ข้อผิดพลาดจากการตัดทอนในการคำนวณปริพันธ์เชิงตัวเลขมีสองประเภท:

• ข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่ – ข้อผิดพลาดที่เกิดจากการวนซ้ำเพียงครั้งเดียว และ
• ข้อผิดพลาดการตัดทอนโดยรวม – ข้อผิดพลาดสะสมที่เกิดจากการวนซ้ำหลายครั้ง

สมมติว่าเรามีสมการเชิงอนุพันธ์ต่อเนื่อง

${\displaystyle y'=f(t,y),\qquad y(t_{0})=y_{0},\qquad t\geq t_{0}}$

และเราต้องการคำนวณค่าประมาณของคำตอบที่แท้จริงณ ช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่องกันเพื่อความง่าย ให้สมมติว่าช่วงเวลาเหล่านั้นมีระยะห่างเท่ากัน: ${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle y(t_{n})}$${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{N}}$

${\displaystyle h=t_{n}-t_{n-1},\qquad n=1,2,\ldots ,N.}$

สมมติว่าเราคำนวณลำดับด้วยวิธีขั้นตอนเดียวในรูปแบบ ${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle y_{n}=y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f)}$

ฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชันเพิ่มค่าและสามารถตีความได้ว่าเป็นค่าประมาณของความชัน ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\frac {y(t_{n})-y(t_{n-1})}{h}}}$

ข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่ คือ ข้อผิดพลาดที่ฟังก์ชันเพิ่มค่าของเราก่อให้เกิดในระหว่างการวนซ้ำเพียงครั้งเดียว โดยสมมติว่าเรารู้คำตอบที่แท้จริงอย่างสมบูรณ์ในการวนซ้ำครั้งก่อน ${\displaystyle \tau _{n}}$${\displaystyle A}$

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น ข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่ณ ขั้นตอนจะคำนวณจากความแตกต่างระหว่างด้านซ้ายและด้านขวาของสมการสำหรับการเพิ่มขึ้น: ${\displaystyle \tau _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y_{n}\approx y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f)}$

${\displaystyle \tau _{n}=y(t_{n})-y(t_{n-1})-hA(t_{n-1},y(t_{n-1}),h,f).}$^{[ 1 ] [ 2 ]}

วิธีการเชิงตัวเลขจะสอดคล้องกันหากข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่คือ(ซึ่งหมายความว่าสำหรับทุก ๆจะมีอยู่เช่นนั้นสำหรับทุก ๆ; ดูสัญลักษณ์ little-o ) หากฟังก์ชันการเพิ่มขึ้นมีความต่อเนื่อง วิธีการจะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่อ , . ^{[ 3 ]}${\displaystyle o(h)}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle H}$${\displaystyle |\tau _{n}|<\varepsilon h}$${\displaystyle h<H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A(t,y,0,f)=f(t,y)}$

นอกจากนี้ เรากล่าวว่าวิธีการเชิงตัวเลขมีลำดับ${\displaystyle p}$หากสำหรับคำตอบที่เรียบเพียงพอของปัญหาค่าเริ่มต้นข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่คือ(หมายความว่ามีค่าคงที่และที่ทำให้สำหรับทุก) ^{[ 4 ]}${\displaystyle O(h^{p+1})}$${\displaystyle C}$${\displaystyle H}$${\displaystyle |\tau _{n}|<Ch^{p+1}}$${\displaystyle h<H}$

ข้อผิดพลาดการตัดทอนโดยรวมคือผลรวมของข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่ตลอดการวนซ้ำทั้งหมด โดยสมมติว่าทราบคำตอบที่แท้จริงอย่างสมบูรณ์ ณ ขั้นตอนเวลาเริ่มต้น

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น ข้อผิดพลาดการตัดทอนโดยรวม ที่เวลาจะถูกกำหนดโดย: ${\displaystyle e_{n}}$${\displaystyle t_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}&=y(t_{n})-y_{n}\\&=y(t_{n})-{\Big (}y_{0}+hA(t_{0},y_{0},h,f)+hA(t_{1},y_{1},h,f)+\cdots +hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f){\Big )}.\end{aligned}}}$^{[ 5 ]}

วิธีการเชิงตัวเลขจะลู่เข้าหากข้อผิดพลาดการตัดทอนทั่วโลกเข้าใกล้ศูนย์เมื่อขนาดขั้นตอนเข้าใกล้ศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ วิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขลู่เข้าสู่วิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้อง: ^{[ 6 ]}${\displaystyle \lim _{h\to 0}\max _{n}|e_{n}|=0}$

บางครั้งเราสามารถคำนวณขอบเขตบนของข้อผิดพลาดการตัดทอนโดยรวมได้ หากเรารู้ข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่อยู่แล้ว ซึ่งต้องใช้ฟังก์ชันเพิ่มค่าที่มีพฤติกรรมที่ดีพอสมควร

ข้อผิดพลาดการตัดทอนทั่วโลกเป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนเกิด ดังนี้ :

${\displaystyle e_{n+1}=e_{n}+h{\Big (}A(t_{n},y(t_{n}),h,f)-A(t_{n},y_{n},h,f){\Big )}+\tau _{n+1}.}$

สิ่งนี้เป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากคำจำกัดความ ตอนนี้สมมติว่าฟังก์ชันเพิ่มค่ามีความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ในอาร์กิวเมนต์ที่สอง นั่นคือ มีค่าคงที่อยู่ค่าหนึ่งเช่นนั้น สำหรับทุกและและเราจะได้ว่า: ${\displaystyle L}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$

${\displaystyle |A(t,y_{1},h,f)-A(t,y_{2},h,f)|\leq L|y_{1}-y_{2}|.}$

ดังนั้น ข้อผิดพลาดโดยรวมจึงเป็นไปตามขอบเขตที่กำหนด

${\displaystyle |e_{n}|\leq {\frac {\max _{j}\tau _{j}}{hL}}\left(\mathrm {e} ^{L(t_{n}-t_{0})}-1\right).}$^{[ 7 ]}

จากขอบเขตข้างต้นสำหรับข้อผิดพลาดทั่วโลก หากฟังก์ชันในสมการเชิงอนุพันธ์มีความต่อเนื่องในอาร์กิวเมนต์แรกและมีความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ในอาร์กิวเมนต์ที่สอง (เงื่อนไขจากทฤษฎีบท Picard–Lindelöf ) และฟังก์ชันการเพิ่มขึ้นมีความต่อเนื่องในทุกอาร์กิวเมนต์และมีความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ในอาร์กิวเมนต์ที่สอง ข้อผิดพลาดทั่วโลกจะมีแนวโน้มเข้าใกล้ศูนย์เมื่อขนาดขั้นตอนเข้าใกล้ศูนย์ (กล่าวอีกนัยหนึ่ง วิธีการเชิงตัวเลขจะลู่เข้าสู่คำตอบที่ถูกต้อง) ^{[ 8 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle h}$

ต่อไปนี้ให้พิจารณาวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นซึ่งกำหนดโดยสูตร

${\displaystyle {\begin{aligned}&y_{n+s}+a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad {}=h{\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{aligned}}}$

ดังนั้น ค่าถัดไปสำหรับคำตอบเชิงตัวเลขจึงคำนวณตาม

${\displaystyle y_{n+s}=-\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y_{n+k}+h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y_{n+k}).}$

การวนซ้ำครั้งถัดไปของวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นจะขึ้นอยู่กับการวนซ้ำครั้งก่อนหน้าsครั้ง ดังนั้น ในคำจำกัดความของข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่ จึงถือว่าการวนซ้ำครั้งก่อนหน้าs ครั้ง ทั้งหมดสอดคล้องกับคำตอบที่ถูกต้อง:

${\displaystyle \tau _{n}=y(t_{n+s})+\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y(t_{n+k})-h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y(t_{n+k}))}$^{[ 9 ]}

อีกครั้ง วิธีการนี้มีความสอดคล้องกันหากและมีลำดับpหากนิยามของข้อผิดพลาดการตัดทอนโดยรวมก็ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ${\displaystyle \tau _{n}=o(h)}$${\displaystyle \tau _{n}=O(h^{p+1})}$

ความสัมพันธ์ระหว่างข้อผิดพลาดการตัดทอนในระดับท้องถิ่นและระดับโลกจะแตกต่างกันเล็กน้อยจากการตั้งค่าที่ง่ายกว่าของวิธีการขั้นตอนเดียว สำหรับวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้น จำเป็นต้องมีแนวคิดเพิ่มเติมที่เรียกว่าเสถียรภาพเป็นศูนย์เพื่ออธิบายความสัมพันธ์ระหว่างข้อผิดพลาดการตัดทอนในระดับท้องถิ่นและระดับโลก วิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นที่ตรงตามเงื่อนไขของเสถียรภาพเป็นศูนย์จะมีความสัมพันธ์ระหว่างข้อผิดพลาดในระดับท้องถิ่นและระดับโลกเช่นเดียวกับวิธีการขั้นตอนเดียว กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นมีเสถียรภาพเป็นศูนย์และสอดคล้องกัน ก็จะลู่เข้า และหากวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นมีเสถียรภาพเป็นศูนย์และมีข้อผิดพลาดในระดับท้องถิ่นข้อผิดพลาดระดับโลกก็จะเป็นไปตาม^{[ 10 ]}${\displaystyle \tau _{n}=O(h^{p+1})}$${\displaystyle e_{n}=O(h^{p})}$

• ลำดับความแม่นยำ
• การบูรณาการเชิงตัวเลข
• สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงตัวเลข
• ข้อผิดพลาดในการตัดทอน

• หมายเหตุเกี่ยวกับข้อผิดพลาดจากการตัดทอนและวิธีการรันเก-คุตตะ
• ข้อผิดพลาดในการตัดทอนของวิธีออยเลอร์