ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันLerch transcendentเป็นฟังก์ชันพิเศษที่ขยายฟังก์ชันซีตาของ Hurwitzและโพลีโลการิทึมตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวเช็กMathias Lerchซึ่งตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับฟังก์ชันที่คล้ายกันในปี พ.ศ. 2430 ^{[ 1 ]}ฟังก์ชัน Lerch transcendent กำหนดโดย:

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}}$.

มันลู่เข้าเฉพาะสำหรับจำนวนจริงใดๆ^โดยที่หรือและ^{[ 2} ]${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)>1}$${\displaystyle |z|=1}$

ฟังก์ชัน Lerch transcendent เกี่ยวข้องและสรุปฟังก์ชันพิเศษต่างๆ ได้อย่างครอบคลุม

ฟังก์ชันซีตาของเลิร์ช (Lerch zeta function)กำหนดโดย:

${\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {e^{2\pi i\lambda n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\Phi (e^{2\pi i\lambda },s,\alpha )}$

ฟังก์ชันซีตาของฮูร์วิตซ์เป็นกรณีพิเศษ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}=\Phi (1,s,\alpha )}$

โพลีลอการิธึมเป็นกรณีพิเศษอีกอย่างหนึ่ง: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\textrm {Li}__{s}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}}=z\Phi (z,s,1)}$

ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เป็นกรณีพิเศษของทั้งสองข้างต้น: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\พี (1,s,1)}$

ฟังก์ชัน Dirichlet eta : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=\Phi (-1,s,1)}$

ฟังก์ชันเบต้าของ Dirichlet : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{s}}}=2^{-s}\Phi (-1,s,{\tfrac {1}{2}})}$

ฟังก์ชันแลมบ์ดา ของDirichlet : ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \lambda (s)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{s}}}=2^{-s}\Phi (1,s,{\tfrac {1}{2}})}$

ฟังก์ชันไคของ เลอจองเดอร์ : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \chi _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{s}}}={\frac {z}{2^{s}}}\Phi (z^{2},s,{\tfrac {1}{2}})}$

อินทิกรัลแทนเจนต์ผกผัน : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\textrm {Ti}__{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)^{s}}}={\frac {z}{2^{s}}}\Phi (-z^{2},s,{\tfrac {1}{2}})}$

ฟังก์ชันโพลีแกมมาสำหรับจำนวนเต็มบวกn : ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle \psi ^{(n)}(\alpha )=(-1)^{n+1}n!\Phi (1,n+1,\alpha )}$

ฟังก์ชันClausen : ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\text{Cl}}_{2}(z)={\frac {ie^{-iz}}{2}}\Phi (e^{-iz},2,1)-{\frac {ie^{iz}}{2}}\Phi (e^{iz},2,1)}$

Lerch ผู้เหนือกว่านั้นมีการแสดงผลแบบบูรณาการ:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

การพิสูจน์นี้อาศัยการใช้นิยามเชิงปริพันธ์ของฟังก์ชันแกมมาเพื่อเขียน

${\displaystyle \Phi (z,s,a)\Gamma (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+a)^{s}}}\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-x}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }t^{s}z^{n}e^{-(n+a)t}{\frac {dt}{t}}}$

จากนั้นจึงสลับผลรวมและอินทิกรัล การแสดงอินทิกรัลที่ได้จะลู่เข้าสำหรับRe( s ) > 0 และ Re( a ) > 0 การวิเคราะห์นี้ ยังคงดำเนินต่อ ไปที่zนอกดิสก์หน่วย สูตรอินทิกรัลยังคงใช้ได้หากz = 1, Re( s ) > 1 และ Re( a ) > 0 ดู ฟังก์ชันซีตา ของHurwitz ^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus [1,\infty ),}$${\displaystyle \Phi (z,s,a)}$

การ แสดงผล แบบอินทิกรัลตามเส้นโค้งแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {(-t)^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

โดยที่Cคือเส้นโค้ง Hankelทวนเข็มนาฬิการอบแกนจริงบวก โดยไม่ล้อมรอบจุดใดๆ(สำหรับจำนวนเต็มk ) ซึ่งเป็นขั้วของอินทิกรัล อินทิกรัลนี้ถือว่า Re( a ) > 0 ^{[ 11 ]}${\displaystyle t=\log(z)+2k\pi i}$

การแสดงผลเชิงปริพันธ์แบบคล้ายเฮอร์ไมต์นั้นกำหนดโดย

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,dt+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

สำหรับ

${\displaystyle \Re (a)>0\wedge |z|<1}$

และ

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}(1/z)}{z^{a}}}\Gamma (1-s,a\log(1/z))+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

สำหรับ

${\displaystyle \Re (a)>0.}$

การแสดงผลที่คล้ายคลึงกัน ได้แก่

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\tanh \pi t}}\,dt,}$

และ

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\sinh \pi t}}\,dt,}$

ใช้ได้กับค่าz ที่เป็นบวก (และโดยทั่วไปแล้วใช้ได้กับกรณีที่อินทิกรัลลู่เข้า) นอกจากนี้

${\displaystyle \Phi (e^{i\varphi },s,a)=L{\big (}{\tfrac {\varphi }{2\pi }},s,a{\big )}={\frac {1}{a^{s}}}+{\frac {1}{2\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}{\big (}e^{i\varphi }-e^{-t}{\big )}}{\cosh {t}-\cos {\varphi }}}\,dt,}$

สูตรสุดท้ายนี้เรียกอีกอย่างว่าสูตรลิปชิตซ์

สำหรับ λ ที่เป็นจำนวนตรรกยะ พจน์ที่นำมาบวกกันจะเป็นรากของเอกภาพดังนั้นจึง สามารถแสดงได้ในรูป ผล รวมจำกัดเหนือฟังก์ชันซีตาของฮูร์วิตซ์ สมมติว่าโดยที่และแล้วและ${\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )}$${\textstyle \lambda ={\frac {p}{q}}}$${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle z=\omega =e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}$${\displaystyle \omega ^{q}=1}$

${\displaystyle \Phi (\omega ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{qn+m}}{(qn+m+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\omega ^{m}q^{-s}\zeta \left(s,{\frac {m+\alpha }{q}}\right)}$

อัตลักษณ์ที่หลากหลาย ได้แก่:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{n}\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}}$

และ

${\displaystyle \Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)}$

และ

${\displaystyle \Phi (z,s+1,a)=-{\frac {1}{s}}{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a).}$

การแสดงอนุกรมสำหรับค่าเหนือธรรมชาติของ Lerch นั้นกำหนดโดย

${\displaystyle \Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(q+k)^{-s}.}$

(โปรดทราบว่าคือสัมประสิทธิ์ทวินาม ) ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

อนุกรมนี้ใช้ได้กับs ทั้งหมด และสำหรับz ที่ซับซ้อน ที่มี Re( z )<1/2 สังเกตความคล้ายคลึงโดยทั่วไปกับการแสดงอนุกรมที่คล้ายกันสำหรับฟังก์ชันซีตาของ Hurwitz ^{[ 12 ]}

อนุกรมเทย์เลอร์ในพารามิเตอร์แรกได้รับการกำหนดโดยอาร์เธอร์ เออร์เดลยีอาจเขียนเป็นอนุกรมต่อไปนี้ ซึ่งใช้ได้สำหรับ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \left|\log(z)\right|<2\pi ;s\neq 1,2,3,\dots ;a\neq 0,-1,-2,\dots }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\left[\Gamma (1-s)\left(-\log(z)\right)^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }\zeta (s-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}\right]}$

ถ้าnเป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว

${\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}+\left[\psi (n)-\psi (a)-\log(-\log(z))\right]{\frac {\log ^{n-1}(z)}{(n-1)!}}\right\},}$

ฟังก์ชันไดแกมมา อยู่ที่ไหน${\displaystyle \psi (n)}$

อนุกรมเทย์เลอร์ในตัวแปรที่สามกำหนดโดย

${\displaystyle \Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s)_{k}{\frac {(-x)^{k}}{k!}};|x|<\Re (a),}$

สัญลักษณ์ Pochhammerอยู่ที่ไหน${\displaystyle (s)_{k}}$

อนุกรมที่a = − nกำหนดโดย

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}};\ a\rightarrow -n}$

กรณีพิเศษสำหรับn = 0 มีลำดับดังต่อไปนี้

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}};|a|<1,}$

โพ ลีล็อกarithmอยู่ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$

อนุกรมเชิงเส้นกำกับสำหรับ${\displaystyle s\rightarrow -\infty }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[2k\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{2k\pi ai}}$

สำหรับ และ ${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (-\infty ,0)}$

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[(2k+1)\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{(2k+1)\pi ai}}$

สำหรับ${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (0,\infty ).}$

อนุกรมเชิงเส้นกำกับในฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi i(k-1)a}\Gamma (1-s,a(-2\pi i(k-1)-\log(z)))}{(-2\pi i(k-1)-\log(z))^{1-s}}}+{\frac {e^{2\pi ika}\Gamma (1-s,a(2\pi ik-\log(z)))}{(2\pi ik-\log(z))^{1-s}}}}$

สำหรับ${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0.}$

การแสดงเป็นฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไปคือ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )={\frac {1}{\alpha ^{s}}}{}_{s+1}F_{s}\left({\begin{array}{c}1,\alpha ,\alpha ,\alpha ,\cdots \\1+\alpha ,1+\alpha ,1+\alpha ,\cdots \\\end{array}}\mid z\right).}$

ฟังก์ชันพหุโลการิทึมถูกนิยามดังนี้ ${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}$

${\displaystyle \mathrm {Li} _{0}(z)={\frac {z}{1-z}},\qquad \mathrm {Li} _{-n}(z)=z{\frac {d}{dz}}\mathrm {Li} _{1-n}(z).}$

อนุญาต

${\displaystyle \Omega _{a}\equiv {\begin{cases}\mathbb {C} \setminus [1,\infty )&{\text{if }}\Re a>0,\\{z\in \mathbb {C} ,|z|<1}&{\text{if }}\Re a\leq 0.\end{cases}}}$

สำหรับและการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกของสำหรับค่าและ ที่มากและคงที่จะได้จาก ${\displaystyle |\mathrm {Arg} (a)|<\pi ,s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z\in \Omega _{a}}$${\displaystyle \Phi (z,s,a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle s}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{1-z}}{\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {(-1)^{n}\mathrm {Li} _{-n}(z)}{n!}}{\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O(a^{-N-s})}$

สำหรับ ซึ่ง^{สัญลักษณ์} Pochhammerอยู่ที่ไหน[ ^{15 ]}${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (s)_{n}=s(s+1)\cdots (s+n-1)}$

อนุญาต

${\displaystyle f(z,x,a)\equiv {\frac {1-(ze^{-x})^{1-a}}{1-ze^{-x}}}.}$

ให้เป็นสัมประสิทธิ์เทย์เลอร์ที่แล้วสำหรับค่าคงที่และ, ${\displaystyle C_{n}(z,a)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,\Re a>1}$${\displaystyle \Re s>0}$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)-{\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z^{a}}}=\sum _{n=0}^{N-1}C_{n}(z,a){\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O\left((\Re a)^{1-N-s}+az^{-\Re a}\right),}$

เช่น[ ^{16 ]​}${\displaystyle \Re a\to \infty }$

ตัวดำเนินการ Lerch transcendent ถูกนำไปใช้ในชื่อ LerchPhi ในMapleและMathematicaและในชื่อ lerchphi ใน mpmathและSymPy

• Aksenov, Sergej V.; Jentschura, Ulrich D. (2002), โปรแกรม C และ Mathematica สำหรับการคำนวณสิ่งเหนือธรรมชาติของ Lerch.
• รามูนัส การุนคติส, หน้าเว็บ (2005) (มีเอกสารอ้างอิงและเอกสารก่อนตีพิมพ์จำนวนมาก)
• Garunkstis, Ramunas (2004). "การประมาณค่าฟังก์ชันซีตาของ Lerch" (PDF)วารสารคณิตศาสตร์ลิทัวเนีย 44 ( 2): 140– 144. doi : 10.1023/B:LIMA.0000033779.41365.a5 . S2CID  123059665 .
• คาเนมิตสึ ส.; ทานิกาว่า ย.; ซึคาดะ, เอช. (2015). "ลักษณะทั่วไปของสูตรของ Bochner "Kanemitsu, S.; Tanigawa, Y.; Tsukada, H. (2004). "การวางนัยทั่วไปของสูตรของ Bochner" . Hardy-Ramanujan Journal . 27 . doi : 10.46298/hrj.2004.150 .
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "เลอร์ชผู้เหนือธรรมชาติ" . แมทเวิลด์ .
• Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., บรรณาธิการ (2010), "Lerch's Transcendent" , NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248.