ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ประยุกต์วิธีจุดกึ่งกลางเป็นวิธีขั้นตอนเดียวสำหรับการแก้สม การเชิง อนุพันธ์ด้วยวิธีเชิงตัวเลข

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

วิธีการกำหนดจุดกึ่งกลางอย่างชัดเจนนั้นกำหนดโดยสูตร

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),}$

1e

วิธีจุดกึ่งกลางโดยปริยาย

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}(y_{n}+y_{n+1})\right),}$

1i

สำหรับที่นี่คือขนาดขั้นตอน — จำนวนบวกขนาดเล็กและคือค่าประมาณที่คำนวณได้ของวิธีจุดกึ่งกลางที่ชัดเจนบางครั้งก็เรียกว่าวิธีออยเลอร์ที่แก้ไขแล้ว^{[ 1 ]}วิธีโดยปริยายเป็นวิธีการจัดตำแหน่ง ที่ง่ายที่สุด และเมื่อนำไปใช้กับพลศาสตร์แฮมิลโทเนียน จะเป็น ตัวรวมเชิงซิ มเพล็กติกโปรดทราบว่าวิธีออยเลอร์ที่แก้ไขแล้ว อาจ ^หมายถึงวิธีของเฮิน [ ^{2 ]}เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น โปรดดูรายการวิธีรันเก-คุตตา ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$${\displaystyle h}$${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh,}$${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle y(t_{n}).}$

ชื่อของวิธีการนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ในสูตรข้างต้น ฟังก์ชันที่ให้ความชันของคำตอบจะถูกประเมินค่า ณจุดกึ่งกลางระหว่างจุดที่ทราบค่าของและจุดที่ต้องหา ค่าของ${\displaystyle f}$${\displaystyle t=t_{n}+h/2={\tfrac {t_{n}+t_{n+1}}{2}},}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle t_{n+1}}$${\displaystyle y(t)}$

การตีความเชิงเรขาคณิตอาจช่วยให้เข้าใจวิธีการได้ดีขึ้น (ดูรูปด้านขวา) ในวิธีการของออยเลอร์ แบบพื้นฐาน นั้น ค่าแทนเจนต์ของเส้นโค้งที่จุดจะถูกคำนวณโดยใช้ค่าถัดไปจะพบได้ที่จุดที่ค่าแทนเจนต์ตัดกับเส้นแนวตั้งอย่างไรก็ตาม หากอนุพันธ์อันดับสองเป็นบวกเฉพาะระหว่างและหรือเป็นลบเฉพาะระหว่าง และ (ดังในแผนภาพ) เส้นโค้งจะเบี่ยงเบนออกจากค่าแทนเจนต์มากขึ้นเรื่อยๆ ทำให้เกิดข้อผิดพลาดมากขึ้นเมื่อเพิ่มขึ้น แผนภาพแสดงให้เห็นว่าค่าแทนเจนต์ที่จุดกึ่งกลาง (ส่วนเส้นสีเขียวด้านบน) น่าจะให้ค่าประมาณของเส้นโค้งในช่วงนั้นได้แม่นยำกว่า อย่างไรก็ตาม ค่าแทนเจนต์ที่จุดกึ่งกลางนี้ไม่สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำเนื่องจากเราไม่ทราบเส้นโค้ง (นั่นคือสิ่งที่ต้องคำนวณ) ดังนั้น ค่าแทนเจนต์นี้จึงถูกประมาณโดยใช้วิธีของออยเลอร์แบบดั้งเดิมเพื่อประมาณค่าของที่จุดกึ่งกลาง จากนั้นคำนวณความชันของค่าแทนเจนต์ด้วยสุดท้าย ค่าแทนเจนต์ที่ปรับปรุงแล้วจะถูกนำมาใช้คำนวณค่าของจากขั้นตอนสุดท้ายนี้แสดงด้วยเส้นสีแดงในแผนภาพ โปรดสังเกตว่าเส้นสีแดงไม่ได้ขนานกับส่วนของเส้นสีเขียว (เส้นสัมผัสที่แท้จริง) อย่างแม่นยำ เนื่องจากความคลาดเคลื่อนในการประมาณค่าที่จุดกึ่งกลาง ${\displaystyle (t_{n},y_{n})}$${\displaystyle f(t_{n},y_{n})}$${\displaystyle y_{n+1}}$${\displaystyle t=t_{n+1}}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle t_{n+1}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle f()}$${\displaystyle y_{n+1}}$${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle y(t)}$

ข้อผิดพลาดเฉพาะจุดในแต่ละขั้นตอนของวิธีจุดกึ่งกลางมีขนาดประมาณ ซึ่งทำให้เกิดข้อผิดพลาดโดยรวมที่มีขนาดประมาณดังนั้น แม้ว่าวิธีจุดกึ่งกลางจะใช้การคำนวณที่ซับซ้อนกว่าวิธีของออยเลอร์ แต่โดยทั่วไปแล้วข้อผิดพลาดของวิธีจุดกึ่งกลางจะลดลงเร็วกว่าเมื่อ เพิ่มขึ้น ${\displaystyle O\left(h^{3}\right)}$${\displaystyle O\left(h^{2}\right)}$${\displaystyle h\to 0}$

วิธีการเหล่านี้เป็นตัวอย่างของวิธีการลำดับสูงประเภทหนึ่งที่เรียกว่าวิธีการรันเก-คุตตะ (Runge–Kutta methods )

วิธีจุดกึ่งกลางเป็นการปรับปรุงวิธีของออยเลอร์ ให้ดียิ่งขึ้น

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),\,}$

และได้มาในลักษณะเดียวกัน หัวใจสำคัญของการได้มาซึ่งวิธีการของออยเลอร์คือความเท่าเทียมกันโดยประมาณ

${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf(t,y(t))}$

2

ซึ่งได้มาจากสูตรความชัน

${\displaystyle y'(t)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}}$

3

และต้องคำนึงถึงว่า${\displaystyle y'=f(t,y).}$

สำหรับวิธีการจุดกึ่งกลาง ให้แทนที่ (3) ด้วยวิธีการที่แม่นยำกว่า

${\displaystyle y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}}$

เมื่อแทนที่จะใช้ (2) เราพบว่า

${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\right).}$

4

ไม่สามารถใช้สมการนี้เพื่อหาค่าได้เนื่องจากไม่ทราบค่าที่ดังนั้น วิธีแก้คือใช้ การกระจายอนุกรม เทย์เลอร์เช่นเดียวกับการใช้วิธีของออยเลอร์เพื่อหาค่า: ${\displaystyle y(t+h)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t+h/2}$${\displaystyle y(t+h/2)}$

${\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx y(t)+{\frac {h}{2}}y'(t)=y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t)),}$

ซึ่งเมื่อเสียบปลั๊ก (4) จะทำให้เราได้รับ

${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t))\right)}$

และวิธีการจุดกึ่งกลางที่ชัดเจน (1e)

วิธีการโดยปริยาย (1i) ได้มาจากการประมาณค่าที่ครึ่งขั้นโดยใช้จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงจากถึง${\displaystyle t+h/2}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle y(t+h)}$

${\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}}$

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\approx y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx k=f\left(t+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}\right)}$

การใส่ค่าประมาณสำหรับ ผลลัพธ์ในวิธี Runge-Kutta แบบไม่ชัดเจน ${\displaystyle y_{n}+h\,k}$${\displaystyle y(t_{n}+h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k&=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}k\right)\\y_{n+1}&=y_{n}+h\,k\end{aligned}}}$

ซึ่งประกอบด้วยวิธีการออยเลอร์โดยปริยาย โดยมีขนาดขั้นตอนเป็นส่วนแรก ${\displaystyle h/2}$

เนื่องจากสมมาตรเชิงเวลาของวิธีการโดยปริยาย พจน์ที่มีดีกรีคู่ทั้งหมดในข้อผิดพลาดเฉพาะที่จึงหักล้างกัน ทำให้ข้อผิดพลาดเฉพาะที่อยู่ในระดับ โดยอัตโนมัติการแทนที่วิธีการโดยปริยายด้วยวิธีการออยเลอร์แบบชัดแจ้งในการกำหนดผลลัพธ์อีกครั้งในวิธีการจุดกึ่งกลางแบบชัดแจ้ง ${\displaystyle h}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(h^{3})}$${\displaystyle k}$

• วิธีการสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• วิธีของเฮือน
• การบูรณาการแบบ Leapfrogและการบูรณาการแบบ Verlet