ในวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์ฟังก์ชันเลอจองเดอร์P _λ , Q _λและฟังก์ชันเลอจองเดอร์ที่เกี่ยวข้องP^μ _λ, Q^μ _λและฟังก์ชันเลอจองเดอร์ชนิดที่สอง Qn ล้วนเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ของเลอ จองเดอร์ พหุนามเลอจองเดอร์และพหุนามเลอจองเดอร์ที่เกี่ยวข้อง_ก็เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ในกรณีพิเศษเช่นกัน ซึ่งด้วยคุณสมบัติของพหุนามเหล่านี้ ทำให้มีคุณสมบัติ โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ และการประยุกต์ใช้เพิ่มเติมมากมาย สำหรับคำตอบที่เป็นพหุนามเหล่านี้ โปรดดูบทความวิกิพีเดียแยกต่างหาก

สมการเลอจองเดอร์ทั่วไปเขียนได้ ดังนี้ โดยที่λและμอาจเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเรียกว่าดีกรีและอันดับของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องตามลำดับ คำตอบที่เป็นพหุนามเมื่อλเป็นจำนวนเต็ม (แทนด้วยn ) และμ = 0คือพหุนามเลอจองเดอร์P _nและเมื่อ λเป็นจำนวนเต็ม (แทนด้วยn ) และμ = mเป็นจำนวนเต็มเช่นกัน โดยที่| m | < nคือพหุนามเลอจองเดอร์ที่เกี่ยวข้อง กรณีอื่นๆ ของλและμสามารถพิจารณาได้เป็นกรณีเดียว และคำตอบจะเขียนว่าP$${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]y=0,}$$^μ _λ, Q^μ _λถ้าμ = 0จะละเว้นตัวยก และเขียนเพียงP λ _, Q λ _{เท่านั้น}อย่างไรก็ตาม คำตอบQ _λเมื่อλเป็นจำนวนเต็ม มักจะถูกกล่าวถึงแยกต่างหากในฐานะฟังก์ชันเลอจองเดอร์ชนิดที่สอง และใช้สัญลักษณ์Q _n

นี่คือสมการเชิงเส้นอันดับสองที่มีจุดเอกฐานปกติสามจุด (ที่1 , −1และ∞ ) เช่นเดียวกับสมการประเภทนี้ทั้งหมด สมการนี้สามารถแปลงเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ไฮ เปอร์จี โอเมตริกได้โดยการเปลี่ยนตัวแปร และคำตอบของสมการสามารถแสดงได้โดยใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์ จีโอ เมตริก

เนื่องจากสมการเชิงอนุพันธ์เป็นเชิงเส้น เอกพันธุ์ (ด้านขวามือเท่ากับศูนย์) และอันดับสอง จึงมีคำตอบสองคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้น ซึ่งทั้งสองคำตอบสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกได้โดยที่เป็นฟังก์ชันแกมมาคำตอบแรกคือ และคำตอบที่สองคือ ${\displaystyle _{2}F_{1}}$${\displaystyle \Gamma }$$${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{สำหรับ }}\ |1-z|<2,}$$$${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ |z|>1.}$$

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันเหล่านี้รู้จักกันในชื่อฟังก์ชันเลอจองเดอร์ชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองที่มีดีกรีไม่เป็นจำนวนเต็ม โดยมีคำคุณศัพท์เพิ่มเติมว่า 'เกี่ยวข้อง' หากμไม่เป็นศูนย์ ความสัมพันธ์ที่มีประโยชน์ระหว่าง คำตอบ PและQคือสูตรของวิปเปิล

สำหรับจำนวนเต็มบวกการประเมินข้างต้นเกี่ยวข้องกับการตัดพจน์เอกฐาน เราสามารถหาลิมิตที่ใช้ได้สำหรับ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} ^{+}}$${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$

$${\displaystyle P_{\lambda }^{m}(z)=\lim _{\mu \to m}P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {(-\lambda )_{m}(\lambda +1)_{m}}{m!}}\left[{\frac {1-z}{1+z}}\right]^{m/2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1+m;{\frac {1-z}{2}}\right),}$$

พร้อมด้วยสัญลักษณ์ Pochhammer (ที่กำลังขึ้น)${\displaystyle (\lambda )_{n}}$

โดยทั่วไปแล้ว วิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่พหุนามสำหรับกรณีพิเศษของดีกรีจำนวนเต็ม , และ, มักจะถูกกล่าวถึงแยกต่างหาก ซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \mu =0}$$${\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1\cdot 3\cdots (2n+1)}}\left(x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right)}$$

วิธีแก้ปัญหานี้จะต้องเป็นเอกลักษณ์เมื่อ. ${\displaystyle x=\pm 1}$

ฟังก์ชันเลอจองเดอร์ชนิดที่สองสามารถนิยามแบบเวียนซ้ำได้โดยใช้สูตรเวียนซ้ำของบอนเนต์$${\displaystyle Q_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}&n=0\\P_{1}(x)Q_{0}(x)-1&n=1\\{\frac {2n-1}{n}}xQ_{n-1}(x)-{\frac {n-1}{n}}Q_{n-2}(x)&n\geq 2\,.\end{cases}}}$$

คำตอบที่ไม่ใช่พหุนามสำหรับกรณีพิเศษของดีกรีจำนวนเต็มและกำหนดโดย ${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} _{0}}$$${\displaystyle Q_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}Q_{n}(x)\,.}$$

ฟังก์ชันเลอจองเดอร์สามารถเขียนได้ในรูปอินทิกรัลตามเส้นโค้ง ตัวอย่างเช่น โดยที่เส้นโค้งจะวนรอบจุด1และzในทิศทางบวก และไม่วนรอบ−1สำหรับค่า x ที่เป็นจำนวนจริง เราจะได้ว่า $${\displaystyle P_{\lambda }(z)=P_{\lambda }^{0}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}dt}$$$${\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} }$$

การแสดงผลอินทิกรัลจริงของมีประโยชน์มากในการศึกษาการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกบน โดยที่คือปริภูมิโคเซตคู่ของ(ดูฟังก์ชันทรงกลมโซนัล ) อันที่จริงการแปลงฟูริเยร์บนกำหนดโดย โดย ที่ ${\displaystyle P_{s}}$${\displaystyle L^{1}(G//K)}$${\displaystyle G//K}$${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{1}(G//K)}$$${\displaystyle L^{1}(G//K)\ni f\mapsto {\hat {f}}}$$$${\displaystyle {\hat {f}}(s)=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{s}(x)dx,\qquad -1\leq \Re (s)\leq 0}$$

ฟังก์ชันเลอจองเดอร์P _λที่มีดีกรีไม่เป็นจำนวนเต็มจะไม่มีขอบเขตในช่วง [-1, 1] ในการใช้งานทางฟิสิกส์ สิ่งนี้มักเป็นเกณฑ์การเลือก เนื่องจากฟังก์ชันเลอจองเดอร์Q _λชนิดที่สองไม่มีขอบเขตเสมอ ดังนั้นเพื่อให้ได้คำตอบที่มีขอบเขตของสมการเลอจองเดอร์ ดีกรีจะต้องเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น เฉพาะในกรณีที่ดีกรีเป็นจำนวนเต็ม ฟังก์ชันเลอจองเดอร์ชนิดแรกจะลดลงเหลือพหุนามเลอจองเดอร์ ซึ่งมีขอบเขตในช่วง [-1, 1] สามารถแสดงได้^{[ 2 ]}ว่าความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันเลอจองเดอร์ P _λ สำหรับดีกรีไม่เป็นจำนวนเต็มเป็นผลมาจากสมมาตรแบบกระจกเงาของสมการเลอจองเดอร์ ดังนั้นจึงมีสมมาตรภายใต้กฎการเลือกที่กล่าวถึงข้างต้น

• ฟังก์ชันเฟอร์เรอร์

• ฟังก์ชัน Legendre Pบนเว็บไซต์ฟังก์ชันของ Wolfram
• ฟังก์ชัน Legendre Qบนเว็บไซต์ฟังก์ชันของ Wolfram
• ฟังก์ชัน Legendre ที่เกี่ยวข้อง Pบนเว็บไซต์ฟังก์ชันของ Wolfram
• ฟังก์ชัน Legendre ที่เกี่ยวข้อง Qบนเว็บไซต์ฟังก์ชันของ Wolfram