ในทางคณิตศาสตร์ความสัมพันธ์ของเลอจองเดอร์สามารถแสดงได้ในสองรูปแบบ คือ ความสัมพันธ์ระหว่างปริพันธ์เชิงวงรีสมบูรณ์หรือความสัมพันธ์ระหว่างคาบและกึ่งคาบของฟังก์ชันเชิงวงรีทั้งสองรูปแบบนี้เทียบเท่ากัน เนื่องจากคาบและกึ่งคาบสามารถแสดงได้ในรูปของปริพันธ์เชิงวงรีสมบูรณ์ ความสัมพันธ์นี้ (สำหรับปริพันธ์เชิงวงรีสมบูรณ์) ถูกนำเสนอโดยเอ.เอ็ม. เลอจองเดอร์  ( ค.ศ. 1811 , 1825 , หน้า 61)

ความสัมพันธ์ของเลอจองเดอร์ที่ระบุโดยใช้ปริพันธ์เชิงวงรีแบบสมบูรณ์คือ

${\displaystyle K'E+KE'-KK'={\frac {\pi }{2}}}$

โดยที่KและK ′ คือปริพันธ์เชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดแรกสำหรับค่าที่สอดคล้องกับk ² + k ′ ² = 1และEและE ′ คือปริพันธ์เชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดที่สอง

ความสัมพันธ์ของเลอจองเดอร์ในรูปแบบนี้แสดงให้เห็นว่าวรอนสเกียนของปริพันธ์เชิงวงรีที่สมบูรณ์ (ซึ่งถือเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ ) นั้นเป็นค่าคงที่

ความสัมพันธ์ของเลอจองเดอร์ที่ระบุโดยใช้ฟังก์ชันเชิงวงรีคือ

${\displaystyle \omega _{2}\eta _{1}-\omega _{1}\eta _{2}=2\pi i\,}$

โดยที่ω และω คือคาบของฟังก์ชันเชิงวงรีของไวเออร์สตรัสและη และη คือคาบเสมือนของฟังก์ชันซีตาของไวเออร์สตรัสผู้เขียนบางคนทำให้ค่าเหล่านี้เป็นมาตรฐานด้วยวิธีที่แตกต่างกันโดยมีค่าต่างกันเป็น 2 ซึ่งในกรณีนี้ ด้านขวามือของความสัมพันธ์เลอจองเดอร์จะเป็นπ iหรือ  π i  / 2 ความสัมพันธ์นี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการอินทิเกรตฟังก์ชันซีตาของไวเออร์สตรัสรอบขอบเขตของบริเวณพื้นฐานและใช้ทฤษฎีบทส่วนเหลือ ของโค ชี

ค่าไซน์ของส่วนโค้งเลมนิสกาติกและค่าไซน์ของส่วนโค้งเลมนิสกาติกส่วนเติมเต็มมีนิยามดังนี้:

${\displaystyle \operatorname {arcsl} (r)=\int _{0}^{r}{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\,\mathrm {d} \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,E{\bigl [}\arccos(r);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr ]}}$

${\displaystyle \operatorname {arcsl} ^{*}(r)=\int _{0}^{r}{\frac {1+\rho ^{2}}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\,\mathrm {d} \rho ={\sqrt {2}}\,E{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-{\sqrt {2}}\,E{\bigl [}\arccos(r);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr ]}}$

และอนุพันธ์เหล่านี้ก็ถูกต้อง:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\operatorname {arcsl} (r)={\frac {1}{\sqrt {1-r^{4}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\operatorname {arcsl} ^{*}(r)={\frac {1+r^{2}}{\sqrt {1-r^{4}}}}={\biggl (}{\frac {1+r^{2}}{1-r^{2}}}{\biggr )}^{1/2}}$

กรณีเลมนิสกาติกสำหรับเอกลักษณ์เลอจองเดอร์สามารถแสดงได้ดังนี้:

สูตรต่อไปนี้ใช้ฟังก์ชันส่วนโค้งเลมนิสกาติกเป็นอนุพันธ์ผกผัน:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\operatorname {arcsl} ^{*}(x)-{\frac {1-x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\operatorname {arcsl} (x)=\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} y}$

โดยการสร้างอนุพันธ์ผกผันดั้งเดิมที่สัมพันธ์กับ x จะได้สูตรดังนี้:

${\displaystyle \operatorname {arcsl} (x){\bigl [}\operatorname {arcsl} ^{*}(x)-\operatorname {arcsl} (x){\bigr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}{\biggl [}\operatorname {artanh} (y^{2})-\operatorname {artanh} {\bigl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\bigr )}{\biggr ]}\mathrm {d} y}$

เมื่อใส่ค่าลงในสูตรนั้น จะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle \operatorname {arcsl} (1){\bigl [}\operatorname {arcsl} ^{*}(1)-\operatorname {arcsl} (1){\bigr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})\,\mathrm {d} y={\frac {\pi }{4}}}$

เนื่องจากฟังก์ชัน K, F และ E มีคุณสมบัติเหมือนกัน สูตรนี้จึงสามารถอนุมานได้โดยตรงจากผลลัพธ์ดังกล่าว:

${\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl [}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigr ]}={\frac {\pi }{2}}}$

จากการคำนวณที่ได้ดำเนินการไปข้างต้น ผลลัพธ์ที่ได้จึงถูกต้องและแสดงไว้ในรูปแบบสรุปดังนี้:

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

ต่อไปนี้จะเป็นการพิสูจน์กรณีทั่วไปแบบโมดูลาร์ เพื่อจุดประสงค์นี้ เราจะทำการหาอนุพันธ์ของปริพันธ์เชิงวงรีที่สมบูรณ์ จากนั้นจึงกำหนดที่มาของสมดุลเอกลักษณ์ของเลอจองเดอร์

การพิสูจน์อนุพันธ์ของอินทิกรัลเชิงวงรีชนิดที่หนึ่ง:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\varepsilon x^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})^{3}}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {\varepsilon (1-2x^{2}+\varepsilon ^{2}x^{4})}{(1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}E(\varepsilon )-{\frac {1}{\varepsilon }}K(\varepsilon )-\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\varepsilon x{\sqrt {1-x^{2}}}}{(1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}}$

การพิสูจน์อนุพันธ์ของอินทิกรัลเชิงวงรีชนิดที่สอง:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {-\varepsilon x^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =-\int _{0}^{1}{\frac {1}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x+\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x=-{\frac {1}{\varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )-E(\varepsilon ){\bigr ]}}$

สำหรับโมดูลตัวนับแบบพีทาโกเรียนและตามกฎลูกโซ่ความสัมพันธ์นี้ใช้ได้:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}{\bigl [}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันวงกลมคือผลคูณเชิงลบของฟังก์ชันที่เรียกว่าฟังก์ชันที่เหมือนกันและส่วนกลับของฟังก์ชันวงกลม ความสัมพันธ์ของเลอจองเดอร์จึงรวมผลคูณของปริพันธ์เชิงวงรีสมบูรณ์สองตัวเสมอ สำหรับการหาอนุพันธ์ของด้านฟังก์ชันจากมาตราส่วนสมการของเอกลักษณ์ของเลอจองเดอร์จะใช้ กฎผลคูณ ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

จากสมการทั้งสามนี้ เมื่อนำสมการสองสมการบนมาบวกกันและลบด้วยสมการล่างจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}=0}$

เมื่อพิจารณาเทียบกับ ε ค่าสมดุลจะให้ค่าเป็นศูนย์เสมอ

ผลลัพธ์ที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้จะนำไปใช้กับโมดูลในลักษณะนี้: ${\displaystyle \varepsilon =1/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

การรวมสูตรสองสูตรสุดท้ายเข้าด้วยกันจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\pi }{2}}}$

เพราะถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อเนื่องมีค่าเป็นศูนย์เสมอ ฟังก์ชันนั้นก็จะเป็นฟังก์ชันคงที่ ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้จะให้ค่าฟังก์ชันเดียวกันสำหรับทุกค่าแกน x ε และกราฟของฟังก์ชันนั้นจึงเป็นเส้นตรงแนวนอน