\displaystyle b_{s}=0}$${\displaystyle y_{n+s}}$${\displaystyle b_{s}\neq 0}$${\displaystyle y_{n+s}}$${\displaystyle f(t_{n+s},y_{n+s})}$${\displaystyle y_{n+s}}$

บางครั้งมีการใช้วิธีการหลายขั้นตอนที่ชัดเจนเพื่อ "ทำนาย" ค่าของจากนั้นจึงนำค่าที่ได้ไปใช้ในสูตรที่ไม่ชัดเจนเพื่อ "แก้ไข" ค่า ผลลัพธ์ที่ได้คือวิธีการทำนายและแก้ไขค่า ${\displaystyle y_{n+s}}$

ลองพิจารณาปัญหาตัวอย่างนี้ คำตอบที่ถูกต้องคือ... $${\displaystyle y'=f(t,y)=y,\quad y(0)=1.}$$${\displaystyle y(t)=e^{t}}$

วิธีเชิงตัวเลขอย่างง่ายวิธีหนึ่งคือวิธีของออยเลอร์: วิธีของออยเลอร์สามารถมองได้ว่าเป็นวิธีการหลายขั้นตอนแบบชัดเจนสำหรับกรณีเสื่อมสภาพที่มีขั้นตอนเดียว $${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).}$$

วิธีการนี้ เมื่อนำไปใช้ กับปัญหาโดยกำหนดขนาดขั้นตอนจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: ${\displaystyle h={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle y'=y}$$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=y_{0}+hf(t_{0},y_{0})=1+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1=1.5,\\y_{2}&=y_{1}+hf(t_{1},y_{1})=1.5+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=2.25,\\y_{3}&=y_{2}+hf(t_{2},y_{2})=2.25+{\tfrac {1}{2}}\cdot 2.25=3.375,\\y_{4}&=y_{3}+hf(t_{3},y_{3})=3.375+{\tfrac {1}{2}}\cdot 3.375 = 5.0625\end{aligned}}}$$

วิธีของออยเลอร์เป็นวิธีแบบขั้นตอนเดียว ส่วนวิธีแบบหลายขั้นตอนที่ง่ายกว่าคือวิธีอดัมส์-แบชฟอร์ธแบบสองขั้นตอน วิธีนี้ต้องการค่าสองค่า คือและเพื่อคำนวณค่าถัดไปคือ อย่างไรก็ตาม ปัญหาค่าเริ่มต้นให้ค่ามาเพียงค่าเดียวคือ วิธีหนึ่งในการแก้ปัญหานี้คือการใช้ค่าที่คำนวณได้จากวิธีของออยเลอร์เป็นค่าที่สอง เมื่อเลือกวิธีนี้ วิธีอดัมส์-แบชฟอร์ธจะได้ผลลัพธ์ (ปัดเศษเป็นสี่หลัก): คำตอบที่แน่นอนที่คือดังนั้นวิธีอดัมส์-แบชฟอร์ธแบบสองขั้นตอนจึงแม่นยำกว่าวิธีของออยเลอร์เสมอ กรณีนี้จะเป็นจริงเสมอหากขนาดของขั้นตอนเล็กพอ $${\displaystyle y_{n+2}=y_{n+1}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{n+1},y_{n+1})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n}).}$$${\displaystyle y_{n+1}}$${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle y_{n+2}}$${\displaystyle y_{0}=1}$${\displaystyle y_{1}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{2}&=y_{1}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{1},y_{1})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{0},y_{0})=1.5+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1=2.375,\\y_{3}&=y_{2}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{2},y_{2})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{1},y_{1})=2.375+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=3.7812,\\y_{4}&=y_{3}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{3},y_{3})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{2},y_{2})=3.7812+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 3.7812-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375=6.0234.\end{aligned}}}$$${\displaystyle t=t_{4}=2}$${\displaystyle e^{2}=7.3891\ldots }$

โดยทั่วไปมีการใช้วิธีการเชิงเส้นหลายขั้นตอนสามตระกูล ได้แก่ วิธีการของอดัมส์-แบชฟอร์ธ วิธีการของอดัมส์-มอลตัน และสูตรการหาอนุพันธ์ย้อนกลับ (BDFs)

วิธีการของ Adams–Bashforth เป็นวิธีการแบบชัดแจ้ง สัมประสิทธิ์คือและในขณะที่ถูกเลือกเพื่อให้วิธีการมีลำดับs (ซึ่งกำหนดวิธีการได้อย่างเฉพาะเจาะจง) ${\displaystyle a_{s-1}=-1}$${\displaystyle a_{s-2}=\cdots =a_{0}=0}$${\displaystyle b_{j}}$

วิธีการของ Adams–Bashforth ที่มีs = 1, 2, 3, 4, 5 คือ ( Hairer, Nørsett & Wanner 1993 , §III.1; Butcher 2003 , หน้า 103): $${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),\qquad {\text{(This is the Euler method)}}\\y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {3}{2}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\left({\frac {23}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {16}{12}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {5}{12}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\left({\frac {55}{24}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {59}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {37}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {9}{24}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+5}&=y_{n+4}+h\left({\frac {1901}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})-{\frac {2774}{720}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {2616}{720}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {1274}{720}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {251}{720}}f(t_{n},y_{n})\right).\end{aligned}}}$$

สามารถกำหนดสัมประสิทธิ์ ได้ดังต่อไปนี้ ใช้ การประมาณค่าแบบพหุนามเพื่อหาพหุนามpที่มีดีกรีโดยที่ สูตร ของ ลากรางจ์สำหรับการประมาณค่าแบบพหุนามให้ผลลัพธ์ ดังนี้ พหุนามpเป็นค่าประมาณที่ดีในระดับท้องถิ่นของด้านขวาของสมการเชิงอนุพันธ์ที่จะต้องแก้ ดังนั้นให้พิจารณาสมการแทนสมการนี้สามารถแก้ได้อย่างแม่นยำ คำตอบคือปริพันธ์ของpสิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าควรใช้ วิธี Adams–Bashforth เกิดขึ้นเมื่อ แทนที่ สูตรสำหรับpสัมประสิทธิ์ที่ได้คือ การแทนที่ด้วยตัวประมาณค่าpทำให้เกิดข้อผิดพลาดอันดับh ^sและเป็นผลให้วิธี Adams–Bashforth แบบs ขั้นตอนมีอันดับ s จริงๆ ( Iserles 1996 , §2.1) ${\displaystyle b_{j}}$${\displaystyle s-1}$$${\displaystyle p(t_{n+i})=f(t_{n+i},y_{n+i}),\qquad {\text{for }}i=0,\ldots ,s-1.}$$$${\displaystyle p(t)=\sum _{j=0}^{s-1}{\frac {(-1)^{s-j-1}f(t_{n+j},y_{n+j})}{j!(s-j-1)!h^{s-1}}}\prod _{i=0 \atop i\neq j}^{s-1}(t-t_{n+i}).}$$${\displaystyle y'=f(t,y)}$${\displaystyle y'=p(t)}$$${\displaystyle y_{n+s}=y_{n+s-1}+\int _{t_{n+s-1}}^{t_{n+s}}p(t)\,\mathrm {d} t.}$$${\displaystyle b_{j}}$$${\displaystyle b_{s-j-1}={\frac {(-1)^{j}}{j!(s-j-1)!}}\int _{0}^{1}\prod _{i=0 \atop i\neq j}^{s-1}(u+i)\,\mathrm {d} u,\qquad {\text{for }}j=0,\ldots ,s-1.}$$${\displaystyle f(t,y)}$

วิธีการของอดัมส์-แบชฟอร์ธได้รับการออกแบบโดยจอห์น คาวช์ อดัมส์เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่จำลองปรากฏการณ์การไหลของของเหลวในหลอดแค ปิลลารี ซึ่งพัฒนา โดยฟรานซิส แบชฟอร์ธ ( ค.ศ. 1883) แบชฟอร์ธได้ตีพิมพ์ทฤษฎีของเขาและวิธีการเชิงตัวเลขของอดัมส์ ( โกลด์สไตน์ ค.ศ. 1977 )

วิธีการของ Adams–Moulton คล้ายกับวิธีการของ Adams–Bashforth ตรงที่ทั้งสองวิธีมีและเช่นกัน โดย ค่าสัมประสิทธิ์ bจะถูกเลือกเพื่อให้ได้ลำดับสูงสุดที่เป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม วิธีการของ Adams–Moulton เป็นวิธีการแบบปริยาย โดยการขจัดข้อจำกัดที่ว่าวิธี การ Adams–Moulton แบบ sขั้นตอนสามารถเข้าถึงลำดับ ได้ในขณะที่ วิธีการ Adams–Bashforth แบบ sขั้นตอนมีลำดับเพียงsเท่านั้น ${\displaystyle a_{s-1}=-1}$${\displaystyle a_{s-2}=\cdots =a_{0}=0}$${\displaystyle b_{s}=0}$${\displaystyle s+1}$

วิธีการของ Adams–Moulton ที่มีs = 0, 1, 2, 3, 4 ได้รับการระบุไว้ ( Hairer, Nørsett & Wanner 1993 , §III.1; Quarteroni, Sacco & Saleri 2000 ) โดยสองวิธีแรกคือวิธี Euler ย้อนกลับและกฎสี่เหลี่ยมคางหมู (หรือที่รู้จักกันในชื่อวิธี Crank-Nicolson ) ตามลำดับ: $${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n}&=&y_{n-1}&+hf(t_{n},y_{n}),\\y_{n+1}&=&y_{n}&+h\left({\frac {1}{2}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {1}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+2}&=&y_{n+1}&+h\left({\frac {5}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {8}{12}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{12}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&=&y_{n+2}&+h\left({\frac {9}{24}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {19}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {5}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {1}{24}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+4}&=&y_{n+3}&+h\left({\frac {251}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})+{\frac {646}{720}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {264}{720}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {106}{720}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {19}{720}}f(t_{n},y_{n})\right).\end{aligned}}}$$

การได้มาซึ่งวิธีการของ Adams–Moulton คล้ายคลึงกับการได้มาซึ่งวิธีการของ Adams–Bashforth อย่างไรก็ตาม พหุนามการประมาณค่าไม่ได้ใช้เพียงจุดดังที่กล่าวมาข้างต้น แต่ยังใช้ ด้วย สัมประสิทธิ์กำหนดโดย ${\displaystyle t_{n-1},\dots ,t_{n-s}}$${\displaystyle t_{n}}$$${\displaystyle b_{s-j}={\frac {(-1)^{j}}{j!(s-j)!}}\int _{0}^{1}\prod _{i=0 \atop i\neq j}^{s}(u+i-1)\,\mathrm {d} u,\qquad {\text{for }}j=0,\ldots ,s.}$$

วิธีการของอดัมส์-มอลตันเป็นผลงานของจอห์น คาวช์ อดัมส์แต่เพียงผู้เดียว เช่นเดียวกับวิธีการของอดัมส์-แบชฟอร์ธ ชื่อของฟอเรสต์ เรย์ มอลตันกลายมาเกี่ยวข้องกับวิธีการเหล่านี้เพราะเขาตระหนักว่าสามารถใช้วิธีการเหล่านี้ร่วมกับวิธีการของอดัมส์-แบชฟอร์ธเป็นคู่ตัวทำนาย-ตัวแก้ไขได้ ( มอลตัน 1926 ) มิลน์ (1926)ก็มีความคิดเดียวกัน อดัมส์ใช้วิธีของนิวตันในการแก้สมการโดยปริยาย ( แฮร์เรอร์, นอร์เซตต์ และแวนเนอร์ 1993 , §III.1)

วิธีการ BDF เป็นวิธีการแบบปริยาย โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์อื่นๆ ถูกเลือกเพื่อให้วิธีการนั้นมีอันดับs (อันดับสูงสุดที่เป็นไปได้) วิธีการเหล่านี้ใช้โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบแข็ง ${\displaystyle b_{s-1}=\cdots =b_{0}=0}$

แนวคิดหลักในการวิเคราะห์วิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้น และวิธีการเชิงตัวเลขใดๆ สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ คือการลู่เข้า ลำดับ และเสถียรภาพ

คำถามแรกคือ วิธีการนั้นมีความสอดคล้องหรือไม่: สมการผลต่างเป็นการ ประมาณที่ดีของสมการเชิงอนุพันธ์หรือไม่? กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น วิธีการหลายขั้นตอนจะมีความสอดคล้องก็ ต่อ เมื่อข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่เข้าใกล้ศูนย์เร็วกว่าขนาดขั้นตอนhเมื่อhเข้าใกล้ศูนย์ โดยที่ข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่ถูกกำหนดให้เป็นผลต่างระหว่างผลลัพธ์ของวิธีการ โดยสมมติว่าค่าก่อนหน้าทั้งหมดเป็นค่าที่แน่นอน และคำตอบที่แน่นอนของสมการ ณ เวลาt การคำนวณโดยใช้อนุกรมเทย์เลอร์แสดงให้เห็นว่าวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นมีความสอดคล้องก็ต่อเมื่อ t > 0 เท่านั้น วิธีการทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นมีความสอดคล้อง ( Hairer, Nørsett & Wanner 1993 , §III.2) $${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{s}y_{n+s}+a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad {}=h{\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{aligned}}}$$${\displaystyle y'=f(t,y)}$${\displaystyle y_{n+s}}$${\displaystyle y_{n+s-1},\ldots ,y_{n}}$${\displaystyle t_{n+s}}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{s-1}a_{k}=-1\quad {\text{and}}\quad \sum _{k=0}^{s}b_{k}=s+\sum _{k=0}^{s-1}ka_{k}.}$$

ถ้าวิธีการนั้นสอดคล้องกัน คำถามต่อไปคือสมการผลต่างที่กำหนดวิธีการเชิงตัวเลขนั้นประมาณสมการเชิงอนุพันธ์ได้ดีเพียงใด วิธีการหลายขั้นตอนจะกล่าวได้ว่ามีลำดับpถ้าข้อผิดพลาดเฉพาะที่นั้นมี ลำดับ เมื่อhเข้าใกล้ศูนย์ ซึ่งเทียบเท่ากับเงื่อนไขต่อไปนี้เกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ของวิธีการ: วิธี การ Adams–Bashforth แบบ sขั้นตอนมีลำดับsในขณะที่ วิธีการ Adams–Moulton แบบ sขั้นตอนมีลำดับ( Hairer, Nørsett & Wanner 1993 , §III.2) ${\displaystyle O(h^{p+1})}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{s-1}a_{k}=-1\quad {\text{and}}\quad q\sum _{k=0}^{s}k^{q-1}b_{k}=s^{q}+\sum _{k=0}^{s-1}k^{q}a_{k}{\text{ for }}q=1,\ldots ,p.}$$${\displaystyle s+1}$

เงื่อนไขเหล่านี้มักถูกกำหนดโดยใช้พหุนามลักษณะเฉพาะ ในแง่ของพหุนามเหล่านี้ เงื่อนไขข้างต้นสำหรับวิธีที่จะมีอันดับpจะกลายเป็น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วิธีนี้จะมีความสอดคล้องหากมีอันดับอย่างน้อยหนึ่ง ซึ่ง เป็น กรณีที่และ$${\displaystyle \rho (z)=z^{s}+\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}z^{k}\quad {\text{and}}\quad \sigma (z)=\sum _{k=0}^{s}b_{k}z^{k}.}$$$${\displaystyle \rho (e^{h})-h\sigma (e^{h})=O(h^{p+1})\quad {\text{as }}h\to 0.}$$${\displaystyle \rho (1)=0}$${\displaystyle \rho '(1)=\sigma (1)}$

การแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของวิธีขั้นตอนเดียวขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นแต่การแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของ วิธี sขั้นตอนขึ้นอยู่กับค่าเริ่มต้น ทั้ง s ค่า ดังนั้นจึงเป็นที่น่าสนใจว่าการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขมีความเสถียรต่อการรบกวนในค่าเริ่มต้นหรือไม่ วิธีหลายขั้นตอนเชิงเส้นมีความเสถียรเป็นศูนย์สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์บางอย่างในช่วงเวลาที่กำหนด หากการรบกวนในค่าเริ่มต้นที่มีขนาด ε ทำให้การแก้ปัญหาเชิงตัวเลขในช่วงเวลานั้นเปลี่ยนแปลงไม่เกินK ε สำหรับค่าK บางค่า ที่ไม่ขึ้นอยู่กับขนาดขั้นตอนhสิ่งนี้เรียกว่า "ความเสถียรเป็นศูนย์" เพราะเพียงพอที่จะตรวจสอบเงื่อนไขสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์( Süli & Mayers 2003 , หน้า 332) ${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle y_{0},y_{1},\ldots ,y_{s-1}}$${\displaystyle y'=0}$

ถ้าหากรากของพหุนามลักษณะเฉพาะ ρ ทั้งหมดมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหรือเท่ากับ 1 และรากที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1 มีความซ้ำซ้อนเท่ากับ 1 เราจะกล่าวว่าเงื่อนไขราก นั้น เป็นไปตามที่กำหนด วิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นจะมีเสถียรภาพเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขรากเป็นไปตามที่กำหนด ( Süli & Mayers 2003 , หน้า 335)

สมมติว่ามีการใช้วิธีเชิงเส้นหลายขั้นตอนที่สอดคล้องกันกับสมการเชิงอนุพันธ์ที่เรียบเพียงพอ และค่าเริ่มต้นทั้งหมดลู่เข้าสู่ค่าเริ่มต้นเมื่อ เป็นจริง แล้วคำตอบเชิงตัวเลขจะลู่เข้าสู่คำตอบที่แท้จริงเมื่อก็ต่อเมื่อวิธีนั้นมีเสถียรภาพเป็นศูนย์ ผลลัพธ์นี้เรียกว่าทฤษฎีบทสมมูลของ Dahlquistซึ่งตั้งชื่อตามGermund Dahlquistทฤษฎีบทนี้มีความคล้ายคลึงกับทฤษฎีบทสมมูลของ Laxสำหรับวิธีผลต่างจำกัดยิ่งไปกว่านั้น ถ้าวิธีนั้นมีลำดับpแล้วข้อผิดพลาดโดยรวม (ความแตกต่างระหว่างคำตอบเชิงตัวเลขและคำตอบที่แท้จริง ณ เวลาที่กำหนด) คือ( Süli & Mayers 2003 , หน้า 340) ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{s-1}}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle h\to 0}$${\displaystyle h\to 0}$${\displaystyle O(h^{p})}$

นอกจากนี้ หากวิธีการลู่เข้า วิธีการนั้นจะเรียกว่ามีเสถียรภาพอย่างแข็งแกร่งหากเป็นรากเดียวของค่าสัมบูรณ์ 1 หากวิธีการลู่เข้าและรากทั้งหมดของค่าสัมบูรณ์ 1 ไม่ซ้ำกัน แต่มีรากดังกล่าวมากกว่าหนึ่งราก วิธีการนั้นจะเรียกว่ามีเสถียรภาพสัมพัทธ์โปรดทราบว่า 1 ต้องเป็นรากเพื่อให้วิธีการลู่เข้า ดังนั้นวิธีการที่ลู่เข้าจึงเป็นหนึ่งในสองวิธีนี้เสมอ ${\displaystyle z=1}$

เพื่อประเมินประสิทธิภาพของวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นบนสมการแข็งให้พิจารณาสมการทดสอบเชิงเส้นy' = λ yวิธีการหลายขั้นตอนที่ใช้กับสมการเชิงอนุพันธ์นี้ด้วยขนาดขั้นตอนhจะให้ความสัมพันธ์เวียนเกิด เชิงเส้น ที่มีพหุนามลักษณะเฉพาะ พหุนามนี้เรียกว่าพหุนามเสถียรภาพของวิธีการหลายขั้นตอน หากรากทั้งหมดมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหนึ่ง คำตอบเชิงตัวเลขของวิธีการหลายขั้นตอนจะลู่เข้าสู่ศูนย์ และวิธีการหลายขั้นตอนจะกล่าวได้ว่ามีเสถียรภาพสัมบูรณ์สำหรับค่าh λ นั้น วิธีการนี้เรียกว่ามีเสถียรภาพแบบ Aหากมีเสถียรภาพสัมบูรณ์สำหรับh λ ทั้งหมดที่มีส่วนจริงเป็นลบ บริเวณของเสถียรภาพสัมบูรณ์คือเซตของh λ ทั้งหมดที่วิธีการหลายขั้นตอนมีเสถียรภาพสัมบูรณ์ ( Süli & Mayers 2003 , หน้า 347 และ 348) สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูส่วนเกี่ยวกับสมการแข็งและวิธีการหลายขั้นตอน $${\displaystyle \pi (z;h\lambda )=(1-h\lambda \beta _{s})z^{s}+\sum _{k=0}^{s-1}(\alpha _{k}-h\lambda \beta _{k})z^{k}=\rho (z)-h\lambda \sigma (z).}$$

พิจารณาวิธีสามขั้นตอนของ Adams–Bashforth พหุนามลักษณะเฉพาะตัวหนึ่งคือ ซึ่งมีรากและเงื่อนไขข้างต้นเป็นไปตามที่กำหนด เนื่องจากเป็นรากเดียวที่มีค่าสัมบูรณ์ 1 ดังนั้นวิธีนี้จึงมีเสถียรภาพอย่างมาก $${\displaystyle y_{n+3}=y_{n+2}+h\left({23 \over 12}f(t_{n+2},y_{n+2})-{4 \over 3}f(t_{n+1},y_{n+1})+{5 \over 12}f(t_{n},y_{n})\right).}$$$${\displaystyle \rho (z)=z^{3}-z^{2}=z^{2}(z-1)}$$${\displaystyle z=0,1}$${\displaystyle z=1}$

พหุนามลักษณะเฉพาะอีกตัวหนึ่งคือ $${\displaystyle \sigma (z)={\frac {23}{12}}z^{2}-{\frac {4}{3}}z+{\frac {5}{12}}}$$

ผลลัพธ์ทั้งสองนี้ได้รับการพิสูจน์โดยGermund Dahlquistและแสดงถึงขอบเขตที่สำคัญสำหรับลำดับการลู่เข้าและความเสถียรแบบ Aของวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้น อุปสรรคแรกของ Dahlquist ได้รับการพิสูจน์ในDahlquist (1956)และอุปสรรคที่สองในDahlquist (1963 )

ข้อจำกัดแรกของ Dahlquist ระบุว่า วิธีการหลายขั้นตอนแบบ q ขั้นตอน ที่มีเสถียรภาพเป็นศูนย์และเป็นเชิงเส้นไม่สามารถบรรลุลำดับการลู่เข้าที่มากกว่าq + 1 ถ้าqเป็นจำนวนคี่ และมากกว่าq + 2 ถ้าqเป็นจำนวนคู่ หากวิธีการนั้นเป็นแบบชัดเจนด้วยแล้ว ก็จะไม่สามารถบรรลุลำดับที่มากกว่าq ได้เช่นกัน ( Hairer, Nørsett & Wanner 1993 , ทฤษฎีบท III.3.5)

ข้อจำกัดข้อที่สองของ Dahlquist ระบุว่าไม่มีวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นแบบชัดแจ้งใดที่เสถียรแบบ Aยิ่งไปกว่านั้น ลำดับสูงสุดของวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นที่เสถียรแบบ A (โดยปริยาย) คือ 2 ในบรรดาวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นที่เสถียรแบบ A ที่มีลำดับ 2 กฎสี่เหลี่ยมคางหมูมีค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนน้อยที่สุด ( Dahlquist 1963 , ทฤษฎีบท 2.1 และ 2.2)

• การเพิ่มพลังงานดิจิทัล

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "วิธีของอดัมส์" . แมธเวิลด์ .