ในทางคณิตศาสตร์ความสัมพันธ์ทวิภาคR ⊆ X × Yระหว่างเซตสองเซตXและYเรียกว่า ความสัมพันธ์ สมบูรณ์ (หรือความสัมพันธ์สมบูรณ์ทางซ้าย ) ถ้าเซตต้นทางXเท่ากับโดเมน { x  : มีyที่ทำให้xRy } ในทางกลับกันRเรียกว่าความสัมพันธ์สมบูรณ์ทางขวาถ้าYเท่ากับเรนจ์ { y  : มีxที่ทำให้xRy }

เมื่อf : X → Yเป็นฟังก์ชันโดเมนของfคือเซตทั้งหมดของXดังนั้นf จึง เป็นความสัมพันธ์แบบสมบูรณ์ ในทางกลับกัน ถ้าfเป็นฟังก์ชันแบบบางส่วนโดเมนอาจเป็นเซตย่อยแท้ของXซึ่งในกรณีนี้fจะไม่ใช่ความสัมพันธ์แบบสมบูรณ์

"ความสัมพันธ์แบบไบนารีจะเรียกว่าสมบูรณ์เมื่อพิจารณาจากจักรวาลแห่งการสนทนาในกรณีที่ทุกสิ่งในจักรวาลแห่งการสนทนานั้นมีความสัมพันธ์กันกับสิ่งอื่น" ^{[ 1 ]}

ความสัมพันธ์ทั้งหมดสามารถอธิบายได้ทางพีชคณิตด้วยสมการและอสมการที่เกี่ยวข้องกับการประกอบความสัมพันธ์เพื่อจุดประสงค์นี้ ให้และ เป็นเซตสองเซต และให้สำหรับเซตสองเซตใดๆให้เป็นความสัมพันธ์สากลระหว่างและและให้เป็นความสัมพันธ์เอกลักษณ์บนเราใช้สัญลักษณ์สำหรับความสัมพันธ์ผกผันของ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle R\subseteq X\times Y.}$${\displaystyle A,B,}$${\displaystyle L_{A,B}=A\times B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle I_{A}=\{(a,a):a\in A\}}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle R^{\top }}$${\displaystyle R.}$

• ${\displaystyle R}$สมบูรณ์ก็ต่อเมื่อสำหรับเซตใดๆและใดๆหมายความถึง^{[ 2 ] : 54} ${\displaystyle W}$${\displaystyle S\subseteq W\times X,}$${\displaystyle S\neq \emptyset }$${\displaystyle SR\neq \emptyset .}$
• ${\displaystyle R}$เป็นผลรวมก็ต่อเมื่อ^{[ 2 ] : 54} ${\displaystyle I_{X}\subseteq RR^{\top }.}$
• ถ้าเป็นทั้งหมดแล้วส่วนกลับจะเป็นจริงถ้า^{[หมายเหตุ 1 ]}${\displaystyle R}$${\displaystyle L_{X,Y}=RL_{Y,Y}.}$${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$
• ถ้าเป็นทั้งหมดแล้วบทกลับจะเป็นจริงถ้า^{[หมายเหตุ 2 ] [ 2 ] : 63} ${\displaystyle R}$${\displaystyle {\overline {RL_{Y,Y}}}=\emptyset .}$${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$
• ถ้าเป็นทั้งหมดแล้วบทกลับจะเป็นจริงถ้า^{[ 2 ] : 54 [ 3 ]}${\displaystyle R}$${\displaystyle {\overline {R}}\subseteq R{\overline {I_{Y}}}.}$${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$
• โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นทั้งหมดแล้วสำหรับเซตใดๆและใดๆบทกลับจะเป็นจริงถ้า^{[หมายเหตุ 3 ] [ 2 ] : 57} ${\displaystyle R}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle S\subseteq Y\times Z,}$${\displaystyle {\overline {RS}}\subseteq R{\overline {S}}.}$${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$

• ความสัมพันธ์แบบอนุกรม — ความสัมพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยสมบูรณ์