ในทางคณิตศาสตร์อนุกรมDirichlet Lคือฟังก์ชันที่มีรูปแบบ ดังนี้

$${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},}$$

โดยที่เป็นอักขระดิริชเลต์และเป็นตัวแปรเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงมากกว่ามันเป็นกรณีพิเศษของอนุกรมดิริชเลต์โดยการต่อยอดเชิงวิเคราะห์มันสามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนระนาบเชิงซ้อน ทั้งหมด ได้ ในกรณีนั้น มันเรียกว่าฟังก์ชันดิริชเลต์ L${\displaystyle \chi }$${\displaystyle s}$${\displaystyle 1}$

ฟังก์ชันเหล่านี้ตั้งชื่อตามปีเตอร์ กุสตาฟ เลอฌูน ดิริชเลต์ผู้ซึ่งแนะนำฟังก์ชันเหล่านี้ในปี พ.ศ. 2380 ^{[ 1 ]}เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะในลำดับเลขคณิตในการพิสูจน์ของเขา ดิริชเลต์แสดงให้เห็นว่ามีค่าไม่เป็นศูนย์ที่นอกจากนี้ ถ้าเป็นหลัก ฟังก์ชัน L ของดิริชเลต์ที่สอดคล้องกัน จะมีขั้วเดี่ยวที่มิฉะนั้น ฟังก์ชัน Lจะเป็นฟังก์ชัน สมบูรณ์${\displaystyle L(s,\chi )}$${\displaystyle s=1}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle s=1}$

เนื่องจากอักขระ Dirichlet เป็นแบบคูณโดยสมบูรณ์ ฟังก์ชัน Lของมันจึงสามารถเขียนเป็นผลคูณ Eulerในระนาบครึ่งหนึ่งของการลู่เข้าสัมบูรณ์ได้เช่นกัน โดยที่ผลคูณนั้นครอบคลุมจำนวนเฉพาะทั้งหมด^{[ 2 ]}${\displaystyle \chi }$$${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}{\text{ สำหรับ }}{\text{Re}}(s)>1,}$$

ผลลัพธ์เกี่ยวกับ ฟังก์ชัน Lมักจะระบุได้ง่ายกว่าหากถือว่าอักขระเป็นอักขระดั้งเดิม แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วผลลัพธ์สามารถขยายไปยังอักขระที่ไม่ดั้งเดิมได้โดยมีความซับซ้อนเล็กน้อย^{[ 3 ]}ทั้งนี้เนื่องจากความสัมพันธ์ระหว่างอักขระที่ไม่ดั้งเดิมและอักขระดั้งเดิมที่เหนี่ยวนำให้เกิดอักขระนั้น: ^{[ 4 ]} (ในที่นี้คือค่าสัมบูรณ์ของ) การประยุกต์ใช้ผลคูณของออยเลอร์ทำให้เกิดความสัมพันธ์ง่ายๆ ระหว่าง ฟังก์ชัน L ที่สอดคล้องกัน : ^{[ 5 ] [ 6 ]} โดยการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ สูตรนี้ใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดแม้ว่าผลคูณของออยเลอร์จะใช้ได้เฉพาะเมื่อ เท่านั้นสูตรนี้แสดงให้เห็นว่า ฟังก์ชัน Lของเท่ากับ ฟังก์ชัน Lของอักขระดั้งเดิมที่เหนี่ยวนำให้เกิด คูณด้วยตัวประกอบเพียงจำนวนจำกัด^{[ 7 ]}${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \chi ^{\star }}$$${\displaystyle \chi (n)={\begin{cases}\chi ^{\star }(n)&\mathrm {if} \gcd(n,q)=1,\\\;\;\;0&\mathrm {otherwise} .\end{cases}}}$$${\displaystyle q}$${\displaystyle \chi }$$${\displaystyle L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-{\frac {\chi ^{\star }(p)}{p^{s}}}\right).}$$${\displaystyle s}$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \chi }$

ในกรณีพิเศษ ฟังก์ชัน Lของอักขระหลักโมดูลัสสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ : ^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle \chi _{0}}$${\displaystyle q}$$${\displaystyle L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\prod _{p\,|\,q}(1-p^{-s}).}$$

ฟังก์ชันLของ Dirichlet สอดคล้องกับ สมการเชิงฟังก์ชันซึ่งเป็นวิธีในการต่อขยายฟังก์ชันเหล่านี้ในระนาบเชิงซ้อนโดยใช้การวิเคราะห์ สมการเชิงฟังก์ชันนี้เชื่อมโยงค่าของกับค่าของ ${\displaystyle L(s,\chi )}$${\displaystyle L(1-s,{\overline {\chi }})}$

ให้เป็นอักขระดั้งเดิมโมดูลัสโดยที่วิธีหนึ่งในการแสดงสมการเชิงฟังก์ชันคือ^{[ 10 ]} โดยที่เป็นฟังก์ชันแกมมาโดยที่และ โดยที่เป็นผลรวมเกาส์ เป็นคุณสมบัติของผลรวมเกาส์ที่^{ดังนั้น} [ ^{11 ] [} 12 ^{] สม}การเชิงฟังก์ชันอีกสมการหนึ่งคือ ซึ่งสามารถแสดงได้ดังนี้^{[ 10 ] [ 12 ]}${\displaystyle \chi }$${\displaystyle q}$${\displaystyle q>1}$$${\displaystyle L(s,\chi )=W(\chi )2^{s}\pi ^{s-1}q^{1/2-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}(s+\delta )\right)\Gamma (1-s)L(1-s,{\overline {\chi }}),}$$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \delta \in \{0,1\}}$${\displaystyle \chi (-1)=(-1)^{\delta }}$$${\displaystyle W(\chi )={\frac {\tau (\chi )}{i^{\delta }{\sqrt {q}}}},}$$${\displaystyle \tau (\chi )}$$${\displaystyle \tau (\chi )=\sum _{a=1}^{q}\chi (a)\exp(2\pi ia/q).}$$${\displaystyle |\tau (\chi )|={\sqrt {q}}}$${\displaystyle |W(\chi )|=1}$$${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=q^{s/2}\pi ^{-(s+\delta )/2}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {s+\delta }{2}}\right)L(s,\chi ),}$$$${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=W(\chi )\Lambda (1-s,{\overline {\chi }}).}$$

สิ่งนี้หมายความว่าและเป็นฟังก์ชันทั้งหมดของอีกครั้ง สมมติว่าเป็นอักขระดั้งเดิมโมดูลัสกับถ้า แล้วจะมีขั้วที่^{[ 10 ] [ 12 ]}${\displaystyle L(s,\chi )}$${\displaystyle \Lambda (s,\chi )}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle q}$${\displaystyle q>1}$${\displaystyle q=1}$${\displaystyle L(s,\chi )=\zeta (s)}$${\displaystyle s=1}$

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูบทความเกี่ยวกับ สมการ เชิง ฟังก์ชันของฟังก์ชันL

ให้เป็นอักขระดั้งเดิมมอดูลโดย ที่${\displaystyle \chi }$${\displaystyle q}$${\displaystyle q>1}$

ไม่มีค่าศูนย์สำหรับสำหรับจะมีค่าศูนย์ที่จำนวนเต็ม ลบบางค่า : ${\displaystyle L(s,\chi )}$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)<0}$${\displaystyle s}$

• ถ้าศูนย์เพียงศูนย์เดียวของที่มีคือศูนย์แบบง่ายที่นอกจากนี้ยังมีศูนย์ที่เมื่อไม่ใช่ศูนย์หลัก สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับขั้วของ^{[ 13 ]}${\displaystyle \chi (-1)=1}$${\displaystyle L(s,\chi )}$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)<0}$${\displaystyle -2,-4,-6,\dots }$${\displaystyle s=0}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s}{2}})}$
• ถ้าเช่นนั้นศูนย์เพียงศูนย์เดียวของที่มีคือศูนย์แบบง่ายที่ซึ่งสอดคล้องกับขั้วของ^{[ 13 ]}${\displaystyle \chi (-1)=-1}$${\displaystyle L(s,\chi )}$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)<0}$${\displaystyle -1,-3,-5,\dots }$${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s+1}{2}})}$

สิ่งเหล่านี้เรียกว่าศูนย์ที่ไม่สำคัญ^{[ 10 ]}

ศูนย์ที่เหลือจะอยู่ในแถบวิกฤตและเรียกว่าศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ธรรมดา ศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ธรรมดาจะสมมาตรเกี่ยวกับเส้นวิกฤตนั่นคือ ถ้าแล้วก็เช่นกันเนื่องจากสมการเชิงฟังก์ชัน ถ้าเป็นอักขระจริง ศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ธรรมดาก็จะสมมาตรเกี่ยวกับแกนจริงด้วย แต่ไม่ใช่ถ้าเป็นอักขระเชิงซ้อนสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปคือการคาดการณ์ว่าศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ธรรมดาทั้งหมดอยู่บนเส้นวิกฤต^{[ 10 ]}${\displaystyle 0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1}$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1/2}$${\displaystyle L(\rho ,\chi )=0}$${\displaystyle L(1-{\overline {\rho }},\chi )=0}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1/2}$

ตราบใดที่ยังมีความเป็นไปได้ของการมีอยู่ของศูนย์ซีเกลบริเวณที่ปราศจากศูนย์ซึ่งรวมถึงและเลยเส้นที่คล้ายกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์นั้นเป็นที่ทราบกันว่ามีอยู่สำหรับ ฟังก์ชัน L ของดิริชเลต์ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น สำหรับค่าสัมบูรณ์ของอักขระที่ไม่ใช่จำนวนจริงเราจะได้ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle q}$

$${\displaystyle \beta <1-{\frac {c}{\log \!\!\;{\big (}q(2+|\gamma |){\big )}}}\ }$$

สำหรับศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์จริง^{[ 14 ]}${\displaystyle \beta +i\gamma }$

ฟังก์ชัน Lของ Dirichlet อาจเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันซีตาของ Hurwitzที่ค่าตรรกยะ การกำหนดจำนวนเต็ม ฟังก์ชัน Lของ Dirichlet สำหรับอักขระโมดู ลัส เป็นผลรวมเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ของ โดยที่และซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันซีตาของ Hurwitz สำหรับค่าตรรกยะ มีคุณสมบัติเชิงวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชัน Lของ Dirichlet โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นอักขระโมดูลัส เราสามารถเขียน ฟังก์ชันLของ Dirichlet ได้ดังนี้ ^{[ 15 ]}${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \zeta (s,a)}$${\displaystyle a=r/k}$${\displaystyle r=1,2,\dots ,k}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle k}$

$${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{r=1}^{k}\chi (r)\operatorname {\zeta } \left(s,{\frac {r}{k}}\right).}$$

• สมมติฐานรีมันน์ทั่วไป
• ฟังก์ชันแอล
• ทฤษฎีโมดูลาร์
• การคาดเดาของอาร์ติน
• ค่าพิเศษของฟังก์ชัน L