ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขและการคำนวณทางวิทยาศาสตร์วิธีแบ็กเวิร์ดออยเลอร์ (หรือวิธีออยเลอร์โดยปริยาย ) เป็นหนึ่งในวิธีการเชิงตัวเลขพื้นฐานที่สุดสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ วิธี นี้คล้ายกับ วิธีออยเลอร์ (มาตรฐาน) แต่แตกต่างตรงที่เป็นวิธีโดยปริยาย วิธีแบ็กเวิร์ดออยเลอร์มีข้อผิดพลาดอันดับหนึ่งในเชิงเวลา

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ที่มีค่าเริ่มต้นดังนี้ โดยที่ฟังก์ชันและข้อมูลเริ่มต้นและเป็นที่ทราบแล้ว ฟังก์ชันขึ้นอยู่กับตัวแปรจริงและ ไม่ทราบค่า วิธีการเชิงตัวเลขสร้างลำดับที่ประมาณ ค่า โดยที่เรียกว่าขนาดขั้นตอน $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)}$$${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y_{0},y_{1},y_{2},\ldots }$${\displaystyle y_{k}}$${\displaystyle y(t_{0}+kh)}$${\displaystyle h}$

วิธี Euler ย้อนกลับคำนวณค่าประมาณโดยใช้^{[ 1 ]} ซึ่งแตกต่างจากวิธี Euler (ไปข้างหน้า) ตรงที่วิธีไปข้างหน้าใช้ แทนที่$${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}).}$$${\displaystyle f(t_{k},y_{k})}$${\displaystyle f(t_{k+1},y_{k+1})}$

วิธี Backward Euler เป็นวิธีแบบปริยาย: การประมาณค่าใหม่ปรากฏอยู่ทั้งสองด้านของสมการ ดังนั้นวิธีนี้จึงต้องแก้สมการพีชคณิตสำหรับค่าที่ไม่ทราบสำหรับปัญหาที่ไม่แข็งทื่อสามารถทำได้ด้วยการวนซ้ำจุดคงที่ : หากลำดับนี้ลู่เข้า (ภายในค่าความคลาดเคลื่อนที่กำหนด) วิธีจะใช้ค่าลิมิตเป็นค่าประมาณใหม่^{[ 2 ]}${\displaystyle y_{k+1}}$${\displaystyle y_{k+1}}$$${\displaystyle y_{k+1}^{[0]}=y_{k},\quad y_{k+1}^{[i+1]}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}^{[i]}).}$$${\displaystyle y_{k+1}}$

อีกทางเลือกหนึ่งคือ สามารถใช้วิธีนิวตัน-ราฟสัน (โดยมีการดัดแปลงบางส่วน) เพื่อแก้สมการพีชคณิตได้

สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ขั้นตอนการปรับปรุง สามารถเขียนได้อย่างชัดเจนดังนี้ ${\displaystyle f(y,t)=p(t)y(t)+q(t)}$$${\displaystyle y_{k+1}={\frac {y_{k}+hq(t_{k+1})}{1-hp(t_{k+1})}}.}$$

การอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์จากถึง จะได้ผลลัพธ์ ดังนี้ จากนั้นประมาณค่าอินทิกรัลทางด้านขวาโดยใช้ วิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านขวา(โดยใช้สี่เหลี่ยมผืนผ้าหนึ่งอัน) สุดท้าย ใช้ค่าที่คาดว่าจะประมาณค่าและสูตรสำหรับวิธีออยเลอร์ย้อนกลับก็จะตามมา^{[ 3 ]}${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$$${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.}$$$${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})\approx hf(t_{n+1},y(t_{n+1})).}$$${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle y(t_{n})}$

ด้วยเหตุผลเดียวกันนี้ จึงนำไปสู่ระเบียบวิธีของออยเลอร์ (แบบมาตรฐาน) หากใช้กฎสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านซ้ายแทนกฎสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขวา

ข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่ (ซึ่งนิยามว่าเป็นข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในหนึ่งขั้นตอน) ของวิธี Backward Euler คือโดยใช้สัญกรณ์ Big Oข้อผิดพลาด ณ เวลาใดเวลา หนึ่ง คือนั่นหมายความว่าวิธีนี้มีลำดับที่หนึ่งโดยทั่วไปแล้ว วิธีที่มีLTE (ข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่) จะเรียกว่ามีลำดับที่ k${\displaystyle O(h^{2})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle O(h^{2})}$${\displaystyle O(h^{k+1})}$

บริเวณเสถียรภาพสัมบูรณ์ของวิธีออยเลอร์ย้อนกลับคือส่วนเติมเต็มในระนาบเชิงซ้อนของดิสก์ที่มีรัศมี 1 และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ 1 ดังแสดงในรูป^{[ 4 ]}ซึ่งรวมถึงครึ่งซ้ายทั้งหมดของระนาบเชิงซ้อน ทำให้เหมาะสำหรับการแก้สมการแข็ง [ ^{5 ] ใน}ความเป็นจริง วิธีออยเลอร์ย้อนกลับยัง มี เสถียรภาพ แบบ L อีกด้วย

บริเวณสำหรับ ระบบ เสถียร แบบไม่ต่อเนื่อง โดยวิธี Backward Euler คือวงกลมที่มีรัศมี 0.5 ซึ่งตั้งอยู่ที่ (0.5, 0) ในระนาบ z ^{[ 6 ]}

วิธีออยเลอร์แบบย้อนกลับ (Backward Euler method) เป็นรูปแบบหนึ่งของวิธีออยเลอร์ (Forward Euler method ) รูปแบบอื่นๆ ได้แก่วิธีออยเลอร์แบบกึ่งชัดเจน (Semi-implicit Euler method)และวิธีออยเลอร์แบบเอกซ์โปเนนเชียล (Exponential Euler method )

วิธี Backward Euler สามารถมองได้ว่าเป็นวิธีการ Runge–Kuttaแบบขั้นตอนเดียว ซึ่งอธิบายได้ด้วยตาราง Butcher: $${\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}$$

วิธีการนี้สามารถมองได้ว่าเป็นวิธีการเชิงเส้นหลายขั้นตอนที่มีขั้นตอนเดียว เป็นวิธีแรกในตระกูลวิธีการของอดัมส์-มอลตันและยังเป็นวิธีการแรกในตระกูลสูตรการหาอนุพันธ์ย้อนกลับ อีก ด้วย

• วิธี Crank–Nicolson