ในทางคณิตศาสตร์วิธีออยเลอร์แบบกึ่งชัดแจ้ง (Semi-implicit Euler method ) หรือที่เรียกว่า วิธีออยเลอร์เชิงซิมเพล็กติก ( Symplextic Euler ) , วิธีออยเลอร์แบบกึ่งชัดแจ้ง ( Semi-explicit Euler) , วิธี ออยเลอร์-โครเมอร์ ( Euler–Cromer ) และ วิธีนิวตัน-สตอร์เม อร์-เวอร์เลต์ (Newton–Størmer–Verlet หรือ NSV)เป็นการดัดแปลง วิธีออยเลอร์ เพื่อแก้สมการของแฮมิลตันซึ่งเป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่เกิดขึ้นในกลศาสตร์คลาสสิกวิธีนี้เป็นตัวรวมเชิงซิมเพล็กติก (Symplexic integrator)ดังนั้นจึงให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่าวิธีออยเลอร์แบบมาตรฐาน

วิธีการนี้ถูกค้นพบและถูกลืมไปหลายครั้ง ย้อนกลับไปถึงPrincipiae ของนิวตัน [ ^{1 ]}ดังที่ริชาร์ด ไฟน์แมนกล่าวถึงในFeynman Lectures ของเขา (เล่ม 1, ส่วนที่ 9.6) ^{[ 2 ] ในยุคปัจจุบัน}วิธีการนี้ถูกค้นพบอีกครั้งในเอกสารก่อนตีพิมพ์ในปี 1956 โดย René De Vogelaere ซึ่งแม้ว่าจะไม่เคยได้รับการตีพิมพ์อย่างเป็นทางการ แต่ก็มีอิทธิพลต่องานต่อมาเกี่ยวกับวิธีการซิมเพล็กติกอันดับสูง^{[ 3 ]}

วิธีออยเลอร์แบบกึ่งชัดแจ้งสามารถนำไปใช้กับ สมการเชิงอนุพันธ์คู่หนึ่งที่มีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=f(t,v)\\{\frac {dv}{dt}}&=g(t,x),\end{aligned}}}$$

โดยที่fและgเป็นฟังก์ชันที่กำหนดให้ ในที่นี้xและvอาจเป็นได้ทั้งปริมาณสเกลาร์หรือเวกเตอร์ สมการการเคลื่อนที่ในกลศาสตร์แฮมิลโทเนียนจะมีรูปแบบนี้ ถ้าแฮมิลโทเนียนมีรูปแบบดังนี้

$${\displaystyle H=T(t,v)+V(t,x).\,}$$

สมการเชิงอนุพันธ์จะต้องได้รับการแก้ไขโดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้น

$${\displaystyle x(t_{0})=x_{0},\qquad v(t_{0})=v_{0}.}$$

วิธี Euler แบบกึ่งชัดแจ้งจะสร้าง คำตอบแบบ ไม่ ต่อเนื่องโดยประมาณ โดยการวนซ้ำ $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{n+1}&=v_{n}+g(t_{n},x_{n})\,\Delta t\\[0.3em]x_{n+1}&=x_{n}+f(t_{n},v_{n+1})\,\Delta t\end{aligned}}}$$

โดยที่ Δt คือช่วงเวลา และtn = _t0 + nΔtคือเวลาหลังจากผ่าน ไปn ช่วง_เวลา

ความแตกต่างจากวิธีออยเลอร์มาตรฐานคือ วิธีออยเลอ ร์ แบบกึ่งชัดเจนใช้v _{n +1}ในสมการสำหรับx _{n +1}ในขณะที่วิธีออยเลอร์ใช้v _n

การนำวิธีการที่มีช่วงเวลาติดลบมาใช้ในการคำนวณจากและจัดเรียงใหม่ จะนำไปสู่รูปแบบที่สองของวิธีการออยเลอร์แบบกึ่งชัดเจน ซึ่งมีคุณสมบัติคล้ายคลึงกัน ${\displaystyle (x_{n},v_{n})}$${\displaystyle (x_{n+1},v_{n+1})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n+1}&=x_{n}+f(t_{n},v_{n})\,\Delta t\\[0.3ex]v_{n+1}&=v_{n}+g(t_{n},x_{n+1})\,\Delta t\end{aligned}}}$$

วิธี Euler กึ่ง ชัดเจน (semi-implicit Euler) เป็นตัวรวมเชิงอันดับหนึ่งเช่นเดียวกับวิธี Euler มาตรฐาน ซึ่งหมายความว่ามันจะเกิดข้อผิดพลาดโดยรวมในระดับ Δt อย่างไรก็ตามวิธี Euler กึ่งชัดเจนเป็นตัวรวมเชิงซิมเพล็กติก (symplectic integrator)ซึ่งแตกต่างจากวิธีมาตรฐาน ผลที่ตามมาคือ วิธี Euler กึ่งชัดเจนจะรักษาพลังงานไว้ได้เกือบทั้งหมด (เมื่อแฮมิลโทเนียนไม่ขึ้นกับเวลา) บ่อยครั้งที่พลังงานจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องเมื่อใช้วิธี Euler มาตรฐาน ทำให้มีความแม่นยำน้อยกว่ามาก

การสลับระหว่างสองรูปแบบของวิธี Euler กึ่งชัดเจนนำไปสู่การลดรูปหนึ่งไปสู่การบูรณาการ Störmer-Verletและการลดรูปที่แตกต่างกันเล็กน้อยไปสู่การบูรณาการแบบ leapfrogซึ่งเพิ่มทั้งลำดับของข้อผิดพลาดและลำดับของการอนุรักษ์พลังงาน^{[ 1 ]}

ขอบเขตเสถียรภาพของวิธีการกึ่งชัดเจนถูกนำเสนอโดย Niiranen ^{[ 4 ]}แม้ว่า Euler กึ่งชัดเจนจะถูกเรียกว่า Euler สมมาตรอย่างไม่ถูกต้องในเอกสารของเขา วิธีการกึ่งชัดเจนจำลองระบบจำลองได้อย่างถูกต้องหากรากเชิงซ้อนของสมการลักษณะเฉพาะอยู่ภายในวงกลมที่แสดงด้านล่าง สำหรับรากจริง ขอบเขตเสถียรภาพจะขยายออกไปนอกวงกลมซึ่งเกณฑ์คือ${\displaystyle s>-2/\Delta t}$

ดังที่เห็นได้ วิธีแบบกึ่งชัดแจ้งสามารถจำลองระบบที่มีเสถียรภาพซึ่งมีรากอยู่ในระนาบครึ่งซ้ายและระบบที่ไม่มีเสถียรภาพซึ่งมีรากอยู่ในระนาบครึ่งขวาได้อย่างถูกต้อง นี่เป็นข้อได้เปรียบที่ชัดเจนเหนือกว่าวิธีออยเลอร์แบบตรง (มาตรฐาน) และวิธีออยเลอร์แบบย้อนกลับ วิธีออยเลอร์แบบตรงมักจะมีการหน่วงน้อยกว่าระบบจริงเมื่อส่วนจริงที่เป็นลบของรากเข้าใกล้แกนจินตนาการ และวิธีออยเลอร์แบบย้อนกลับอาจแสดงให้เห็นว่าระบบมีเสถียรภาพแม้ว่ารากจะอยู่ในระนาบครึ่งขวา

การเคลื่อนที่ของสปริงที่สอดคล้องกับกฎของฮุคแสดงได้ดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=v(t)\\[0.2em]{\frac {dv}{dt}}&=-{\frac {k}{m}}\,x=-\omega ^{2}\,x.\end{aligned}}}$$

ค่า Euler กึ่งชัดเจนสำหรับสมการนี้คือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{n+1}&=v_{n}-\omega ^{2}\,x_{n}\,\Delta t\\[0.2em]x_{n+1}&=x_{n}+v_{n+1}\,\Delta t.\end{aligned}}}$$

เมื่อแทนค่าสมการที่สองด้วยนิพจน์ที่กำหนดโดยสมการแรก การวนซ้ำสามารถแสดงได้ในรูปแบบเมทริกซ์ดังต่อไปนี้ และเนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์คือ 1 การแปลงจึงเป็นการรักษาพื้นที่ ${\displaystyle v_{n+1}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{n+1}\\v_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-\omega ^{2}\Delta t^{2}&\Delta t\\-\omega ^{2}\Delta t&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n}\\v_{n}\end{bmatrix}},}$$

การวนซ้ำจะรักษาฟังก์ชันพลังงานที่ปรับเปลี่ยนไว้ อย่างแม่นยำ ส่งผลให้ ได้ วงโคจรคาบที่เสถียร (สำหรับขนาดขั้นตอนที่เล็กพอ) ซึ่งเบี่ยงเบนไปจากวงโคจรที่แม่นยำ ความถี่เชิงวงกลมที่แม่นยำจะเพิ่มขึ้นในการประมาณเชิงตัวเลขด้วยปัจจัย${\textstyle E_{h}(x,v)={\tfrac {1}{2}}\left(v^{2}+\omega ^{2}\,x^{2}-\omega ^{2}\Delta t\,vx\right)}$${\displaystyle O(\Delta t)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{24}}\omega ^{2}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})}$